Skip to content
OmniStudy
Start free
Menu

Adolygu Mathemateg a Rhifedd (Dwyradd) TGAU CBAC

Archwiliwch destunau adolygu Mathemateg a Rhifedd (Dwyradd) TGAU CBAC. Gwiriwch y fanyleb swyddogol ar gyfer holl ofynion blwyddyn eich arholiad a'ch llwybr.

Dechreuwch adolygu am ddim

Manylion y cwrs

CBAC · TGAU Mathemateg a Rhifedd (Dwyradd)3320CDBlynyddoedd arholiad · 2027

Asesiad Dewiswch haen ar wahân ar gyfer pob uned. Uned 1: cyfrifiannell, 30%; Uned 2: heb gyfrifiannell, 30%; Uned 3: cyfrifiannell, 40%. Amseroedd Sylfaenol: 90, 90 a 105 munud; Uwch: 105, 105 a 120 munud. Mae’r canllaw hwn ar gyfer y Dwyradd newydd, nid ailsefyll yr hen gymhwyster.

Ticiwch bwynt ar ôl ei adolygu. Caiff y cynnydd ei gadw ar y ddyfais hon yn unig; nid yw’n mesur meistrolaeth.

Canllawiau cwrs wedi’u hadolygu

Pwyntiau adolygu, gyda’r esboniad wrth eu hochr

Agorwch bwynt i ddarllen beth i’w wybod, sut i’w ddefnyddio mewn asesiad, esboniad mewn iaith syml a hunanwirio. Mae’r atebion yn aros ynghudd nes i chi ddewis eu dangos.

Opsiynau a ffynhonnell

Haen Uned 1

  • Haen Sylfaenol
  • Haen Uwch

Fersiwn 5, Crynodeb asesu: dewis haen annibynnol ar gyfer Uned 1

Haen Uned 2

  • Haen Sylfaenol
  • Haen Uwch

Fersiwn 5, Crynodeb asesu: dewis haen annibynnol ar gyfer Uned 2

Haen Uned 3

  • Haen Sylfaenol
  • Haen Uwch

Fersiwn 5, Crynodeb asesu: dewis haen annibynnol ar gyfer Uned 3

Grŵp testun

Rhif

63 pwyntiau adolygu
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.1.1 foundation; Unit 2 §1.1.1 foundation; Unit 3 §1.1.1 foundation. Tudalennau PDF 12: darllen ac ysgrifennu rhifau cyfan o unrhyw faint wedi'u mynegi mewn ffigurau neu eiriau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae rhifau cyfan yn cynnwys digidau 0 hyd 9 wedi eu gosod i gynrychioli pwerau deg. Mae deall maint yn gofyn am ddarllen digidau o'r chwith i'r dde, lle mae'r digid mwyaf chwith yn dal y gwerth lle mwyaf. Er enghraifft, mae'r rhif 450,231 yn cynnwys 4 cant o filoedd, 5 deg o filoedd, 0 miloedd, 2 gant, 3 deg, ac 1 uned. Mae ysgrifennu y rhain mewn geiriau yn dilyn confensiynau penodol lle mae cyfnodau fel miloedd a miliynau wedi eu gwahanu gan atalnodau i gynorthwyo darllen, fel ysgrifennu pedwar can pum deg mil, dau gant tri deg un.
    • Wrth drosi geiriau ysgrifenedig i ffigyrau rhifiadol, nodwch yr enwad mwyaf a grybwyllir gyntaf. Os cyflwynir 'dau filiwn, saith deg pump mil, a deuddeg', dehonglwch 'dau filiwn' fel 2,000,000. Mae 'saith deg pump mil' yn meddiannu bloc y miloedd fel 075, ac mae 'deuddeg' yn meddiannu'r tair digid olaf fel 012. Gan gyfuno'r rhain, y cynrychioliad rhifiadol yw 2,075,012. Mae'r strwythur hwn yn sicrhau bod deiliaid lle yn cael eu llenwi'n gywir gyda seroau, gan atal gwallau mewn dehongliad maint waeth a yw'r mewnbwn mewn testun disgrifiadol neu ffurf digid safonol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ymarfer darllen rhifau, ynyswch bob grŵp o dair digid wedi eu gwahanu gan atalnod. Darllenwch bob triad fel rhif ar wahân ac atodwch yr enw cyfnod, fel miliwn, mil, neu unedau. Er enghraifft, yn 8,409,005, darllenwch wyth (miliwn), pedwar cant naw (mil), a phump (unedau). Wrth ysgrifennu ffigyrau o destun, creu slotiau gwag ar gyfer pob gwerth lle i sicrhau manwl gywirdeb. Os rhoddir 'chwe chant mil ac wyth', ysgrifennwch chwech, sero, sero, sero, sero, wyth, gan arwain at 600,008. Gwirhewch fod cyfanswm y digidau yn cyfateb i'r raddfa ddisgwyliedig.
    • Gwnewch hunan-wirio trwy drosi 1,005,432 i eiriau ac i'r gwrthwyneb. Mae'r trosiad yn arwain at 'un miliwn, pum mil, pedwar cant tri deg dau'. Ailadroddwch hyn ar gyfer maint gwahanol fel 99,004 i sicrhau hyfedredd gyda hydoedd amrywiol. Gwiriwch bob amser bod deiliaid lle sy'n dilyn neu'n wag yn cael eu neilltuo'n gywir i ddigid sero. Mae ymarfer cyson o'r dull systematig hwn yn lleihau gwallau wrth weithio gyda setiau data mawr neu ffigyrau ariannol mewn problemau mathemategol.

    Mewn iaith syml

    Mae darllen ac ysgrifennu rhifau mawr yn golygu eu torri i grwpiau o dri a neilltuo'r gwerth lle cywir i bob un, fel cannoedd, miloedd, neu filiynau.

    Hunanwirio

    Ysgrifennwch y rhif 402,050 mewn geiriau.

    Dangos yr ateb

    Pedwar cant dau fil a hanner cant.

    Gweld diagramau

    Tabl gwerth lle ar gyfer 50.063

    Deg5Unedau0Degfedau0Canfedau6Milfedau3.Degol 50.063
    Allwedd a disgrifiad

    50.063 = 5 deg + 0 uned + 0 degfed + 6 canfed + 3 milfed.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.1.2 foundation; Unit 2 §1.1.2 foundation; Unit 3 §1.1.2 foundation. Tudalennau PDF 12: talgrynnu rhifau cyfan i'r 10, 100, 1000, ac ati agosaf

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae talgrynnu yn golygu brasamcanu rhif i werth symlach yn seiliedig ar werthoedd lle penodol fel y 10, 100, neu 1000 agosaf. I dalgrynnu i'r 10 agosaf, archwiliwch ddigid yr unedau. Os yw'r digid yn 5 neu'n fwy, talgrynnwch ddigid y degau i fyny o 1 a gosodwch ddigid yr unedau i 0. Os yw'n llai na 5, cadwch ddigid y degau yr un fath a gosodwch ddigid yr unedau i 0. Mae'r rhesymeg hon yn ymestyn i bwerau eraill o ddeg. Ar gyfer talgrynnu 3,462 i'r 100 agosaf, edrychwch ar golofn y degau, sydd yn 6. Oherwydd bod 6 yn 5 neu'n fwy, talgrynnwch ddigid y cannoedd i fyny (mae 4 yn dod yn 5) a gosodwch yr holl ddigidau i'r dde i sero, gan arwain at 3,500.
    • Mae deall cyflwr y ffin yn hanfodol ar gyfer talgrynnu cywir. Mae'r pwynt hanner ffordd, a gynrychiolir fel arfer gan 5, yn dweud bod yn rhaid talgrynnu i fyny i sicrhau safon gyson. Wrth dalgrynnu 7,500 i'r 1,000 agosaf, sylwch ar ddigid y cannoedd, sydd yn 5. Yn ôl y rheol dalgrynnu, mae hyn yn gofyn am dalgrynnu ddigid y miloedd i fyny (mae 7 yn dod yn 8) a sero-i'r gweddill, gan roi 8,000. Mae meistrolaeth ar y sgil hwn yn caniatáu brasamcan cyflym mewn rhifyddeg feddyliol ac yn darparu ffordd systematig i reoli manwl gywirdeb rhifiadol mewn cyd-destunau mathemategol amrywiol, o gyfrifyddu ariannol i grynodeb ystadegol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Nodwch y gwerth lle targed ar gyfer talgrynnu ac danlinellwch y digid i'w dde uniongyrchol. Ar gyfer talgrynnu 12,389 i'r 1,000 agosaf, mae lle'r miloedd yn 2 a digid y cannoedd i'w dde yw 3. Gan fod 3 yn llai na 5, cadwch ddigid y miloedd fel 2 a newidiwch yr holl ddigidau i'r dde i sero, gan arwain at 12,000. Pe bai'r digid i'r dde wedi bod yn 5 neu'n fwy, byddai digid y miloedd wedi cynyddu i 3, gan arwain at 13,000. Defnyddiwch yr un cam mecanyddol hwn i bob her dalgrynnu.
    • Gwirhewch eich gwaith trwy dynnu llinell rifau. Os ydych chi'n talgrynnu 56 i'r 10 agosaf, marciwch 50 a 60 ar y llinell. Gan fod 56 yn agosach at 60, gwirhewch fod y canlyniad yn cyd-fynd â'ch talgrynnu cyfrifedig. Mae'r gwiriad gweledol hwn yn cadarnhau cywirdeb eich cymhwysiad o'r rheolau talgrynnu, yn enwedig ar gyfer rhifau sy'n agos at y pwynt hanner ffordd. Mae ymarfer cyson yn adeiladu greddf ar gyfer lle mae rhif yn eistedd o gymharu â'i luosrifau agosaf, gan sicrhau bod tasgau talgrynnu yn cael eu perfformio'n ddibynadwy a heb ddryswch.

    Mewn iaith syml

    Mae talgrynnu yn gwneud rhifau yn haws i weithio gyda nhw trwy ddod o hyd i'r 10, 100, neu 1000 agosaf. Os yw'r digid nesaf yn 5 neu fwy, talgrynnwch i fyny; os yw'n llai na 5, talgrynnwch i lawr.

    Hunanwirio

    Talgrynnwch 8,472 i'r 100 agosaf.

    Dangos yr ateb

    8,500.

    Gweld diagramau

    Llinellau rhif ar gyfer talgrynnu a chyfanrifau

    Talgrynnu i’r deg agosaf505660Cyfanrifau−5−203
    Allwedd a disgrifiad

    Mae 56 rhwng 50 a 60, felly wrth dalgrynnu i’r deg agosaf mae’n talgrynnu i 60. Mae’r ail linell yn nodi’r cyfanrifau −5, −2, 0 a 3.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.1.3 foundation; Unit 2 §1.1.3 foundation; Unit 3 §1.1.3 foundation. Tudalennau PDF 12: deall gwerth lle rhifau cyfan a'r rhai sydd wedi'u hysgrifennu ar ffurf ddegol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gwerth lle yn pennu pwysau digid yn seiliedig ar ei safle mewn perthynas â'r pwynt degol. I'r chwith, mae pob safle yn cynrychioli pwerau cynyddol o ddeg: unedau, degau, cannoedd, miloedd, ac yn y blaen. I'r dde, mae pob safle yn cynrychioli ffracsiynau llehaol o ddeg: degfedau (1/10), canfedau (1/100), a milfedau (1/1000). Er enghraifft, yn y rhif 12.458, mae'r '1' yn lle'r degau, mae '2' yn lle'r unedau, mae '4' yn lle'r degfedau, mae '5' yn lle'r canfedau, ac mae '8' yn lle'r milfedau. Mae'r pwynt degol yn gweithredu fel angor ar gyfer y gwerthoedd hyn.
    • Mae deall y system hon yn hanfodol ar gyfer cymharu gwerthoedd degol. Gwall cyffredin yw tybio bod llinyn degol hirach yn fwy, ond mae 0.125 mewn gwirionedd yn llai na 0.2 oherwydd bod y lle degol cyntaf (degfedau) yn 0.2 yn uwch nag yn 0.125. Wrth archebu degolion, aliniwch y rhifau yn ôl eu pwynt degol a chymharwch bob colofn o'r chwith i'r dde. Mae hyn yn sicrhau bod y digidau mwyaf arwyddocaol yn cael eu cymharu gyntaf, gan nodi'n gywir pa werth sydd â maint mwy. Mae'r dull hwn yn aros yn gyson p'un a ydych yn delio â gwerthoedd arian cyfred syml neu fesuriadau gwyddonol cymhleth.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddadansoddi gwerth lle, crëwch dabl gyda cholofnau ar gyfer pob safle (miloedd, cannoedd, degau, unedau, pwynt degol, degfedau, canfedau, milfedau). Rhowch eich rhif yn y tabl gan alinio digidau i'r pwynt degol i ddelweddu gwerth pob digid. Ar gyfer 50.063, rhowch 5 yn y degau, 0 yn yr unedau, 0 yn y degfedau, 6 yn y canfedau, a 3 yn y milfedau. Mae'r dull grid hwn yn atal gwallau wrth ddarllen neu ysgrifennu rhifau gyda seroau mewn safleoedd arwyddocaol, gan egluro bod y 0 yng ngholofn y degfedau yn ddeiliad lle, nid absenoldeb gwerth.
    • Archebwch set o ddegolion trwy normaleiddio eu hyd gyda seroau. Er enghraifft, i gymharu 0.5, 0.49, a 0.512, ailysgrifennwch nhw fel 0.500, 0.490, a 0.512. Nawr, cymharwch y colofnau o'r chwith i'r dde: mae colofn y degfedau yn dangos 0.512 yw'r mwyaf (5), ac yna 0.500 (5), a 0.490 (4). Archebwch nhw fel 0.49, 0.5, 0.512. Mae'r dechneg padio hon yn darparu fframwaith dibynadwy, rhesymegol ar gyfer didoli unrhyw restr o ffigyrau degol yn gywir bob tro.

    Mewn iaith syml

    Mae gwerth lle yn dangos beth mae pob digid yn werth. I'r dde o'r pwynt degol, mae rhifau yn mynd yn llai (degfedau, canfedau, milfedau). Cymharwch rifau trwy alinio'r pwyntiau degol.

    Hunanwirio

    Pa un sy'n fwy: 0.8 neu 0.795?

    Dangos yr ateb

    0.8.

    Gweld diagramau

    Tabl gwerth lle ar gyfer 50.063

    Deg5Unedau0Degfedau0Canfedau6Milfedau3.Degol 50.063
    Allwedd a disgrifiad

    50.063 = 5 deg + 0 uned + 0 degfed + 6 canfed + 3 milfed.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.1.4 foundation; Unit 2 §1.1.4 foundation; Unit 3 §1.1.4 foundation. Tudalennau PDF 12: talgrynnu degolion i'r rhif cyfan agosaf neu i nifer penodol o leoedd degol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae talgrynnu degolion yn cynnwys trimio gwerth i nifer penodol o leoedd degol (dp) neu i'r rhif cyfan agosaf. Mae'r rheol yn aros yn gyson â rhifau cyfan: nodwch y digid yn union ar ôl eich safle targed. Os yw'r digid dilynol hwnnw yn 5 neu'n fwy, talgrynnwch y digid targed i fyny o un. Os yw'n llai na 5, gadewch y digid targed heb ei newid. Er enghraifft, mae talgrynnu 4.672 i 1 lle degol (dp) yn gofyn am edrych ar yr ail ddigid, 7. Oherwydd bod 7 yn 5 neu'n fwy, mae'r 6 yn lle'r degfedau yn cynyddu i 7, gan arwain at 4.7.
    • Wrth dalgrynnu i'r rhif cyfan agosaf, y targed yw digid yr unedau, a'r digid 'dilynol' yw'r digid cyntaf ar ôl y pwynt degol. Er enghraifft, yn 12.83, digid yr unedau yw 2. Mae'r digid i'w dde yn 8. Gan fod 8 yn 5 neu'n fwy, mae'r 2 yn talgrynnu i fyny i 3, gan roi 13. Yn yr un modd, mae talgrynnu 0.045 i 2 le degol yn edrych ar ddigid y milfedau, 5. Mae'r digid 4 yn lle'r canfedau yn cynyddu i 5, gan arwain at 0.05. Mae meistrolaeth ar y rhesymeg hon yn sicrhau bod manwl gywirdeb yn cael ei gynnal yn gyson, gan atal goramcangyfrif neu danamcangyfrif mewn mesuriadau amrywiol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I dalgrynnu 3.14159 i 3 lle degol, lleolwch y drydedd ddigid ar ôl y pwynt degol, sydd yn 1. Sylwch ar y digid yn union yn ei ddilyn, sydd yn 5. Gan fod 5 yn 5 neu'n fwy, cynyddwch y targed 1 i 2. Y canlyniad terfynol yw 3.142. Trwy ganolbwyntio'n benodol ar y digid un lle i'r dde, rydych yn dileu pob amwysedd o'r broses dalgrynnu. Gwirhewch bob amser bod eich rhif canlyniadol yn cynnal y nifer gofynnol o leoedd degol.
    • Ar gyfer hunan-wirio, talgrynnwch 7.996 i 2 le degol. Gan leoli'r ail le degol (9) a'r digid yn ei ddilyn (6), mae'n rhaid i chi dalgrynnu 9 i 10, sy'n cario drosodd i le'r degfedau, gan droi 7.99 yn 8.00. Mae ysgrifennu'r ddau sero yn bwysig i ddangos bod y talgrynnu wedi ei berfformio i fanwl gywirdeb 2 le degol. Mae hyn yn dangos manwl gywirdeb ac ymrwymiad i'r confensiynau safonol ar gyfer tasgau talgrynnu degol.

    Mewn iaith syml

    Mae talgrynnu degolion yn golygu eu newid i nifer penodol o leoedd. Edrychwch ar y digid ar ôl eich targed; os yw'n 5 neu fwy, ychwanegwch un. Os yw'n llai na 5, cadwch ef yr un fath.

    Hunanwirio

    Talgrynnwch 5.438 i 2 le degol.

    Dangos yr ateb

    5.44.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.1.5 foundation; Unit 2 §1.1.5 foundation; Unit 3 §1.1.5 foundation. Tudalennau PDF 13: talgrynnu rhifau i nifer penodol o ffigurau ystyrlon

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ffigurau arwyddocaol (sf) yn darparu mesur o fanwl gywirdeb ar gyfer rhif waeth beth fo'i faint. Y ffigur arwyddocaol cyntaf yw'r digid cyntaf nad yw'n sero wrth ddarllen o'r chwith i'r dde. Er enghraifft, yn 0.00405, y ffigur arwyddocaol cyntaf yw 4. Mae seroau dilynol yn cyfrif os ydynt rhwng digidau nad ydynt yn sero, ond nid yw seroau arweiniol byth yn cyfrif. I dalgrynnu i nifer penodol o ffigurau arwyddocaol, nodwch y digid targed (y un ar y cyfrif penodedig) a defnyddiwch y digid nesaf i benderfynu a ddylid talgrynnu i fyny, yn union fel gyda lleoedd degol.
    • Mae talgrynnu 45,720 i 2 ffigur arwyddocaol yn gofyn am ddod o hyd i'r ddau ddigid cyntaf: 4 a 5. Y digid nesaf yw 7, sydd yn 5 neu'n fwy, felly mae'r 5 yn talgrynnu i fyny i 6. Er mwyn cynnal maint y rhif, mae'r lleoedd sy'n weddill yn cael eu llenwi â seroau, gan arwain at 46,000. Ar gyfer degolion, mae talgrynnu 0.00284 i 2 ffigur arwyddocaol yn targedu'r 2 ac 8. Y digid nesaf yw 4, felly mae'r 8 yn aros heb ei newid, gan roi 0.0028. Mae'r system hon yn sicrhau bod rhifau yn cynnal eu graddfa wrth ddarparu'r lefel ddymunol o gywirdeb sy'n ofynnol ar gyfer y cyfrifiad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I dalgrynnu 0.05062 i 2 ffigur arwyddocaol, anwybyddwch seroau arweiniol a dewch o hyd i'r ffigur arwyddocaol cyntaf (5). Yr ail yw 0 (mae rhwng 5 a 6, felly mae'n cyfrif). Y digid yn dilyn yr ail sf yw 6. Oherwydd bod 6 yn 5 neu'n fwy, mae'r ail sf (0) yn dod yn 1. Y canlyniad yw 0.051. Pe gofynnid i chi am 3 ffigur arwyddocaol, byddech yn edrych ar y digid ar ôl y drydedd sf (2), sydd yn llai na 5, felly mae'r canlyniad yn aros yn 0.0506.
    • Gwirhewch eich dealltwriaeth trwy dalgrynnu 1,008 i 2 ffigur arwyddocaol. Y sf gyntaf yw 1, yr ail yw 0. Y digid nesaf yw 0. Felly, y canlyniad yw 1,000. Os ydych yn talgrynnu i 3 sf, y drydedd ffigur yw 0, y nesaf yw 8, felly mae'r 0 yn dod yn 1, gan roi 1,010. Trwy nodi'r sf targed yn systematig, rydych yn sicrhau manwl gywirdeb a chysondeb wrth adrodd data, cam hanfodol ar gyfer datrys problemau rhifiadol aml-gam cymhleth lle mae'n rhaid rheoli lluosi gwallau yn llym.

    Mewn iaith syml

    Mae ffigurau arwyddocaol yn mesur manwl gywirdeb. Nhw yw'r digidau cyntaf nad ydynt yn sero. I dalgrynnu, nodwch y digid targed a defnyddiwch yr un i'w dde i benderfynu a ydych yn talgrynnu i fyny.

    Hunanwirio

    Talgrynnwch 0.00762 i 2 ffigur arwyddocaol.

    Dangos yr ateb

    0.0076.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.1.6 foundation; Unit 2 §1.1.6 foundation; Unit 3 §1.1.6 foundation. Tudalennau PDF 13: deall, defnyddio a threfnu rhifau cyfeiriol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae rhifau cyfeiriedig, a elwir hefyd yn gyfanrifau, yn cynnwys rhifau positif, rhifau negatif, a sero. Ar linell rifau, mae rhifau positif yn ymestyn i'r dde o sero, tra bod rhifau negatif yn ymestyn i'r chwith. Mae gwerth rhif yn lleihau wrth i chi symud ymhellach i'r chwith. Er enghraifft, mae -10 yn llai na -2. Wrth gymharu rhifau cyfeiriedig, cofiwch fod unrhyw rif positif bob amser yn fwy nag unrhyw rif negatif. Mae deall yr archebu hwn yn hanfodol ar gyfer gosod rhifau'n gywir mewn dilyniant neu berfformio gweithrediadau sylfaenol fel dod o hyd i'r gwahaniaeth rhwng dau dymheredd.
    • Mae cymhwyso gweithrediadau i rifau cyfeiriedig yn gofyn am ddilyn rheolau arwyddion penodol. Wrth ychwanegu rhif negatif, mae'n cyfateb i dynnu'r fersiwn positif, e.e., 5 + (-3) = 2. Mae tynnu rhif negatif yn cyfateb i ychwanegu'r fersiwn positif, e.e., 5 - (-3) = 8. Mae lluosi a rhannu yn dilyn yr un rhesymeg: mae lluosi dau rif gyda'r un arwydd yn arwain at ganlyniad positif, tra bod gwahanol arwyddion yn arwain at ganlyniad negatif. Er enghraifft, mae -4 wedi ei luosi â 3 yn hafal i -12, ac mae -4 wedi ei luosi â -3 yn hafal i 12.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ymarfer archebu rhifau cyfeiriedig trwy ddelweddu thermomedr fertigol. Mae tymheredd fel -5, -2, 0, a 3 yn cael eu harchebu o'r gwaelod i'r brig. I archebu'r rhain, nodwch y mwyaf negatif fel y lleiaf (-5), yna symudwch tuag at sero (-2), yna'r gwerthoedd positif (0, 3). Mae'r cynrychioliad corfforol hwn yn egluro bod -5 ymhellach o sero ar yr ochr negatif, gan gadarnhau ei werth llai o gymharu â -2. Ysgrifennwch y rhestrau hyn yn ofalus er mwyn osgoi drysu lleoliad arwyddion.
    • Datryswch ymadroddion sy'n cynnwys rhifau cyfeiriedig trwy brosesu un pâr o arwyddion ar y tro. Ar gyfer 10 - (-5) + (-2), newidiwch 10 - (-5) i 10 + 5 = 15 yn gyntaf. Yna ychwanegwch y (-2), sy'n symleiddio i 15 - 2 = 13. Trwy dorri ymadroddion aml-gam i weithrediadau deuaidd sylfaenol, rydych yn lleihau'r risg o wallau rhifyddol. Gwirhewch arwydd terfynol pob canlyniad yn erbyn y rheolau lluosi/rhannu: mae negatif wedi ei luosi â phositif yn negatif, mae negatif wedi ei luosi â negatif yn bositif.

    Mewn iaith syml

    Mae rhifau cyfeiriedig yn rhifau positif a negatif. Mae rhifau negatif i'r chwith o sero. Mae tynnu negatif yr un peth ag ychwanegu positif.

    Hunanwirio

    Gwerthuswch 7 - (-4) + (-3).

    Dangos yr ateb

    8.

    Gweld diagramau

    Llinellau rhif ar gyfer talgrynnu a chyfanrifau

    Talgrynnu i’r deg agosaf505660Cyfanrifau−5−203
    Allwedd a disgrifiad

    Mae 56 rhwng 50 a 60, felly wrth dalgrynnu i’r deg agosaf mae’n talgrynnu i 60. Mae’r ail linell yn nodi’r cyfanrifau −5, −2, 0 a 3.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.1.7 foundation; Unit 3 §1.1.7 foundation. Tudalennau PDF 13: penderfynu a ddylid talgrynnu i fyny neu i lawr, fel y bo'n briodol, mewn problem

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae talgrynnu mewn problemau byd-gowir yn aml yn gofyn am benderfyniad strategol i dalgrynnu i fyny neu i lawr yn dibynnu ar y canlyniad dymunol. Nid yw talgrynnu safonol (talgrynnu i'r agosaf) bob amser yn briodol pan fo cyfyngiadau yn bresennol. Er enghraifft, os ydych chi'n trefnu trafnidiaeth ar gyfer grŵp o bobl ac mae capasiti bws yn 50, ond mae gennych 102 o bobl, rhaid i chi dalgrynnu i fyny i'r bws cyfan agosaf (102 / 50 = 2.04), gan ofyn am 3 bws i sicrhau bod pawb yn cael eu cludo. Gelwir hyn yn 'talgrynnu i fyny' i fodloni cyfyngiad sylw llawn.
    • I'r gwrthwyneb, mae talgrynnu i lawr yn angenrheidiol pan fo gennych gyllideb gyfyngedig neu gapasiti sefydlog. Os oes gennych 50 punt a bod pob eitem yn costio 7 punt, rhaid i chi gyfrifo 50 / 7 = 7.14. Ni allwch brynu'r 8fed eitem oherwydd bod diffyg arian arnoch, felly rhaid i chi dalgrynnu i lawr i 7 eitem waeth beth fo'r gwerth degol. Mae deall y senarios hyn yn hanfodol ar gyfer cywirdeb mewn mathemateg gymhwysol. Ymwybyddiaeth gyd-destunol yw'r prif ysgogydd ar gyfer dewis y cyfeiriad talgrynnu, gan sicrhau bod datrysiadau yn ymarferol, yn ymarferadwy, ac yn cydymffurfio â chyfyngiadau byd-gowir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Pan wynebir problem eiriau, diffiniwch yn gyntaf beth mae eich canlyniad yn ei gynrychioli: pobl, arian cyfred, neu ddeunyddiau. Os yw'r canlyniad yn cynnwys hollti eitemau na ellir eu rhannu, fel bysiau neu bobl, byddwch bron bob amser yn talgrynnu i fyny. Ar gyfer cyfrifiad sy'n gofyn am 4.1 tacsi ar gyfer 21 o bobl, ni allwch archebu 0.1 o dacsi, felly talgrynnwch i fyny i 5 tacsi. Ysgrifennwch ddatganiad byr yn cyfiawnhau pam y talgrynoch i fyny neu i lawr, gan gadarnhau bod eich ateb yn rhif cyfan sy'n bodloni gofynion corfforol y senario.
    • Ar gyfer problemau sy'n cynnwys arian neu adnoddau, defnyddiwch rannu yna gwiriwch y gweddill. Os ydych yn cyfrifo faint o becynnau cyfan o 6 theils y gallwch eu prynu gyda 38 o theils eu hangen, 38 / 6 = 6.33. Mae angen i chi brynu 7 pecyn i gwmpasu'r gofyniad llawn, gan dalgrynnu i fyny. Os mai cyfyngiad y gyllideb yw'r ffocws, fel prynu cymaint â phosibl gyda 40 punt lle mae eitemau'n costio 6 punt, 40 / 6 = 6.66. Ni allwch brynu ond 6 eitem, felly talgrynnwch i lawr. Mae'r gwahaniaethau hyn yn hanfodol ar gyfer llwyddiant mathemategol byd-gowir.

    Mewn iaith syml

    Mewn problemau byd-gowir, mae talgrynnu i fyny neu i lawr yn dibynnu ar y sefyllfa. Os oes angen sylw llawn, talgrynnwch i fyny bob amser. Os ydych wedi eich cyfyngu gan gyllideb, talgrynnwch i lawr.

    Hunanwirio

    Os oes angen i chi gludo 145 o fyfyrwyr ac mae pob hyfforddwr yn dal 50, faint o hyfforddwyr sydd eu hangen?

    Dangos yr ateb

    3 hyfforddwr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.1.8 foundation; Unit 2 §1.1.8 foundation; Unit 3 §1.1.8 foundation. Tudalennau PDF 13: gwirio dulliau a datrysiadau gan ddefnyddio strategaethau priodol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gwirio gwaith mathemategol yn hanfodol ar gyfer cywirdeb yn arholiadau TGAU. Un strategaeth sylfaenol yw defnyddio gweithrediadau gwrthdro i wirio canlyniadau. Os yw problem yn cynnwys adio, fel cyfrifo 145 + 236 = 381, gallwch wirio hyn trwy berfformio y weithred wrthdro: 381 - 236. Os yw y canlyniad yn 145, mae eich swm gwreiddiol yn debygol o fod yn gywir. Mae y rhesymeg hon yn ymestyn i luosi ac adrannu; i wirio 12 * 15 = 180, perfformiwch 180 / 15, sydd yn rhaid iddo fod yn hafal i 12. Mae y gwiriadau gwrthdro hyn yn hanfodol ar gyfer nodi gwallau rhifyddeg syml sydd yn digwydd yn aml yn ystod amgylcheddau profi dan bwysau.
    • Mae amcangyfrif yn darparu ail haen o wiriad ar gyfer cyfrifiadau aml-gam cymhleth. Trwy dalgrynnu pob cydran o gyfrifiad i un ffigwr arwyddocaol, gallwch benderfynu os yw eich ateb terfynol yn rhesymol. Er enghraifft, os gofynnir i chi gyfrifo (49 * 21) / 4.8, gallwch amcangyfrif hyn trwy gyfrifo (50 * 20) / 5. Mae y cyfrifiad yn dod yn 1000 / 5, sydd yn hafal i 200. Os yw eich ateb cyfrifedig yn gwyro yn sylweddol oddi wrth 200, megis 20 neu 2000, rydych yn gwybod ar unwaith bod gwall pwynt degol neu wall trefn gweithrediadau wedi digwydd. Mae defnyddio y strategaethau hyn gyda'i gilydd yn sicrhau bod eich gwaith yn parhau i fod yn gadarn trwy gydol yr asesiad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Er mwyn dangos y dull gwirio gwrthdro, datryswch yr hafaliad 567 - 289. Ar ôl cyfrifo 567 - 289 = 278, gwiriwch hyn trwy berfformio y swm adio 278 + 289. Mae canlyniad 278 + 289 yn 567, sydd yn cyfateb i y rhif gwreiddiol, gan gadarnhau bod y tynnu yn gywir. Os oeddech yn datrys hafaliad algebraidd fel 3x = 42, rhannwch 42 â 3 yn gyntaf i ddod o hyd i x = 14. I wirio hyn, amnewidiwch 14 yn ôl i'r hafaliad: 3 * 14 = 42. Gan fod 42 = 42, mae y datrysiad wedi ei wirio fel un cywir.
    • Defnyddiwch y gwiriad amcangyfrif i'r broblem: Cyfrifwch 8.1 * 42.4 wedi ei rannu â 1.9. Yn gyntaf, talgrynnwch y rhifau: 8 * 40 wedi ei rannu â 2. Mae hyn yn symleiddio i 320 wedi ei rannu â 2, sydd yn hafal i 160. Nawr perfformiwch y cyfrifiad gwirioneddol: 8.1 * 42.4 = 343.44. Yna, mae 343.44 wedi ei rannu â 1.9 yn 180.758. Mae yr amcangyfrif 160 yn agos at 180, sydd yn nodi bod y cyfrifiad yn debygol o fod yn gywir o ran maint. Perfformiwch y cyfrifiad llawn yn gyntaf bob amser, yna perfformiwch yr amcangyfrif i wirio os yw graddfa yr ateb yn rhesymegol.
    • Mae gwiriadau yn berthnasol y tu hwnt i rifyddeg. Ar gyfer triongl gydag onglau 45°, 60° a thrydedd ongl arfaethedig o 80°, mae eu swm yn 185°, nid 180°, felly mae o leiaf un gwerth yn anghywir. Ar gyfer tabl amlder, adiwch bob amlder a chymharwch â maint y sampl. Ar gyfer croestoriad graff, amnewidiwch y cyfesurynnau a ddarllenwyd i'r ddwy hafaliad, gan ganiatáu ar gyfer cywirdeb y graff.

    Mewn iaith syml

    Gwiriwch eich atebion trwy wneud y swm gwrthwyneb neu trwy dalgrynnu rhifau i weld os yw yr ateb yn gwneud synnwyr.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch 412 + 159 a gwiriwch eich ateb gan ddefnyddio tynnu.

    Dangos yr ateb

    571; gwiriad: 571 - 159 = 412.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.1.9 foundation. Tudalennau PDF 13: amcangyfrif datrysiadau i gyfrifiadau rhifiadol drwy frasamcanu'r rhifau yn y cyfrifiadau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae amcangyfrif yn sgil mathemategol hollbwysig a ddefnyddir i ddod o hyd i ddatrysiadau bras i gyfrifiadau heb berfformio rhifyddeg fanwl gywir. Mae y dechneg sylfaenol yn cynnwys talgrynnu pob rhif mewn cyfrifiad cymhleth i y gwerth synhwyrol agosaf, fel arfer un ffigwr arwyddocaol neu rif crwn sydd yn gwneud rhifyddeg feddyliol yn syml. Mae hyn yn caniatáu i chi asesu maint ateb yn gyflym a chanfod gwallau mawr yn ystod amodau arholiad. Trwy symleiddio rhifau i bwerau deg neu luosrifau syml, gellir amcangyfrif gweithrediadau cymhleth fel (39 * 51) / 9.8 fel (40 * 50) / 10, sydd yn rhoi 200. Mae y brasamcan hwn yn darparu mesur dibynadwy i sicrhau bod eich ateb cyfrifedig terfynol o'r drefn maint cywir.
    • Y tu hwnt i luosi ac adrannu syml, mae amcangyfrif yn ddefnyddiol ar gyfer gwirio senarios mwy cymhleth sydd yn cynnwys gwreiddiau neu adio rhifau mawr. Er enghraifft, i amcangyfrif ail isradd 83, nodwch fod 81 yn sgwâr perffaith (9*9) a bod 100 yn sgwâr perffaith (10*10). Gan fod 83 yn llawer agosach at 81, dylai yr amcangyfrif fod ychydig dros 9. Wrth ddelio ag adio, mae talgrynnu i'r deg neu gant agosaf yn helpu i atal gwallau trychinebus lle gall miloedd gael eu camgymryd am gannoedd. Mae meistroli y technegau brasamcanu hyn yn sicrhau eich bod yn perfformio gwiriadau mathemategol dilys yn gyson cyn gorffen eich gwaith ar bapur.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ymarfer amcangyfrif, ystyriwch y cyfrifiad 192 * 4.9. I amcangyfrif hyn, talgrynnwch 192 i 200 a 4.9 i 5. Mae y cyfrifiad yn dod yn 200 * 5, sydd yn arwain at 1000. Wrth berfformio y cyfrifiad gwirioneddol, mae 192 * 4.9 yn hafal i 940.8. Mae yr amcangyfrif 1000 yn agos iawn at 940.8, sydd yn cadarnhau bod eich cyfrifiad yn debygol o fod yn gywir. Dylid cymhwyso y broses hon yn gyson i bob problem rifol sydd yn ymwneud â lluosi er mwyn sicrhau bod eich canlyniadau yn cyd-fynd â disgwyliad sylfaenol.
    • Ystyriwch y cyfrifiad (508 + 291) / 3.9. Defnyddiwch amcangyfrif i ragweld yr ateb. Talgrynnwch 508 i 500 a 291 i 300, gan roi 800. Yna talgrynnwch 3.9 i 4. Mae yr amcangyfrif yn 800 / 4 = 200. Nawr perfformiwch y cyfrifiad llawn: 508 + 291 = 799. Nesaf, mae 799 / 3.9 yn hafal i tua 204.87. Gan fod 204.87 yn agos iawn at eich amcangyfrif o 200, rydych wedi dilysu dilysrwydd eich canlyniad trwy frasamcanu. Mae defnyddio y strategaeth hon yn rheolaidd yn atal gwallau sydd yn cael eu hachosi gan gamgymeriadau mewnbynnu cyfrifiannell syml.
    • Amcangyfrifwch cyn derbyn ateb: mae petryal o ryw 20 m wrth 30 m ag arwynebedd o tua 600 m², felly mae ateb sy'n agos at 60 m² yn awgrymu pwynt degol wedi'i gamleoli. Mewn 100 tafliad o ddarn arian teg, mae tua 50 o bennau yn rhesymol; mae 500 o bennau yn amhosibl oherwydd ei fod yn fwy na'r cyfanswm o dafliadau. Mae canlyniad credadwy yn wiriad, nid prawf bod yr holl weithio yn gywir.

    Mewn iaith syml

    Talgrynnwch y rhifau yn eich swm i'r rhif syml agosaf er mwyn i chi allu gwneud y mathemateg yn eich pen a gweld os yw eich ateb terfynol yn fras gywir.

    Hunanwirio

    Amcangyfrifwch werth 203 * 4.1 gan ddefnyddio talgrynnu.

    Dangos yr ateb

    Amcangyfrif: 200 * 4 = 800 (Gwir werth: 832.3).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.2.1 foundation; Unit 2 §1.2.1 foundation; Unit 3 §1.2.1 foundation. Tudalennau PDF 13: priodweddau cyffredin rhifau, gan gynnwys odrifau, eilrifau, lluosrifau, ffactorau, rhifau cysefin

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae deall dosbarthiad sylfaenol cyfanrifau yn hanfodol ar gyfer theori rhifau. Mae cyfanrifau yn cynnwys pob rhif cyfan, gan gynnwys rhifau negatif, sero, a gwerthoedd positif. Mae rhifau eilrif yn gyfanrifau y gellir eu rhannu â 2 heb weddill, wedi'u cynrychioli gan 2n, tra bod rhifau odrif yn rhai sy'n gadael gweddill o 1 pan gânt eu rhannu â 2, wedi'u cynrychioli gan 2n+1. Mae'r dosbarthiad deuaidd hwn yn diffinio eilrifedd neu odrifedd unrhyw gyfanrif ar y llinell rifau.
    • Mae priodweddau pellach yn cynnwys ffactorau, lluosrifau, a rhifau cysefin. Ffactor yw cyfanrif sy'n rhannu cyfanrif arall yn union heb adael gweddill; er enghraifft, ffactorau 12 yw 1, 2, 3, 4, 6, a 12. Mae lluosrif yn gynnyrch cyfanrif ac unrhyw gyfanrif arall; er enghraifft, mae 24 yn lluosrif o 6. Rhif cysefin yw rhif naturiol mwy na 1 sydd ag union ddau ffactor positif gwahanol: 1 a'i hun. Mae'r priodweddau hyn yn ffurfio'r sail ar gyfer dadansoddi perthnasoedd rhifiadol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I nodi priodweddau, dechreuwch â gwirio cysefinrwydd. I wirio os yw 13 yn gysefin, ceisiwch ei rannu â rhifau cysefin hyd at ail isradd 13. Gan nad yw 2 a 3 yn ei rannu'n berffaith, cadarnheir ei fod yn rif cysefin. I ddod o hyd i ffactorau, rhestrwch barau sy'n lluosi i'r targed. Ar gyfer 20, profwch: 1x20, 2x10, a 4x5. Y set o ffactorau yw {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Mae'r dull systematig hwn yn sicrhau bod yr holl ffactorau yn cael eu dal.
    • Ar gyfer lluosrifau, nodwch ddilyniant y cynhyrchion. Cyfrifir pum lluosrif cyntaf 7 gan 7*1=7, 7*2=14, 7*3=21, 7*4=28, a 7*5=35. Wrth ddosbarthu eilrifedd neu odrifedd, arsylwch rif olaf y rhif. Os yw'r digid terfynol yn 0, 2, 4, 6, neu 8, mae'r rhif yn eilrif; fel arall, mae'n odrif. Mae'r gwiriad gweledol syml hwn yn caniatáu dosbarthiad uniongyrchol o gyfanrifau mawr heb berfformio'r weithred rannu lawn.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn esbonio sut mae rhifau yn cael eu grwpio, fel p'un a ydynt yn eilrif neu odrif, a sut i ddod o hyd i'w ffactorau, lluosrifau, a rhifau cysefin.

    Hunanwirio

    Nodwch os yw 17 yn gysefin a rhestrwch yr holl ffactorau o 16.

    Dangos yr ateb

    Mae 17 yn gysefin. Ffactorau 16 yw 1, 2, 4, 8, 16.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.2.2 foundation; Unit 2 §1.2.2 foundation; Unit 3 §1.2.2 foundation. Tudalennau PDF 13: ystyr y termau rhif wedi'i sgwario, ail isradd, rhif ciwb a thrydydd isradd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae sgwario rhif yn golygu ei luosi ag ef ei hun, wedi'i ddynodi gan yr esbonydd 2 (x^2). Er enghraifft, mae 5 wedi'i sgwario (5^2) yn 5 * 5 = 25. Mae'r weithred wrthdro, dod o hyd i'r ail isradd, yn gofyn pa rif wedi'i luosi ag ef ei hun sy'n arwain at y gwerth gwreiddiol. Er enghraifft, yr ail isradd o 25 (√25) yw 5. Mae'r berthynas hon yn hanfodol mewn cymwysiadau geometrig fel arwynebedd, lle mae arwynebedd sgwâr gyda hyd ochr s yn s wedi'i sgwario.
    • Mae ciwbio rhif yn golygu ei luosi ag ef ei hun dair gwaith, wedi'i ddynodi gan yr esbonydd 3 (x^3). Er enghraifft, mae 3 wedi'i giwbio (3^3) yn 3 * 3 * 3 = 27. Yr isradd giwb o rif yw'r gwerth sydd, pan gaiff ei luosi ag ef ei hun dair gwaith, yn cynhyrchu'r rhif gwreiddiol. Er enghraifft, yr isradd giwb o 27 (∛27) yw 3. Mae'r gweithredoedd hyn yn hanfodol ar gyfer deall cyfrolau a pherthnasoedd algebraidd mwy datblygedig.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Wrth gyfrifo sgwariau neu giwbiau, sicrhewch fod yr esbonydd yn cael ei gymhwyso'n gywir i'r sylfaen. Ar gyfer 4^2, cyfrifwch 4 * 4 = 16. Ar gyfer 4^3, perfformiwch 4 * 4 * 4, sy'n 16 * 4 = 64. Wrth weithio gydag israddau ar gyfrifiannell, defnyddiwch yr allweddi penodol ar gyfer ail isradd (√) neu'r swyddogaeth ar gyfer isradd giwb (fel arfer ∛x neu x^(1/3)). I ddatrys √81, mewnbynnwch 81 yna'r allwedd isradd i adfer 9, oherwydd 9 * 9 = 81.
    • I ddatrys problemau mwy cymhleth, cyfunwch y camau hyn. Os gofynnir am werth 2^3 + √16, datryswch y pwerau a'r israddau ar wahân yn gyntaf. Cyfrifwch 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8. Yna cyfrifwch √16 = 4. Ychwanegwch y canlyniadau: 8 + 4 = 12. Mae'r dull hwn o dorri mynegiadau i lawr yn dilyn trefn safonol gweithrediadau, gan sicrhau bod termau esbonyddol ac israddol yn cael eu gwerthuso cyn perfformio adio neu dynnu.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dysgu sut i sgwario a chiwbio rhifau, a sut i ddod o hyd i'w hisraddau, sy'n ddefnyddiol ar gyfer geometreg a chyfrifo cyfrolau.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch 6 wedi'i sgwario ac isradd giwb 64.

    Dangos yr ateb

    Mae 6 wedi'i sgwario yn 36; isradd giwb 64 yw 4.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §1.2.3 foundation; Unit 3 §1.2.3 foundation. Tudalennau PDF 13: ystyr y term cilydd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Diffinnir cyfreciprocal rhif fel 1 wedi'i rannu â'r rhif hwnnw. Ar gyfer unrhyw rif heblaw sero x, ei gyfreciprocal yw 1/x. Mae'r cysyniad hwn yn sylfaenol i ddeall gwrthdro lluosol. Er enghraifft, cyfreciprocal 5 yw 1/5. Os yw'r rhif yn ffracsiwn fel a/b, ceir ei gyfreciprocal drwy droi'r rhifiadur a'r enwadur, sy'n arwain at b/a. Felly, cyfreciprocal 2/3 yw 3/2.
    • Mae deall cyfreciprocals yn hanfodol ar gyfer trin algebra a datrys hafaliadau. Pan gaiff rhif ei luosi â'i gyfreciprocal, y canlyniad yw 1 bob amser (e.e., 5 * 1/5 = 1). Dyma pam y cânt eu galw'n wrthdro lluosol. Sylwch nad oes gan sero gyfreciprocal, oherwydd bod rhannu â sero yn amhenodol mewn rhifyddeg safonol. Mae adnabod sut i drosi cyfanrifau, degolion, a ffracsiynau yn gyfreciprocals yn sgil angenrheidiol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i gyfreciprocal cyfanrif, ysgrifennwch ef fel ffracsiwn dros 1 a'i wrthdroi. Ar gyfer y rhif 8, ysgrifennwch ef fel 8/1; felly ei gyfreciprocal yw 1/8. I fynegi hyn fel degol, rhannwch 1 â 8, sy'n hafal i 0.125. Ar gyfer ffracsiwn, megis 7/4, syml gyfnewidiwch y rhifau i gael 4/7. Gwirio bob amser bod cynnyrch y rhif a'i gyfreciprocal yn hafal i 1 i sicrhau bod y cyfrifiad yn gywir.
    • Wrth ddelio â rhifau cymysg, trosi nhw i ffracsiynau amhriodol yn gyntaf. Ar gyfer 1 1/2, trosi i 3/2. Yna mae'r cyfreciprocal yn 2/3. Ar gyfer gwerthoedd degol fel 0.4, trosi i ffracsiwn yn gyntaf: mae 0.4 yn 4/10, neu 2/5. Yna mae'r cyfreciprocal yn 5/2, sy'n 2.5. Mae'r broses drosi hon yn osgoi camgymeriadau sy'n digwydd yn aml wrth geisio cyfrifo cyfreciprocal degol yn uniongyrchol gan ddefnyddio rhannu.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn esbonio mai cyfreciprocal yw'r hyn a gewch pan fyddwch yn troi rhif yn ffracsiwn fel 1/x, sy'n ddefnyddiol ar gyfer algebra.

    Hunanwirio

    Beth yw cyfreciprocal 4, a beth yw cyfreciprocal 2/5?

    Dangos yr ateb

    Cyfreciprocal 4 yw 1/4 (0.25); cyfreciprocal 2/5 yw 5/2 (2.5).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.2.4 foundation. Tudalennau PDF 14: mynegi rhifau fel lluoswm eu ffactorau cysefin ar ffurf indecs

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Gellir mynegi pob cyfanrif cyfansawdd yn unigryw fel cynnyrch rhifau cysefin. Gelwir hyn yn ddadelfennu ffactor cysefin. I ysgrifennu hyn ar ffurf indeccs, defnyddiwn esbonyddion i gynrychioli ffactorau cysefin ailadroddus. Er enghraifft, gellir dadelfennu'r rhif 72: 72 = 8 * 9 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3. Ar ffurf indeccs, ysgrifennir hyn fel 2^3 * 3^2. Mae'r nodiant hwn yn ffordd gryno ac effeithlon o ddisgrifio strwythur rhifiadol cyfanrifau.
    • Mae'r broses o nodiant ffurf indeccs yn sicrhau bod seiliau cysefin yn cael eu grwpio ynghyd, gan ei gwneud yn haws gweld strwythur rhif. Mae hyn yn hanfodol ar gyfer cymharu rhifau, symleiddio ffracsiynau, a dod o hyd i ffactorau cyffredin. Drwy gynrychioli rhif fel 100 fel 2^2 * 5^2, gall un nodi'r cydrannau cysefin sy'n cyfrannu at y gwerth yn syth, sy'n cynorthwyo i ddatrys problemau rhifiadol ac algebraidd mwy cymhleth yn ddiweddarach yn y cwricwlwm.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i'r ffactorau cysefin, defnyddiwch goeden ffactorau. Dechreuwch gydag unrhyw bâr o ffactorau ar gyfer y rhif a roddwyd. Ar gyfer 60, dewiswch 6 * 10. Gan fod 6 = 2 * 3 a 10 = 2 * 5, y ffactorau yw 2, 2, 3, a 5. Casglwch nhw: 2, 2, 3, 5. Ysgrifennwch y canlyniad terfynol ar ffurf indeccs drwy gyfrif nifer yr achosion o bob rhif cysefin. Gan fod 2 yn ymddangos ddwywaith, ysgrifennwch 2^2. Felly, ffactoroliad cysefin 60 yw 2^2 * 3^1 * 5^1 (neu 2^2 * 3 * 5).
    • Ailadroddwch y dull hwn ar gyfer rhifau mwy. Ar gyfer 120, dadelfennwch ef: 120 = 12 * 10 = (3 * 4) * (2 * 5) = 3 * (2 * 2) * 2 * 5. Mae casglu'r ffactorau cysefin yn cynhyrchu 2 * 2 * 2 * 3 * 5. Mae trosi hyn i ffurf indeccs yn arwain at 2^3 * 3^1 * 5^1. Mae'r gostyngiad systematig hwn yn sicrhau na chollir unrhyw ffactor cysefin. Perfformiwch wiriad lluosi cyflym ar y diwedd bob amser i gadarnhau bod y cynnyrch yn cyfateb i'r rhif gwreiddiol.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dysgu sut i ddadelfennu rhif i'w gydrannau cysefin a'i ysgrifennu gan ddefnyddio pwerau, sy'n helpu gyda mathemateg uwch.

    Hunanwirio

    Ysgrifennwch 40 fel cynnyrch ei ffactorau cysefin ar ffurf indeccs.

    Dangos yr ateb

    40 = 2 * 2 * 2 * 5 = 2^3 * 5^1.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.2.5 foundation. Tudalennau PDF 14: dod o hyd i'r lluosrif cyffredin lleiaf a'r ffactor cyffredin mwyaf gan ddefnyddio dadelfennu ffactor cysefin neu ddulliau priodol eraill

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Y Ffactor Cyffredin Uchaf (HCF) o ddau rif neu ragor yw'r cyfanrif positif mwyaf sy'n rhannu pob un o'r rhifau a roddwyd heb weddill. I'r gwrthwyneb, y Lluosrif Cyffredin Lleiaf (LCM) yw'r cyfanrif positif lleiaf sy'n lluosrif o bob un o'r rhifau a roddwyd. Mae ffactoroliad cysefin yn arf pwerus i bennu'r ddau; drwy ddadelfennu rhifau i ffactorau cysefin, gall un gymharu eu cyfansoddiad i ddod o hyd i'r gwerthoedd hyn yn systematig.
    • I ddod o hyd i'r HCF, nodwch bŵer isaf yr holl ffactorau cysefin cyffredin. I ddod o hyd i'r LCM, nodwch bŵer uchaf pob ffactor cysefin sy'n bresennol yn unrhyw un o'r rhifau. Mae'r metrigau hyn yn hanfodol ar gyfer symleiddio mynegiadau, datrys cyfrannau, a dod o hyd i enwaduron cyffredin. Mae meistroli'r technegau hyn gan ddefnyddio dadelfennu cysefin yn caniatáu dull mwy dibynadwy o ddatrys problemau rhifau o gymharu â rhestru syml.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i HCF ac LCM o 24 a 36, dewch o hyd i ffactorau cysefin yn gyntaf. 24 = 2^3 * 3^1. 36 = 2^2 * 3^2. Ar gyfer HCF, cymerwch y ffactorau cysefin cyffredin gyda'r pŵer isaf: 2^2 (cyffredin i'r ddau) a 3^1 (cyffredin i'r ddau). HCF = 2^2 * 3^1 = 4 * 3 = 12. Ar gyfer LCM, cymerwch bob ffactor cysefin gyda'r pŵer uchaf: 2^3 (o 24) a 3^2 (o 36). LCM = 2^3 * 3^2 = 8 * 9 = 72.
    • Gwirio cyfrifiadau drwy wirio os yw'r canlyniadau'n gwneud synnwyr. Gan mai 12 yw'r rhif mwyaf sy'n rhannu 24 a 36, a 72 yw'r rhif lleiaf y gellir ei rannu gan y ddau, mae'r cyfrifiad yn rhesymegol gadarn. Ar gyfer rhifau mwy neu dri rhif, cymhwyswch yr un camau: ysgrifennwch bob un fel cynnyrch cysefin, yna dewiswch y pwerau lleiaf ar gyfer HCF a'r pwerau uchaf ar gyfer LCM ar draws set lawn y ffactorau a geir ym mhob rhif.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dangos sut i ddod o hyd i'r ffactor mwyaf sydd gan ddau rif yn gyffredin (HCF) a'r rhif lleiaf y mae'r ddau yn rhannu iddo (LCM) gan ddefnyddio ffactoroliad cysefin.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i'r HCF ac LCM o 12 a 18.

    Dangos yr ateb

    HCF yw 6; LCM yw 36.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.2.6 foundation. Tudalennau PDF 14: defnyddio dadelfennu ffactor cysefin i helpu i ddatrys problemau rhifiadol eraill, gan gynnwys cysylltiadau â rhifau sgwâr

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dadelfennu ffactor cysefin yn gweithredu fel arf diagnostig ar gyfer nodi rhifau sgwâr ac israddau. Mae rhif yn sgwâr perffaith os, a dim ond os, mae'r holl esbonyddion yn ei ffactoroliad cysefin yn eilrif. Er enghraifft, 36 = 2^2 * 3^2; gan fod y ddau esbonydd (2) yn eilrif, mae 36 yn sgwâr perffaith. Mae'r briodwedd hon yn caniatáu gwirio cyflym a oes gan rif isradd cyfanrif heb brofi pob difydd ymgeisiol yn llawlyfr.
    • Y tu hwnt i rifau sgwâr, mae dadelfennu cysefin yn helpu i ddatrys problemau sy'n ymwneud â rhannadwyedd a symleiddio. Os oes angen i chi wybod os yw 1008 yn rhanadwy â 7, mae ei ddadelfennu yn datgelu 2^4 * 3^2 * 7^1; mae presenoldeb y term 7^1 yn cadarnhau rhannadwyedd. Mae'r dull hwn yn cysylltu theori cysefin haniaethol â thasgau rhifiadol ymarferol, gan ddarparu rhesymeg gadarn ar gyfer trin cynhyrchion cymhleth a chymarebau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I wirio os yw 144 yn sgwâr perffaith, cyfrifwch ei ffactorau cysefin: 144 = 12 * 12 = (2^2 * 3) * (2^2 * 3) = 2^4 * 3^2. Arsylwch yr esbonyddion: 4 a 2. Oherwydd bod y ddau yn eilrif, mae 144 yn sgwâr perffaith. I ddod o hyd i'w ail isradd, hanerwch yr esbonyddion: 2^(4/2) * 3^(2/2) = 2^2 * 3^1 = 4 * 3 = 12. Mae hyn yn cadarnhau √144 = 12 yn gywir drwy ffactorau cysefin.
    • Ar gyfer cymhwysiad pellach, gwiriwch os yw 200 yn sgwâr perffaith. 200 = 2 * 100 = 2 * 10 * 10 = 2 * (2 * 5) * (2 * 5) = 2^3 * 5^2. Mae esbonydd 2 yn 3 (odrif). Gan nad yw'r holl esbonyddion yn eilrif, ni all 200 fod yn sgwâr perffaith. Mae'r broses hon yn darparu prawf pendant ar gyfer rhifau sgwâr ac yn symleiddio problemau cysylltiedig, megis lleihau surds cymhleth i'w ffurf symlaf drwy dynnu sgwariau perffaith o israddau.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dysgu i chi ddefnyddio ffactorau cysefin i wirio'n gyflym os yw rhif yn sgwâr perffaith neu i symleiddio israddau.

    Hunanwirio

    A yw 81 yn sgwâr perffaith gan ddefnyddio ffactoroliad cysefin?

    Dangos yr ateb

    Ydy. 81 = 3^4. Gan fod 4 yn eilrif, mae'n sgwâr perffaith; √81 = 3^(4/2) = 3^2 = 9.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.3.1 foundation; Unit 2 §1.3.1 foundation; Unit 3 §1.3.1 foundation. Tudalennau PDF 14: y nodiant indecs ar gyfer indecsau cyfanrifol positif

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae mynegiannau integrol cadarnhaol yn cynrychioli lluosi ailadroddus. Pan welwn rif sylfaen fel 5 wedi'i godi i bŵer o 3, wedi'i ysgrifennu fel 5^3, mae'n golygu bod y sylfaen 5 yn cael ei luosi ag ef ei hun 3 gwaith. Felly, mae 5^3 yn hafal i 5 * 5 * 5, sy'n arwain at 125. Y sylfaen yw'r rhif sy'n cael ei luosi, ac mae'r esbonydd neu'r mynegai, yn yr achos hwn 3, yn nodi sawl gwaith y defnyddir y sylfaen honno fel ffactor. Mae'r nodiant hwn yn darparu ffordd gryno o fynegi rhifau mawr sy'n cynnwys ffactorau sy'n ailadrodd.
    • Ar gyfer newidynnau, mae'r un egwyddor yn berthnasol. Os oes gennym x^4, mae hyn yn cynrychioli x * x * x * x. Mae'n bwysig gwahaniaethu hyn rhag lluosi sy'n cynnwys y mynegai ei hun. Er enghraifft, mae 2^4 yn 16, tra bod 2 * 4 yn 8. Mae'r mynegiannau hyn yn dilyn rheolau algebraidd penodol, megis a^m * a^n = a^(m+n) ar gyfer lluosi termau â'r un sylfaen, lle rydych yn adio'r esbonyddion, neu (a^m)^n = a^(mn) wrth godi pŵer i bŵer arall, lle rydych yn lluosi'r esbonyddion.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I werthuso mynegiannau â mynegiannau cadarnhaol, nodwch y sylfaen a'r esbonydd yn glir. Ar gyfer 4^3, ysgrifennwch ef allan fel 4 * 4 * 4. Yn gyntaf, cyfrifwch 4 * 4 = 16. Yna, lluoswch y canlyniad hwnnw â'r 4 olaf, sy'n 16 * 4 = 64. Ar gyfer symleiddio algebraidd gan ddefnyddio rheolau mynegai, cymerwch 3^2 * 3^4. Gan fod y sylfeini'n union yr un fath, adiwch yr esbonyddion i gael 3^(2+4) = 3^6. Yn olaf, gwerthuswch 3^6 trwy gyfrifo 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 729.
    • Ymarferwch drosi ffurfiau estynedig yn nodiant mynegai. Os rhoddir 7 * 7 * 7 * 7 * 7 i chi, nodwch mai 7 yw'r sylfaen ac mae'n ymddangos 5 gwaith, felly y nodiant mynegai yw 7^5. Wrth ddelio â sylfeini cymysg, grwpiwch dermau tebyg cyn cymhwyso rheolau. Er enghraifft, yn 2^2 * 3^2 * 2^3, ailysgrifennwch ef fel (2^2 * 2^3) * 3^2. Defnyddiwch y rheol adio i gael 2^(2+3) * 3^2, sy'n arwain at 2^5 * 3^2. Mae cyfrifo'r rhain yn rhoi 32 * 9 = 288.

    Mewn iaith syml

    Mae mynegiannau cadarnhaol yn fyr-law am luosi rhif ag ef ei hun nifer penodol o weithiau.

    Hunanwirio

    Symleiddiwch a chyfrifwch 2^3 * 2^2.

    Dangos yr ateb

    2^5 = 32

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.3.2 higher; Unit 2 §1.3.2 higher; Unit 3 §1.3.2 higher. Tudalennau PDF 14: y nodiant indecs ar gyfer indecsau sero ac indecsau negatif

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae mynegiannau'n ymestyn y tu hwnt i gyfanrifau cadarnhaol i gynnwys gwerthoedd sero a negyddol. Mae Rheol y Mynegai Sero yn nodi bod unrhyw rif nad yw'n sero wedi'i godi i bŵer sero yn hafal i 1. Er enghraifft, mae 7^0 = 1, ac mae (1/2)^0 = 1. Mae hyn yn codi oherwydd bod rhannu pŵer ag ef ei hun, fel a^n / a^n, yn hafal i 1, ac yn ôl rheol tynnu mynegai, mae hwn yn a^(n-n) = a^0. Mae deall hyn yn hanfodol ar gyfer symleiddio mynegiannau algebraidd cymhleth lle gall termau ddiddymu'n llwyr.
    • Diffinnir Mynegiannau Negyddol gan y gwrthdro. Y rheol yw bod a^(-n) = 1 / (a^n). Er enghraifft, mae 5^(-2) yn cyfateb i 1 / (5^2), sy'n symleiddio i 1/25. Mae'r cysyniad hwn yn hanfodol ar gyfer nodiant gwyddonol a chalcwlws. Wrth ddelio â ffracsiynau, mae (a/b)^(-n) yn cyfateb i (b/a)^n. Mae cydnabod y patrymau hyn yn caniatáu ar gyfer trosi mynegiannau ffracsiynol cymhleth i ffurfiau mwy rheoladwy neu i'r gwrthwyneb, gan sicrhau trin mynegiannau mathemategol yn gywir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I weithio gyda mynegiannau sero, disodlwch unrhyw sylfaen (ac eithrio sero) sydd wedi'i godi i bŵer 0 gydag 1 bob amser. Os oes gennych 3x^0, mae hwn yn symleiddio i 3 * 1, sy'n 3. Ar gyfer mynegiannau negyddol, trowch nhw i'w ffurf gadarnhaol cyn cyfrifo. Er enghraifft, symleiddiwch 2^(-3). Ysgrifennwch hwn fel 1 / 2^3. Gan fod 2^3 yn 8, y canlyniad yw 1/8 neu 0.125. Sicrhewch bob amser fod y sylfaen yn gadarnhaol cyn cymhwyso'r rheol gwrthdro oni bai bod y cyd-destun yn nodi fel arall.
    • Ar gyfer cyfrifiadau mwy cymhleth, fel 4^(-2) * 4^3, defnyddiwch y rheol adio mynegai safonol: 4^(-2+3) = 4^1 = 4. Fel arall, mynegwch fel (1 / 4^2) * 4^3 = (1 / 16) * 64. Gan fod 64 / 16 yn hafal i 4, mae'r ddau ddull yn cadarnhau'r canlyniad. Wrth ddelio â mynegiannau negyddol mewn ffracsiynau, fel (2/3)^(-2), gwrthdroi'r ffracsiwn i (3/2) a newid y mynegai i gadarnhaol, gan roi (3/2)^2 = 9/4 = 2.25. Mae'r dull cam-wrth-gam hwn yn sicrhau manwl gywirdeb.

    Mewn iaith syml

    Mae mynegai sero yn troi unrhyw rif yn 1, tra bod mynegai negyddol yn dweud wrthych am droi'r rhif yn ffracsiwn.

    Hunanwirio

    Symleiddiwch 3^(-2) a 5^0.

    Dangos yr ateb

    1/9 ac 1

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.3.3 higher. Tudalennau PDF 14: y nodiant ar gyfer indecsau ffracsiynol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae mynegeion ffracsiynol yn cyflwyno'r berthynas rhwng esbonyddion a gwreiddiau. Mae mynegai ffracsiynol o 1/n yn dynodi'r n-fed gwreiddyn o'r sylfaen. Yn benodol, mae a^(1/2) yn cyfateb i ail isradd a, wedi'i ysgrifennu fel √a, ac mae a^(1/3) yn trydydd isradd, wedi'i ysgrifennu fel ∛a. Mae'r nodiant hwn yn bwerus oherwydd mae'n caniatáu inni fynegi gweithrediadau radical gan ddefnyddio deddfau safonol mynegeion. Ar gyfer unrhyw ffracsiwn m/n fel mynegai, mae'r rhifiadur m yn cynrychioli pŵer, ac mae'r enwadur n yn cynrychioli'r gwreiddyn, wedi'i fynegi fel a^(m/n) = (gwreiddyn n o a)^m.
    • Wrth gyfrifo â mynegeion ffracsiynol, sicrhewch eich bod yn deall trefn y gweithrediadau. Fel arfer, mae'n haws dod o hyd i'r gwreiddyn yn gyntaf cyn cymhwyso'r pŵer. Er enghraifft, gellir cyfrifo 8^(2/3) fel trydydd isradd 8 wedi'i sgwario, neu (8^(1/3))^2. Mae cyfrifo trydydd isradd 8 yn gyntaf yn rhoi 2, ac yna mae sgwario'r canlyniad hwnnw'n rhoi 2^2 = 4. Pe baech wedi sgwario 8 yn gyntaf i gael 64 ac yna cymryd yr trydydd isradd, byddech yn cael 4, sy'n dangos bod dilyniant y gweithrediadau gwreiddyn a phŵer yn arwain at yr un canlyniad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I werthuso 16^(3/2), rhannwch y broblem yn rannau. Mae'r enwadur 2 yn dynodi ail isradd, ac mae'r rhifiadur 3 yn dynodi pŵer. Ysgrifennwch ef fel (√16)^3. Yn gyntaf, cyfrifwch √16 = 4. Yna, codwch y canlyniad hwn i bŵer 3, felly 4^3 = 4 * 4 * 4 = 64. Ar gyfer enghraifft arall, 27^(2/3), mae'r enwadur 3 yn dynodi trydydd isradd. Dewch o hyd i ∛27, sy'n 3 oherwydd 3 * 3 * 3 = 27. Yna, sgwariwch y canlyniad i gael 3^2 = 9. Mae'r dull systematig hwn yn osgoi gwallau rhifau mawr.
    • Ymarferwch drosi ffurfiau radical yn nodiant mynegai ffracsiynol. Er enghraifft, ail isradd 5 yw 5^(1/2). Ail isradd ciwb 10 wedi'i sgwario yw 10^(2/3). Wrth ddefnyddio cyfrifiannell, sicrhewch eich bod yn defnyddio cromfachau ar gyfer yr esbonydd ffracsiynol, fel nodi 16^(3/2) fel 16^(3/2). Os na ddefnyddiwch gromfachau, efallai y bydd y gyfrifiannell yn perfformio 16^3 yna'n rhannu â 2, gan arwain at ateb anghywir o 2048 yn lle 64. Gwiriwch bob amser fod yr esbonydd yn cael ei gyfrifo fel un bloc.

    Mewn iaith syml

    Mae mynegeion ffracsiynol yn ffordd o ddangos gwreiddiau a phwerau, lle mai'r rhif gwaelod yw'r gwreiddyn a'r rhif uchaf yw'r pŵer.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch 8^(4/3).

    Dangos yr ateb

    16

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.3.4 foundation. Tudalennau PDF 14: defnyddio rheolau indecsau i gyflawni cyfrifiadau gyda rhifau sy'n cael eu hysgrifennu ar ffurf indecs ar gyfer indecsau cyfanrifol positif

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae deddfau mynegiannau yn caniatáu ar gyfer cyfrifo a symleiddio mynegiannau rhifiadol yn gyflym heb fod angen ehangu'n llawn. Y tair prif reol ar gyfer mynegiannau integrol cadarnhaol yw lluosi, rhannu, a phŵer pŵer. Wrth luosi termau â'r un sylfaen, fel x^a * x^b, rydym yn adio'r esbonyddion i gael x^(a+b). Wrth rannu, fel x^a / x^b, rydym yn tynnu'r esbonyddion i gael x^(a-b). Dim ond pan fo'r sylfeini'n union yr un fath y mae'r rheolau hyn yn berthnasol, sy'n faes cyffredin ar gyfer gwallau.
    • Mae'r drydedd reol, rheol pŵer pŵer, yn cynnwys codi sylfaen sydd eisoes wedi'i esbonyddi i bŵer arall, fel (x^a)^b. Yn y senario hwn, rydym yn lluosi'r esbonyddion i arwain at x^(a*b). Mae'r deddfau hyn yn ffurfio'r sylfaen ar gyfer pob gwaith pellach yn algebra, gan gynnwys nodiant gwyddonol a thrin polynomialau. Mae meistrolaeth ar y rheolau hyn yn symleiddio tasgau sy'n cynnwys rhifau mawr trwy eu lleihau i weithrediadau rheoladwy â gwerthoedd llai cyn cyfrifo'r canlyniad terfynol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I symleiddio mynegiannau fel 2^3 * 2^4, defnyddiwch y rheol adio: 2^(3+4) = 2^7. Cyfrifwch 2^7, sy'n 128. Ar gyfer problem rhannu, symleiddiwch 5^6 / 5^2. Gan ddefnyddio'r rheol tynnu, 5^(6-2) = 5^4. Cyfrifwch 5^4 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625. Os yw mynegiant yn cynnwys pŵer pŵer, fel (3^2)^3, defnyddiwch y rheol luosi: 3^(2*3) = 3^6. Cyfrifwch 3^6 = 729. Mae'r camau hyn yn cadw cyfrifiadau'n lân ac yn rhesymegol.
    • Pan wynebwch gymysgedd o weithrediadau, fel (2^3 * 2^2) / 2^4, ticiwch y rhifiadur yn gyntaf. Mae'r rhifiadur 2^3 * 2^2 yn symleiddio i 2^5 = 32. Yna rhannwch â'r enwadur 2^4 = 16. Y rhaniad sy'n deillio o hyn yw 32 / 16 = 2. Fel arall, defnyddiwch y deddfau mynegiannau'n uniongyrchol: 2^5 / 2^4 = 2^(5-4) = 2^1 = 2. Mae defnyddio deddfau mynegiannau'n uniongyrchol yn aml yn gyflymach ac yn llai tueddol o gael gwall rhifyddeg na gwerthuso pob term yn gyntaf. Gwiriwch bob amser bod y sylfeini'n cyfateb cyn dechrau.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch ddeddfau mynegiannau i adio pwerau wrth luosi, tynnu pwerau wrth rannu, a lluosi pwerau wrth godi i bŵer newydd.

    Hunanwirio

    Symleiddiwch (4^2 * 4^3) / 4^4.

    Dangos yr ateb

    4^1 = 4

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.3.5 higher. Tudalennau PDF 15: defnyddio rheolau indecsau i gyflawni cyfrifiadau gyda rhifau sydd wedi'u hysgrifennu ar ffurf indecs ar gyfer indecsau positif, negatif a ffracsiynol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Ar gyfer yr un sylfaen, lluoswch drwy adio mynegeion, rhannwch drwy dynnu mynegeion, a chodwch bŵer i bŵer arall drwy luosi mynegeion. Mae mynegai negatif yn golygu cilydd: x^(−n)=1/x^n ar gyfer x≠0.
    • Ar gyfer x positif, x^(m/n)=(ⁿ√x)^m. Nodwch y parth wrth ddefnyddio israddau o drefn eilrif neu enwaduron. Er enghraifft, mae √(x⁵) a (√x)⁵ yn cyfateb ar gyfer x≥0, ond mae cilydd y naill neu’r llall yn gofyn am x>0. Defnyddiwch gromfachau i ddangos yn union beth sydd o dan isradd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • 9^(1/2)×9^(−1)=9^(1/2−1)=9^(−1/2)=1/√9=1/3. Yn uniongyrchol, √9×(1/9)=3/9=1/3, gan roi gwiriad annibynnol.
    • Ar gyfer x>0, (x²×x^(−4))/x^(1/2)=x^(2−4−1/2)=x^(−5/2)=1/√(x⁵). Mae’r x⁵ cyfan y tu mewn i’r ail isradd. Hefyd, (x^(1/2)×x²)/x^(−3)=x^(1/2+2−(−3))=x^(11/2): mae tynnu negatif yn adio ei faint.
    • Cadwch gyfernodau rhifiadol ar wahân i bwerau. (6x³×2x^(−1))/(3x^(1/2))=(12/3)x^(3−1−1/2)=4x^(3/2), ar gyfer x>0.
    • Cynhwyswch gyfernodau wrth gymhwyso deddfau indecs: (12x⁵)/(3x⁻¹) = 4x⁶ ar gyfer x ≠ 0. Ar gyfer x positif, (4x²)^(1/2) = 2x. Ar gyfer 1/√(x⁵), ysgrifennwch x^(−5/2), gan roi'r x⁵ cyfan y tu mewn i'r ail isradd yn benodol.

    Mewn iaith syml

    Cyfunwch gyfernodau a mynegeion ar wahân, dangoswch gwmpas isradd â chromfachau, a gwiriwch fod enwaduron ac israddau o drefn eilrif wedi’u diffinio.

    Hunanwirio

    Ar gyfer x>0, symleiddiwch x³×x^(−1)×x^(1/2).

    Dangos yr ateb

    x^(3−1+1/2)=x^(5/2).

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.3.6 higher; Unit 2 §1.3.6 higher; Unit 3 §1.3.6 higher. Tudalennau PDF 15: trawsnewid rhifau cyffredin i ac o ffurf safonol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae nodiant safonol yn ddull systematig ar gyfer ysgrifennu rhifau hynod fawr neu fach gan ddefnyddio pwerau 10. Mae rhif mewn nodiant safonol bob amser yn cael ei ysgrifennu fel A * 10^n, lle mae A yn ddegol fel bod 1 ≤ A < 10, ac n yn gyfanrif. Er enghraifft, mae 4500 yn dod yn 4.5 * 10^3 oherwydd bod y pwynt degol yn symud tri lle i'r chwith. I'r gwrthwyneb, mae 0.00032 yn dod yn 3.2 * 10^(-4) oherwydd bod y pwynt degol yn symud pedwar lle i'r dde.
    • Mae trosi allan o nodiant safonol yn gofyn am wrthdroi'r broses hon. Os oes gennych 2.7 * 10^4, mae'r esbonydd cadarnhaol yn dweud wrthych am symud y pwynt degol pedwar lle i'r dde, gan gynhyrchu 27000. Os yw'r esbonydd yn negyddol, fel 5.1 * 10^(-3), symudwch y pwynt degol tri lle i'r chwith, gan arwain at 0.0051. Mae'r fformat hwn yn hanfodol mewn meysydd gwyddonol gan ei fod yn darparu graddfa glir ar gyfer cymhariaeth ac yn sicrhau cywirdeb wrth drin data gwyddonol a chyfrifiadau ar draws meintiau sy'n amrywio'n eang.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I drosi 670,000 i nodiant safonol, rhowch y degol ar ôl y digid cyntaf i gael 6.7. Cyfrifwch sawl lle y symudoch y pwynt degol o ddiwedd gwreiddiol y rhif i'r safle newydd hwn. Mae symud 5 lle i'r chwith yn golygu 6.7 * 10^5. I drosi 0.000089, symudwch y degol i gael 8.9. Gan eich bod wedi ei symud 5 lle i'r dde, y mynegai yw -5, gan roi 8.9 * 10^(-5). Mae cywirdeb wrth gyfrif y neidiau degol yn hanfodol.
    • I drosi 3.14 * 10^3 yn rif cyffredin, cydnabyddwch fod 10^3 yn golygu 1000. Felly, 3.14 * 1000 = 3140. Ar gyfer 7.5 * 10^(-2), cydnabyddwch fod 10^(-2) yn golygu 1/100 neu 0.01. Felly, 7.5 * 0.01 = 0.075. Gwiriwch y canlyniad bob amser trwy wirio a yw'n cyd-fynd â maint y ffurf wyddonol wreiddiol. Os yw'r esbonydd yn gadarnhaol, rhaid i'r rhif fod yn fawr; os yw'n negyddol, rhaid i'r rhif fod yn ffracsiwn o 1.

    Mewn iaith syml

    Mae nodiant safonol yn defnyddio A * 10^n i ysgrifennu rhifau mawr neu fach iawn, lle mae A rhwng 1 a 10 ac n yn gyfanrif.

    Hunanwirio

    Trosi 0.00045 i nodiant safonol.

    Dangos yr ateb

    4.5 * 10^(-4)

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.3.7 higher; Unit 2 §1.3.7 higher; Unit 3 §1.3.7 higher. Tudalennau PDF 15: defnyddio rhifau sydd wedi'u hysgrifennu yn y ffurf safonol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae nodiant safonol yn caniatáu ar gyfer lluosi a rhannu rhifau mawr neu fach iawn yn effeithlon. Wrth luosi, rydych yn lluosi'r cyfernodau A ac yn adio esbonyddion y 10au. Er enghraifft, mae (2 * 10^3) * (3 * 10^2) yn hafal i (2 * 3) * 10^(3+2), sy'n 6 * 10^5. Mae hyn yn osgoi gorfod trosi popeth i rifau hir yn gyntaf, gan leihau'r siawns o wallau gyda seroau ychwanegol. Mae'r eiddo hwn yn ei wneud yn arfer safonol mewn cyfrifiadau gwyddonol lle mae maint yn allweddol.
    • Wrth rannu, rydych yn rhannu'r cyfernodau A ac yn tynnu esbonyddion y 10au. Ar gyfer (8 * 10^6) / (2 * 10^2), rydych yn cyfrifo (8 / 2) * 10^(6-2), sy'n arwain at 4 * 10^4. Weithiau, ni fydd canlyniad y rhaniad neu'r lluosiad yn y ffurf 1 ≤ A < 10. Mewn achosion o'r fath, mae angen cam addasu terfynol i symud y pwynt degol a chydadfer trwy ddiweddaru pŵer 10. Mae meistroli'r addasiad hwn yn hanfodol ar gyfer cynnal y fformat nodiant safonol llym.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo (5 * 10^4) * (3 * 10^3), lluoswch 5 a 3 i gael 15. Yna adiwch yr esbonyddion i gael 10^7, gan arwain at 15 * 10^7. Nid yw hyn mewn nodiant safonol oherwydd nad yw 15 yn llai na 10. Addaswch ef trwy rannu 15 â 10 i gael 1.5 a chynyddu'r esbonydd â 1. Y nodiant safonol cywir yw 1.5 * 10^8. Chwiliwch am y cam terfynol hwn bob amser wrth luosi cyfernodau.
    • I gyfrifo (4 * 10^5) / (8 * 10^2), rhannwch y cyfernodau: 4 / 8 = 0.5. Tynnwch yr esbonyddion: 10^(5-2) = 10^3. Mae hyn yn rhoi 0.5 * 10^3. Gan fod 0.5 yn llai nag 1, rhaid i chi addasu'r cyfernod trwy luosi â 10 i gael 5.0, yna lleihau'r esbonydd â 1 i gael 10^2. Y canlyniad terfynol yw 5.0 * 10^2. Mae defnyddio'r rhesymeg addasu hon yn sicrhau bod pob ateb yn cwrdd â'r gofynion safonol.

    Mewn iaith syml

    Wrth luosi mewn nodiant safonol, lluoswch y cyfernodau ac adiwch y pwerau; wrth rannu, rhannwch y cyfernodau a thynnwch y pwerau, yna addaswch i gadw'r rhif rhwng 1 a 10.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch (2 * 10^3) * (6 * 10^4).

    Dangos yr ateb

    1.2 * 10^8

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.4.1 foundation; Unit 2 §1.4.1 foundation; Unit 3 §1.4.1 foundation. Tudalennau PDF 15: sut i ddod o hyd i ffracsiynau cywerth

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ffracsiynau cyfwerth yn cynrychioli yr un gyfran o gyfanwaith er bod ganddynt rifynnau a enwedyddion gwahanol. Fe'u nodir trwy luosi neu rannu'r rhifydd a'r enwedydd gyda'r un cyfanrif nad yw'n sero, sy'n cadw gwerth cyffredinol y ffracsiwn.
    • Er enghraifft, os cymerwch y ffracsiwn 2/5, gallwch ddod o hyd i ffracsiwn cyfwerth trwy luosi'r rhifydd a'r enwedydd â 3, gan arwain at 6/15. Mae hyn yn gweithio oherwydd bod lluosi â 3/3 yn gyfwerth â lluosi â 1, sydd ddim yn newid maint y swm.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I drosi ffracsiwn i un cyfwerth, gwnewch yr un llawdriniaeth rifyddeg ar y ddwy ran. Ystyriwch 4/7; i ddod o hyd i ffracsiwn cyfwerth gydag enwedydd o 21, sylwch fod 7 wedi'i luosi â 3 yn hafal i 21. Felly, lluoswch y rhifydd 4 â 3 i gael 12, gan roi 12/21.
    • I wirio cyfwerth ar gyfer 8/12, rhannwch y ddau â'u ffactor cyffredin uchaf, sef 4. Mae cyfrifo 8 wedi'i rannu â 4 yn rhoi 2, ac mae 12 wedi'i rannu â 4 yn rhoi 3. Felly, mae 8/12 yn gyfwerth â 2/3. Sicrhewch fod pob llawdriniaeth yn cael ei gymhwyso'n gyson i werth y ffracsiwn cyfan.

    Mewn iaith syml

    Mae ffracsiynau cyfwerth yn ffyrdd gwahanol o ysgrifennu'r un maint. Rydych chi'n dod o hyd iddynt trwy luosi neu rannu'r niferoedd uchaf a gwaelod â'r un rhif.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i ffracsiwn cyfwerth ar gyfer 3/4 gydag enwedydd o 20.

    Dangos yr ateb

    15/20. Gwaith: Mae 20 wedi'i rannu â 4 yn 5. Lluoswch 3 â 5 i gael 15.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.4.2 foundation; Unit 2 §1.4.2 foundation; Unit 3 §1.4.2 foundation. Tudalennau PDF 15: y cywerthoedd rhwng ffracsiynau, degolion a chanrannau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ffracsiynau, degolion, a chanrannau yn dair ffordd wahanol o fynegi'r un rhif rhesymol. Mae canran yn cynrychioli rhif allan o 100, tra bod degol yn gynrychiolaeth sylfaen-10. Mae trosi rhyngddynt yn gofyn am ddeall eu perthynas enwedydd cyffredin.
    • Er enghraifft, mae 0.25 yn gyfwerth â 25/100, sy'n symleiddio i 1/4 neu 25 y cant. Mae deall y cysylltiadau hyn yn hanfodol ar gyfer cymharu gwerthoedd mewn gwahanol fformatau neu ddatrys problemau sy'n cynnwys mathau cymysg o rifau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I drosi canran fel 40 y cant i ffracsiwn, ysgrifennwch ef fel 40/100. Symleiddiwch trwy rannu â 20 i gael 2/5. I drosi hwn i ddegol, rhannwch 2 â 5 gan ddefnyddio rhannu hir neu gyfrifiannell, sy'n hafal i 0.4.
    • I drosi degol fel 0.75 i ganran, lluoswch â 100 i gael 75 y cant. I'w drosi i ffracsiwn, ysgrifennwch 75/100 a symleiddiwch trwy rannu â 25 i gael 3/4. Mae'r dulliau hyn yn caniatáu cyfieithu cyson rhwng ffurfiau rhifiadol.

    Mewn iaith syml

    Ffracsiynau, degolion, a chanrannau yw tair ffordd o ysgrifennu'r un rhif. Gallwch eu trosi o un i'r llall trwy ddefnyddio 100 fel sylfaen.

    Hunanwirio

    Trosi 0.2 i ganran a ffracsiwn symlach.

    Dangos yr ateb

    20% ac 1/5. Gwaith: Mae 0.2 wedi'i luosi â 100 yn 20%. Mae 0.2 yn hafal i 20/100, sy'n symleiddio i 1/5.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.4.3 foundation; Unit 2 §1.4.3 foundation; Unit 3 §1.4.3 foundation. Tudalennau PDF 15: trawsnewid rhifau o un ffurf i ffurf arall

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae trosi rhifau yn eich galluogi i symud yn rhugl rhwng ffracsiynau, degolion, a chanrannau i weddu i dasgau mathemategol penodol. Perfformir hyn yn bennaf gan ddefnyddio egwyddorion gwerth lle a llawdriniaethau rhannu i sicrhau bod y swm sylfaenol yn aros yn gyson yn ystod y broses drosi.
    • Er enghraifft, gorau oll yw trosi ffracsiwn i ddegol trwy rannu'r rhifydd â'r enwedydd. Wrth ddelio â ffracsiynau sy'n arwain at ddegolion ailadroddus, fel 1/3, cydnabyddir y gwerth fel 0.333 yn ailadrodd, sy'n helpu i nodi patrymau ar gyfer talgrynnu neu gyfrifiadau pellach.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I drosi degol i ffracsiwn, fel 0.625, ysgrifennwch ef dros 1000 i gael 625/1000. Rhannwch y ddau â'r ffactor cyffredin mwyaf, 125, i gael 5/8. Mae'r gostyngiad systematig hwn yn sicrhau bod y ffracsiwn yn ei ffurf symlaf.
    • I drosi canran fel 150 y cant i ddegol, rhannwch â 100 i gael 1.5. I drosi 1.5 i ffracsiwn, ysgrifennwch 150/100, sy'n lleihau i 3/2 neu 1 ac 1/2. Defnyddiwch y camau rhannu a lluosi hyn i gyfieithu gwerthoedd yn gywir.

    Mewn iaith syml

    Gallwch droi rhifau o un ffurf i'r llall i'w gwneud yn haws i'w defnyddio. Defnyddiwch rannu i droi ffracsiynau i ddegolion, a lluosi â 100 i gael canrannau.

    Hunanwirio

    Trosi 0.8 i ffracsiwn a chanran.

    Dangos yr ateb

    4/5 ac 80%. Gwaith: Mae 0.8 yn 80/100, sy'n symleiddio i 4/5. Mae 0.8 wedi'i luosi â 100 yn 80%.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.4.4 foundation. Tudalennau PDF 15: trefnu a chymharu rhifau cyfan, degolion, ffracsiynau a chanrannau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cymharu cyfanrifau, degolion, ffracsiynau, a chanrannau yn gofyn am eu trosi i fformat cyffredin, fel arfer degolion. Trwy sicrhau bod yr holl werthoedd yn yr un gynrychiolaeth, gallwch yn hawdd ddefnyddio gwerth lle i bennu eu trefn o'r lleiaf i'r mwyaf neu i'r gwrthwyneb.
    • Er enghraifft, wrth drefnu 0.5, 3/4, a 40 y cant, trowch nhw i gyd: mae 0.5 yn 0.50, mae 3/4 yn 0.75, ac mae 40 y cant yn 0.40. Mae trefnu'r gwerthoedd degol 0.40, 0.50, a 0.75 yn dangos bod y drefn wreiddiol yn 40 y cant, 0.5, 3/4.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gymharu 0.6, 2/3, a 65 y cant, trowch nhw i gyd i ddegolion. Mae 0.6 yn 0.60. Mae 2 wedi'i rannu â 3 yn fras yn 0.666. Mae 65 y cant yn 0.65. Wrth gymharu 0.60, 0.66, a 0.65, gwelwn fod y drefn yn 0.6 < 65% < 2/3.
    • Defnyddiwch linell rifau i ddychmygu'r gwerthoedd hyn. Trwy blotio'r ffurfiau degol, gallwch weld eu pellteroedd cymharol o sero, sy'n gwirio'ch cymhariaeth rifyddol ac yn helpu i nodi allanolion neu glystyrau o fewn eich set ddata.

    Mewn iaith syml

    I gymharu rhifau, troswch nhw i gyd i ddegolion. Yna gallwch weld pa un yw'r mwyaf neu'r lleiaf yn hawdd trwy edrych ar y rhifau.

    Hunanwirio

    Trefnwch 0.7, 3/5, a 75% o'r lleiaf i'r mwyaf.

    Dangos yr ateb

    3/5, 0.7, 75%. Gwaith: 3/5=0.6, 0.7=0.7, 75%=0.75. 0.6 < 0.7 < 0.75.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.4.5 foundation; Unit 2 §1.4.5 foundation; Unit 3 §1.4.5 foundation. Tudalennau PDF 15: symleiddio ffracsiynau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae symleiddio ffracsiwn yn golygu ei leihau i'w dermau isaf lle nad oes gan y rhifydd a'r enwedydd unrhyw ffactorau cyffredin heblaw 1. Cyflawnir hyn trwy rannu dwy ran y ffracsiwn â'u ffactor cyffredin uchaf (HCF).
    • Er enghraifft, yn y ffracsiwn 12/18, mae ffactorau 12 yn 1, 2, 3, 4, 6, 12 ac mae ffactorau 18 yn 1, 2, 3, 6, 9, 18. Y ffactor cyffredin uchaf yw 6. Mae rhannu 12 ac 18 â 6 yn arwain at y ffracsiwn symlaf, 2/3.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I symleiddio ffracsiwn, yn gyntaf rhowch ffactorau'r rhifydd a'r enwedydd mewn rhestr. Ar gyfer 20/30, ffactorau 20 yw 1, 2, 4, 5, 10, 20. Ffactorau 30 yw 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Y ffactor cyffredin uchaf yw 10.
    • Nesaf, rhannwch y rhifydd 20 â 10 i gael 2, a'r enwedydd 30 â 10 i gael 3. Y ffracsiwn symlach yw 2/3. Mae'r broses hon yn sicrhau bod y gynrychiolaeth mor gryno â phosibl tra'n cynnal yr un gwerth gwreiddiol.

    Mewn iaith syml

    Mae symleiddio ffracsiynau yn golygu gwneud y rhifau mor fach ag y bo modd. Rydych chi'n rhannu'r top a'r gwaelod â'r un rhif mwyaf posibl sy'n rhannu i'r ddau.

    Hunanwirio

    Symleiddiwch y ffracsiwn 15/25.

    Dangos yr ateb

    3/5. Gwaith: Y ffactor cyffredin uchaf o 15 a 25 yw 5. Mae 15 wedi'i rannu â 5 yn 3, ac mae 25 wedi'i rannu â 5 yn 5.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.4.6 foundation; Unit 2 §1.4.6 foundation; Unit 3 §1.4.6 foundation. Tudalennau PDF 15: mynegi un rhif fel ffracsiwn neu ganran o rif arall

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I fynegi un swm fel ffracsiwn o un arall, rhowch y gwerth targed fel y rhifydd a'r gwerth cyfanswm fel yr enwedydd. Gellir symleiddio'r gymhareb hon, neu os oes angen, ei throsi i ganran trwy luosi'r degol sy'n deillio ohono â 100.
    • Ystyriwch ddosbarth o 20 o fyfyrwyr lle mae 5 yn gwisgo hetiau. Fel ffracsiwn, mae hyn yn 5/20. I fynegi hyn fel canran, symleiddiwch y ffracsiwn i 1/4, sy'n gyfwerth â 0.25, ac yna lluoswch â 100 i gael 25 y cant.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo pa ganran yw 8 o 40, ysgrifennwch y ffracsiwn 8/40. Symleiddiwch y ffracsiwn trwy rannu'r ddau â 8, sy'n rhoi 1/5. I droi hwn yn ganran, perfformiwch y rhaniad 1 wedi'i rannu â 5 i gael 0.2, yna lluoswch â 100 i gael 20 y cant.
    • Fel arall, mynegwch 12 metr fel ffracsiwn o 60 metr. Ysgrifennwch 12/60, sy'n symleiddio i 1/5. Defnyddiwch y cymarebau hyn i ddisgrifio cyfrannau cymharol mewn setiau data yn gywir, gan sicrhau bod unedau'n cyfateb cyn creu'r ffracsiwn.

    Mewn iaith syml

    I ddangos faint mae un rhif yn ei gynrychioli o ran arall, ysgrifennwch ef fel ffracsiwn. Gallwch wedyn droi hwnnw'n ganran trwy luosi'r degol â 100.

    Hunanwirio

    Mynegwch 4cm fel ffracsiwn a chanran o 20cm.

    Dangos yr ateb

    1/5 a 20%. Gwaith: Mae 4/20 yn symleiddio i 1/5. Mae 4 wedi'i rannu â 20 yn 0.2, sef 20%.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.4.7 foundation; Unit 2 §1.4.7 foundation; Unit 3 §1.4.7 foundation. Tudalennau PDF 15: darganfod ffracsiwn neu ganran o swm penodol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dod o hyd i gyfran o swm yn golygu lluosi'r swm cyfan â'r ffracsiwn neu'r gwerth degol cyfwerth o'r ganran. Mae hon yn llawdriniaeth sylfaenol a ddefnyddir wrth raddio mesuriadau neu gyfrifo rhannau o gyfanswm set o eitemau.
    • Er enghraifft, i ddod o hyd i 3/4 o 80kg, lluoswch 80 â 3/4. Gwneir hyn trwy rannu 80 â'r enwedydd (4) i gael 20, yna lluosi â'r rhifydd (3) i gyrraedd 60kg.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i 20 y cant o 50m, trosi 20 y cant i'r degol 0.2. Lluoswch 50 â 0.2 i gael 10m. Fel arall, defnyddiwch y dull ffracsiwn: mae 20/100 yn 1/5. Cyfrifwch 50 wedi'i rannu â 5 i gael 10m.
    • Ar gyfer enghraifft arall, dewch o hyd i 7/10 o 40 uned. Rhannwch 40 â 10 i gael 4, yna lluoswch â 7 i gael 28 uned. Mae'r llawdriniaethau hyn yn eich galluogi i rannu symiau'n systematig mewn unrhyw uned, megis hyd neu fàs.

    Mewn iaith syml

    I ddod o hyd i gyfran o rywbeth, lluoswch y swm cyfan â'r ffracsiwn neu'r degol. Er enghraifft, mae 50% yn golygu rhannu â 2.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i 25% o 40kg.

    Dangos yr ateb

    10kg. Gwaith: Mae 25% yn 1/4. Mae 40 wedi'i rannu â 4 yn 10.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.4.8 foundation; Unit 3 §1.4.8 foundation. Tudalennau PDF 16: cyfrifo newidiadau ffracsiynol a chanrannol (cynnydd a gostyngiad)

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Er mwyn cyfrifo newid canrannol, rhaid i chi bennu'r gwahaniaeth rhwng y gwerth gwreiddiol a'r gwerth newydd. Mae'r gwahaniaeth hwn yn cael ei rannu â'r swm gwreiddiol i ddod o hyd i'r newid ffracsiynol. Mae trosi'r ffracsiwn hwn yn ganran yn golygu lluosi'r canlyniad â 100. Mae'r broses hon yn gweithio ar gyfer cynnydd a gostyngiad, lle mae cynnydd yn arwain at ganran gadarnhaol ac mae gostyngiad yn arwain at werth canrannol negyddol.
    • Wrth gyfrifo cynnydd canrannol, dechreuwch â'r swm gwreiddiol ac ychwanegwch y ganran a gyfrifwyd o'r swm hwnnw. Ar gyfer gostyngiad, tynnwch y gwerth canrannol oddi ar y swm gwreiddiol. Er enghraifft, os yw pris gwreiddiol o 80 doler yn cynyddu 25 y cant, cyfrifwch 25 y cant o 80, sef 20, yna ychwanegwch 20 at 80 i gael 100. Os yw'r un 80 doler yn gostwng 10 y cant, cyfrifwch 10 y cant o 80, sef 8, yna tynnwch 8 oddi wrth 80 i gael 72.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo newid canrannol, defnyddiwch y fformiwla: (Gwahaniaeth / Gwreiddiol) * 100. Ystyriwch bris stoc sy'n symud o 200 doler i 240 doler. Y gwahaniaeth yw 240 minws 200, sef 40. Rhannwch 40 â'r 200 gwreiddiol i gael 0.2. Yn olaf, lluoswch 0.2 â 100 i gael cynnydd o 20 y cant. Mae'r dull hwn yn sicrhau adnabod twf neu ddirywiad yn gywir o'i gymharu â'r man cychwyn.
    • Ar gyfer gostyngiad canrannol, ystyriwch boblogaeth yn newid o 500 o anifeiliaid i 400 o anifeiliaid. Tynnwch 400 oddi wrth 500 i ganfod gostyngiad o 100. Rhannwch y gostyngiad o 100 â'r 500 gwreiddiol i gael 0.2. Lluoswch 0.2 â 100 i ddangos gostyngiad o 20 y cant. Sicrhewch bob amser mai'r gwerth gwreiddiol yw'r enwadur i gynnal y ffrâm gyfeirio gywir ar gyfer y cyfrifiad newid cymesur.

    Mewn iaith syml

    Canfyddwch faint a newidiodd rhywbeth, yna rhannwch y newid hwnnw â'r swm cychwynnol. Lluoswch â 100 i gael y ganran.

    Hunanwirio

    Mae eitem sy'n costio 150 punt yn cynyddu i 180 punt. Cyfrifwch y cynnydd canrannol.

    Dangos yr ateb

    Y gwahaniaeth yw 30. Rhannwch 30 â 150 i gael 0.2. Lluoswch â 100 i gael cynnydd o 20 y cant.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.4.9 foundation; Unit 3 §1.4.9 foundation. Tudalennau PDF 16: deall a defnyddio lluosyddion

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae lluosydd yn ffactor degol a ddefnyddir i gynrychioli newid canrannol mewn un gweithrediad. I greu lluosydd ar gyfer cynnydd, ychwanegwch y ganran fel degol at 1. Er enghraifft, mae cynnydd o 15 y cant yn cyfateb i luosydd o 1.15 oherwydd bod 100 y cant ynghyd â 15 y cant yn hafal i 115 y cant, sef 1.15 fel degol. Mae hyn yn symleiddio cyfrifiadau aml-gam trwy ganiatáu i chi luosi'r gwerth sylfaen yn uniongyrchol â'r ffactor hwn.
    • Ar gyfer gostyngiad canrannol, tynnwch y ganran oddi wrth 100 y cant a throsi i ddegol. Mae gostyngiad o 15 y cant yn cyfateb i 85 y cant, sydd yn hafal i luosydd o 0.85. Mae lluosi unrhyw faint â'r gwerth hwn yn lleihau'r nifer yn effeithiol o'r swm penodedig mewn un cam. Mae'r dull hwn yn effeithlon iawn ar gyfer problemau canrannol cylchol lle mae angen graddio dro ar ôl tro.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Defnyddiwch luosyddion trwy nodi'r ganran newid yn gyntaf. Os yw gwerth cychwynnol o 400 cilogram yn cynyddu 12 y cant, cyfrifwch y lluosydd: 1 + 0.12 = 1.12. Lluoswch 400 â 1.12 i gael 448 cilogram. Mae'r dull hwn yn disodli'r camau ar wahân o gyfrifo'r ganran ac ychwanegu'r swm yn ôl, gan leihau gwallau yn ystod tasgau cymhleth.
    • Defnyddiwch y lluosydd gostyngiad ar gyfer lleihau costau. Os yw ffi o 60 punt yn gostwng 30 y cant, y lluosydd yw 1 - 0.30 = 0.70. Lluoswch 60 â 0.70 i gyrraedd pris newydd o 42 punt. Sicrhewch fod y lluosydd bob amser yn cael ei wirio yn erbyn cyfeiriad y newid, lle mae cynnydd yn fwy nag 1 ac mae gostyngiad yn llai nag 1.

    Mewn iaith syml

    Mae lluosydd yn rhif rydych chi'n ei luosi i newid cyfanswm. Ychwanegwch y ganran at 100 ar gyfer twf, neu tynnwch oddi wrth 100 ar gyfer gostyngiad, yna newidiwch i ddegol.

    Hunanwirio

    Defnyddiwch luosydd i gynyddu 250 metr 8 y cant.

    Dangos yr ateb

    Y lluosydd yw 1.08. Mae 250 wedi'i luosi â 1.08 yn hafal i 270 metr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.4.10 foundation. Tudalennau PDF 16: datrys problemau gyda newidiadau cyfraneddol sy'n cael eu hailadrodd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae newidiadau cymesur ailadroddus yn golygu defnyddio lluosydd sawl gwaith dros gyfnodau olynol. Pan fydd swm yn newid yn ôl canran benodol am nifer o gyfnodau, fel llog cyfansawdd neu ddibrisiant, rydych chi'n defnyddio'r un lluosydd dro ar ôl tro. Y fformiwla ar gyfer hyn yw Swm Gwreiddiol wedi'i luosi â (Lluosydd wedi'i godi i bŵer nifer y cyfnodau). Mae hyn yn dal effaith y newid canrannol sy'n berthnasol i'r cyfanswm newydd ym mhob cam.
    • Mae'n bwysig gwahaniaethu rhwng adio llinol syml a thwf cyfansawdd. Os ydych chi'n cyfrifo gwerth buddsoddiad o 1000 punt gyda chyfradd llog flynyddol o 5 y cant dros 3 blynedd, nid ydych chi'n lluosi 5 y cant â 3 blynedd yn unig. Yn lle hynny, rydych chi'n defnyddio'r lluosydd 1.05 ac yn cyfrifo 1000 * (1.05^3). Mae hyn yn cyfrif am y llog sy'n ennill llog dros amser, gan arwain at gyfanswm uwch.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddatrys y problemau hyn, diffiniwch y sylfaen, y lluosydd, a'r esbonydd. Ystyriwch 500 litr o gemegyn yn lleihau 10 y cant y dydd dros 4 diwrnod. Y lluosydd yw 0.9. Y cyfrifiad yw 500 * (0.9^4). Cyfrifwch 0.9^4 = 0.6561. Yna lluoswch â 500 i gael 328.05 litr yn weddill ar ôl y cyfnod o 4 diwrnod.
    • Ar gyfer buddsoddiadau, defnyddiwch y lluosydd twf. Os ydych chi'n buddsoddi 2000 punt ar 4 y cant y flwyddyn am 2 flynedd, y lluosydd yw 1.04. Yr hafaliad yw 2000 * (1.04^2). Yn gyntaf, sgwariwch 1.04 i gael 1.0816. Yna, mae 2000 * 1.0816 yn hafal i 2163.20 punt. Cadwch gywirdeb yn y lluosydd tan y cyfrifiad terfynol er mwyn osgoi gwallau talgrynnu.

    Mewn iaith syml

    Pan fydd gwerth yn newid yn ôl canran sawl gwaith, defnyddiwch bŵer. Lluoswch y gwerth cychwynnol â'r lluosydd wedi'i godi i nifer y gweithiau y mae'n newid.

    Hunanwirio

    Mae poblogaeth o 1000 o facteria yn cynyddu 10 y cant bob awr am 3 awr. Cyfrifwch y boblogaeth derfynol.

    Dangos yr ateb

    1000 * (1.1^3) = 1000 * 1.331 = 1331 o facteria.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.4.11 foundation. Tudalennau PDF 16: cyfrifo gan ddefnyddio cymarebau mewn amrywiaeth o sefyllfaoedd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cymarebau yn mynegi'r berthynas rhwng dau faint neu ragor, gan ddangos sut maent yn ymwneud â'r cyfan. Mae cymhareb o 3:2 yn golygu bod 2 ran o'r ail eitem ar gyfer pob 3 rhan o'r eitem gyntaf. I weithio gyda'r rhain, cyfrifwch nifer y rhannau yn gyntaf trwy adio cydrannau'r gymhareb at ei gilydd. Mae'r cyfanswm hwn yn cynrychioli'r cyfan, gan ganiatáu i chi ddod o hyd i werth rhan unigol trwy rannu'r swm cyfanswm â chyfanswm nifer y rhannau.
    • Unwaith y byddwch yn gwybod gwerth un rhan, gallwch luosi hwn â chydrannau'r gymhareb unigol i ddod o hyd i'r symiau penodol ar gyfer pob categori. Er enghraifft, os oes gennych 50 cilogram i'w rannu mewn cymhareb 3:2, mae'r cyfanswm o rannau yn hafal i 5. Mae rhannu 50 â 5 yn rhoi 10 cilogram y rhan. Mae lluosi 10 â 3 yn rhoi 30 cilogram, ac mae lluosi 10 â 2 yn rhoi 20 cilogram, gan fodloni'r gymhareb.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I rannu swm mewn cymhareb benodol, rhestrwch y rhannau, adiwch nhw i gael y cyfanswm, yna dewch o hyd i'r lluosydd. Os yw 120 punt yn cael ei rannu mewn cymhareb 5:3, mae'r rhannau yn cyfanswm o 8. Rhannwch 120 â 8 i gael 15. Y gyfran gyntaf yw 5 * 15 = 75 punt, a'r ail gyfran yw 3 * 15 = 45 punt. Gwiriwch y swm: 75 + 45 = 120.
    • Defnyddiwch gymarebau i symleiddio a graddio. Os yw rysáit yn defnyddio cymhareb 4:1 o flawd i siwgr ac mae gennych 200 gram o siwgr, y siwgr yw'r 1 rhan. Lluoswch 200 â 4 i gael 800 gram o flawd. Nodwch bob amser pa ran o'r gymhareb sy'n cyfeirio at y swm hysbys cyn graddio'r cydrannau eraill.

    Mewn iaith syml

    Adiwch rannau'r gymhareb at ei gilydd i ddod o hyd i'r cyfanswm. Rhannwch y swm â'r cyfanswm i ddod o hyd i werth un rhan. Lluoswch y gwerth hwnnw â phob rhif cymhareb.

    Hunanwirio

    Rhannwch 60 centimetr mewn cymhareb o 2:1.

    Dangos yr ateb

    Cyfanswm rhannau = 3. 60 / 3 = 20. Y rhannau yw 2 * 20 = 40 ac 1 * 20 = 20.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.4.12 higher. Tudalennau PDF 16: datrys problemau rhifiadol sy'n ymwneud â chyfrannedd union a chyfrannedd gwrthdro

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyfranedd union yn bodoli pan fydd dau faint yn cynyddu neu'n lleihau gyda'i gilydd ar gyfradd gyson, wedi'i gynrychioli gan y = kx, lle mae k yn gysonyn. Er enghraifft, os yw 5 pen yn costio 10 punt, mae 1 pen yn costio 2 bunt. Y cysonyn k hwn yw'r gost uned. Mae cyfranedd wrthdro yn digwydd pan fydd un gwerth yn cynyddu wrth i'r llall leihau, wedi'i gynrychioli gan y = k / x, lle mae xy = k. Os yw 2 weithiwr yn adeiladu wal mewn 6 awr, byddai 4 gweithiwr yn cymryd 3 awr, oherwydd bod cyfanswm yr oriau gwaith yn aros yn gyson ar 12.
    • Mae deall natur y newidynnau yn hanfodol. Mewn cyfranedd union, mae'r gymhareb y/x bob amser yn gyson. Mewn cyfranedd wrthdro, mae'r cynnyrch xy bob amser yn gyson. Mae'r perthnasoedd hyn yn caniatáu ar gyfer datrysiadau algebraidd pan fo rhannau o'r data ar goll, ar yr amod y gellir pennu cysonyn cyfrannedd k o barau hysbys o werthoedd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer cyfranedd union, dewch o hyd i k yn gyntaf. Os yw y = 15 pan fo x = 3, yna mae 15 = k * 3, felly k = 5. Nawr, gallwch ragweld y ar gyfer unrhyw x, megis os yw x = 10, y = 5 * 10 = 50. Defnyddiwch gyfesurynnau fel (3, 15) a (10, 50) i ddelweddu'r twf llinol sy'n mynd trwy'r tarddiad.
    • Ar gyfer cyfranedd wrthdro, dewch o hyd i k trwy luosi. Os yw y = 4 pan fo x = 5, yna mae k = 4 * 5 = 20. Gyda'r cysonyn hwn, gallwch ddod o hyd i werthoedd coll. Os yw x = 10, yna mae 10 * y = 20, felly y = 2. Defnyddiwch hyn i ddatrys problemau amseru yn y byd go iawn lle mae ymdrech neu gyflymder yn effeithio ar hyd y cwblhau.

    Mewn iaith syml

    Mae cyfranedd union yn golygu bod y ddau werth yn tyfu gyda'i gilydd gan gysonyn. Mae cyfranedd wrthdro yn golygu bod un yn tyfu tra bod y llall yn crebachu, ond mae eu cynnyrch yn aros yn gyson.

    Hunanwirio

    Os yw y yn gymesur yn union â x, a y = 20 pan fo x = 4, dewch o hyd i y pan fo x = 7.

    Dangos yr ateb

    k = 20 / 4 = 5. Pan fo x = 7, y = 5 * 7 = 35.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.4.13 higher. Tudalennau PDF 16: darganfod y maint gwreiddiol o wybod canlyniad newid cyfraneddol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dod o hyd i swm gwreiddiol yn wrthdro i gymhwyso newid canrannol. Pan fydd gennych y gwerth terfynol ar ôl cynnydd neu ostyngiad, rhaid i chi wrthdroi'r lluosydd i ddychwelyd i'r gwerth sylfaen (100 y cant). Os yw eitem yn costio 115 punt ar ôl cynnydd o 15 y cant, mae'r pris terfynol yn 115 y cant o'r gwreiddiol. I ddod o hyd i'r gwreiddiol, rhannwch y gwerth terfynol â'r lluosydd (1.15 yn yr achos hwn).
    • Mae'r dull hwn yn atal y gwall cyffredin o dynnu canran y gwerth terfynol yn syml. Er enghraifft, os yw pris yn cael ei ostwng 20 y cant i 80 punt, nid y gwreiddiol yw 100 punt (a fyddai'n 20 y cant o 100, gan adael 80). Yn hytrach, mae 80 punt yn cynrychioli 80 y cant o'r gwreiddiol. Mae rhannu 80 â 0.80 yn dychwelyd y 100 punt gwreiddiol. Mae'r rhesymeg fathemategol hon yn berthnasol yn gyson i bob problem newid wrthdro cymesur.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Nodwch y lluosydd a rhannwch. Os yw cyfanswm yn 250 ar ôl cynnydd o 25 y cant, y lluosydd yw 1.25. Sefydlwch yr hafaliad: Gwreiddiol * 1.25 = 250. Rhannwch 250 â 1.25 i gael 200. Gwiriwch bob amser a yw'r gwerth terfynol yn uwch (ar gyfer cynnydd) neu'n is (ar gyfer gostyngiad) na'r sylfaen wreiddiol ddisgwyliedig.
    • Ar gyfer gostyngiadau, os yw poblogaeth yn 360 ar ôl gostyngiad o 10 y cant, y lluosydd yw 0.90. Sefydlwch yr hafaliad: Gwreiddiol * 0.90 = 360. Rhannwch 360 â 0.90 i gael 400. Defnyddiwch y camau hyn i ddatrys ar gyfer gwerthoedd cychwynnol mewn adroddiadau ariannol, cyfrifiadau rhestr eiddo, neu senarios colled canrannol.

    Mewn iaith syml

    I gael y gwerth cychwynnol yn ôl, rhannwch y swm terfynol â'r lluosydd a ddefnyddioch i'w newid. Peidiwch â chymryd y ganran oddi ar y canlyniad terfynol yn unig.

    Hunanwirio

    Mae eitem yn costio 90 punt ar ôl gostyngiad o 10 y cant. Beth oedd y pris gwreiddiol?

    Dangos yr ateb

    Y lluosydd yw 0.90. 90 / 0.90 = 100 punt.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.5.1 foundation; Unit 2 §1.5.1 foundation; Unit 3 §1.5.1 foundation. Tudalennau PDF 16: deall a defnyddio gweithrediadau rhif a’r perthnasoedd rhyngddynt, gan gynnwys gweithrediadau gwrthdro a hierarchaeth gweithrediadau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gweithrediadau rhif yn cynnwys adio, tynnu, lluosi a rhannu. Mae perthnasoedd rhwng y gweithrediadau hyn yn sylfaenol: mae tynnu yn wrthwyneb i adio, ac mae rhannu yn wrthwyneb i luosi. Er enghraifft, os yw 15 + 7 = 22, yna mae 22 - 7 = 15. Mae'r perthnasoedd hyn yn ein galluogi i ddatrys anhysbysion mewn hafaliadau.
    • Mae hierarchaeth gweithrediadau yn diffinio'r dilyniant ar gyfer gwerthuso ymadroddion. Rydym yn dilyn y drefn: Cromfachau, Gorchmynion (mynegyddion a gwreiddiau), Rhannu a Lluosi (o'r chwith i'r dde), ac Adio a Thynnu (o'r chwith i'r dde). Mae dilyn y drefn hon yn sicrhau canlyniadau cyson ar gyfer ymadroddion mathemategol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Defnyddiwch yr hierarchaeth i werthuso ymadroddion. Ar gyfer 10 + 4 * (3 + 2), datryswch y cromfachau yn gyntaf: 10 + 4 * 5. Yna lluoswch: 10 + 20. Yn olaf adiwch: 30. Mae hyn yn sicrhau bod y strwythur cywir yn cael ei ddilyn bob tro.
    • Defnyddiwch weithrediadau gwrthdro i ddod o hyd i newidynnau coll. Os yw x / 5 = 4, lluoswch â 5 i ddod o hyd i x: 5 * 4 = 20. Yn yr un modd, os yw x - 12 = 8, adiwch 12 i ddod o hyd i x: 8 + 12 = 20. Mae gan bob gweithrediad lwybr gwrthdro union.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dysgu'r drefn gywir i ddatrys problemau mathemategol fel eich bod bob amser yn cael yr ateb cywir ac yn egluro sut i ddadwneud gweithrediadau mathemategol i ddod o hyd i rifau coll.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch 20 - 4 * (3 + 1) gan ddefnyddio hierarchaeth gweithrediadau.

    Dangos yr ateb

    Yn gyntaf adiwch y tu mewn i'r cromfachau: 3 + 1 = 4. Yna lluoswch: 4 * 4 = 16. Yn olaf tynnwch: 20 - 16 = 4.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.5.2 foundation; Unit 2 §1.5.2 foundation; Unit 3 §1.5.2 foundation. Tudalennau PDF 16: adio, tynnu, lluosi a rhannu rhifau cyfan, gan gynnwys rhifau cyfan mawr

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae perfformio rhifyddeg ar rifau cyfan mawr yn gofyn am ddull systematig. Mae adio a thynnu yn defnyddio dulliau colofn i reoli gwerth lle. Mae lluosi yn cynnwys rhannu neu luosi hir ffurfiol i reoli digidau, tra bod rhannu yn defnyddio'r dull rhannu byr neu hir i benderfynu faint o weithiau y mae un rhif yn ffitio i mewn i un arall.
    • Nid yw maint rhifau mawr yn newid priodweddau sylfaenol rhifyddeg. Er enghraifft, gellir datrys 1,200 * 30 trwy gyfrifo 12 * 3 = 36 ac atodi'r tair sero i gael 36,000. Mae'r egwyddorion hyn yn berthnasol i bob rhif cyfan waeth beth fo'r raddfa.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch 1,450 + 2,675 gan ddefnyddio adio colofn. Aliniwch ddigidau yn ôl gwerth lle: 1450 + 2675. 0+5=5, 5+7=12 (cario 1), 4+6+1=11 (cario 1), 1+2+1=4. Y swm yw 4,125.
    • Cyfrifwch 5,600 / 20. Rhannwch y ddau â 10 i symleiddio: 560 / 2 = 280. Gan ddefnyddio rhesymeg wrthdro, gwiriwch os yw 280 * 20 = 5,600. Mae'n gywir.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn egluro sut i adio, tynnu, lluosi a rhannu rhifau mawr yn ddiogel trwy gadw colofnau yn unol a defnyddio llwybrau byr gwerth lle syml.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch 3,500 - 1,280.

    Dangos yr ateb

    Gan ddefnyddio tynnu colofn: 3500 - 1280 = 2220.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.5.3 foundation; Unit 2 §1.5.3 foundation; Unit 3 §1.5.3 foundation. Tudalennau PDF 16: adio, tynnu, lluosi a rhannu degolion, ffracsiynau a rhifau negatif

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gweithio gyda degolion yn gofyn am alinio pwyntiau degol ar gyfer adio a thynnu. Ar gyfer lluosi, lluoswch fel rhifau cyfan ac yna rhowch y pwynt degol yn seiliedig ar gyfanswm y lleoedd degol yn y ffactorau. Mae rhannu â degolion yn golygu symud y pwynt i wneud y rhannwr yn rif cyfan.
    • Ar gyfer rhifau negatif, defnyddiwch reolau arwyddion penodol. Wrth luosi neu rannu, mae dau arwydd yr un fath yn cynhyrchu canlyniad positif, ac mae arwyddion gwahanol yn cynhyrchu canlyniad negatif. Mae ffracsiynau angen enwaduron cyffredin ar gyfer adio a thynnu, tra bod lluosi yn defnyddio cynnyrch uniongyrchol y rhifiadur a'r enwadur.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Datryswch -4.5 * 2.2. Yn gyntaf, lluoswch 45 * 22 = 990. Gan fod un yn negatif, mae'r canlyniad yn negatif. Gyda chyfanswm o ddau le degol, rydym yn cael -9.90.
    • Datryswch 3/4 - 1/5. Trosi i enwadur cyffredin o 20: 15/20 - 4/20 = 11/20.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn ymdrin â rheolau ar gyfer degolion, negatifau a ffracsiynau, gan sicrhau eich bod yn trin arwyddion a phwyntiau degol yn gywir wrth gyfrifo.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch -2.5 * -4.

    Dangos yr ateb

    Mae dau arwydd negatif wedi eu lluosi yn arwain at bositif: 2.5 * 4 = 10.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.5.4 foundation. Tudalennau PDF 16: deall a defnyddio gweithrediadau a ysgrifennwyd fel peiriannau rhif

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae peiriannau rhif yn cynrychioli swyddogaethau yn weledol. Mae mewnbwn yn mynd i mewn, yn cael gweithrediad, ac yn cynhyrchu allbwn. Mae deall y rhain yn helpu i nodi cyfansoddiad swyddogaethau, lle mae allbwn un peiriant yn dod yn fewnbwn i un arall.
    • Defnyddir peiriannau rhif gwrthdro i ôl-rannu o allbwn i fewnbwn. Trwy wrthdroi'r gweithrediad a berfformir ym mhob cam (e.e., newid + i - neu * i /), gallwch ddatrys gwerthoedd anhysbys yn systematig.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Defnyddiwch beiriant lle mae mewnbwn x yn mynd i mewn, yn cael ei luosi â 3, yna mae 5 yn cael ei adio i gynhyrchu allbwn 20. I ddatrys ar gyfer x, gwrthdroi: Dechreuwch ar 20, tynnwch 5 i gael 15. Rhannwch â 3 i gael 5. Felly x = 5.
    • Dyluniwch beiriant ar gyfer yr ymadrodd 2 * (x - 4). Mae'r cam cyntaf yn tynnu 4 oddi wrth x. Mae'r ail gam yn lluosi â 2. Os yw'r mewnbwn yn 10, yna (10-4)*2 = 12.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dangos sut i ddefnyddio diagramau o'r enw peiriannau rhif i ddilyn camau cyfrifiad a'u gwrthdroi i ddod o hyd i fewnbynnau coll.

    Hunanwirio

    Mae peiriant yn lluosi â 4 yna yn tynnu 2. Os yw'r allbwn yn 14, beth yw'r mewnbwn?

    Dangos yr ateb

    Gwrthdroi: 14 + 2 = 16. Yna 16 / 4 = 4. Y mewnbwn yw 4.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.5.5 foundation; Unit 3 §1.5.5 foundation. Tudalennau PDF 17: defnyddio cyfrifiannell yn effeithlon ac yn effeithiol, gan gynnwys: trefn gweithrediadau adio, tynnu, lluosi a rhannu sgwario, ciwb a phwerau eraill ail isradd a thrydydd isradd cromfachau ffwythiannau priodol eraill

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyfrifiannell yn dilyn trefn gweithrediadau, felly mae cromfachau yn penderfynu pa ran sy'n cael ei gyfrifo'n gyntaf. Gwybyddwch yr allweddi ar gyfer adio, tynnu, lluosi, rhannu, pwerau, ail israddau ac israddau ciwbig. Gall arwyddion negatif a thynnu ddefnyddio allweddi gwahanol.
    • Cadwch y gwerth llawn a ddangosir neu defnyddiwch gof/Ans yn ystod camau canolradd, yna talfyru'r canlyniad terfynol yn unig fel y gofynnwyd. Amcangyfrifwch yr ateb yn gyntaf fel bod dilyniant allweddi anghywir yn haws i'w weld.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Rhowch (8+4)÷3 i gael 4. Heb y cromfachau, mae 8+4÷3 yn rhoi 9.333… oherwydd bod rhannu yn digwydd gyntaf. Gwiriwch fod y sgrin yn dangos yr ymadrodd arfaethedig.
    • Cyfrifwch √81 + 2³ = 9 + 8 = 17. Ar gyfer ∛64, defnyddiwch yr allwedd isradd ciwbig neu 64^(1/3) i gael 4. I ddod o hyd i 5⁴, defnyddiwch yr allwedd pŵer a chael 625. Gwiriwch ble mae cofnod isradd neu bŵer yn gorffen cyn ychwanegu'r term nesaf.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch fracedi a'r allweddi pŵer/gwreiddyn cywir, gwiriwch y mynegiad a gofnodwyd, ac oedi talgrynnu.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch (7²−√25)÷4.

    Dangos yr ateb

    (49−5)÷4 = 44÷4 = 11.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.5.5 higher; Unit 3 §1.5.5 higher. Tudalennau PDF 17: ffurf safonol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Ffurf safonol yw a × 10ⁿ gyda 1 ≤ |a| < 10 ar gyfer rhif nad yw'n sero. Mae cyfrifianellau yn defnyddio allwedd EXP neu ×10ˣ yn gyffredin a gallant arddangos esbonydd gyda E, er enghraifft mae 3.2E−4 yn golygu 3.2 × 10⁻⁴, nid 3.2 − 4.
    • Wrth ddefnyddio'r allwedd esbonydd, nodwch y cyfernod yna'r esbonydd heb nodi 10 arall. Defnyddiwch yr allwedd rhif negatif ar gyfer esbonydd negatif. Darllenwch yr ateb cyfan a arddangosir a'i drawsnewid i'r ffurf y gofynnwyd amdani.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch (3 × 10⁵)(2 × 10⁻³). Nodwch y ddau rif ffurf safonol a'u lluosi. Y canlyniad yw 600 = 6 × 10². Gwiriwch yn annibynnol: mae cyfernodau yn lluosi i 6 ac esbonyddion yn adio i 2.
    • Ar gyfer (8 × 10⁷)/(2 × 10³), y canlyniad yw 4 × 10⁴ = 40000. Ar gyfer 3.2E−4, symudwch y pwynt degol pedwar lle i'r chwith i gael 0.00032.

    Mewn iaith syml

    Mae allwedd cofnodi esbonydd yn cynrychioli pŵer o ddeg. Gwiriwch yr esbonydd a arddangosir, yn enwedig pan fo'n negatif.

    Hunanwirio

    Mae cyfrifiannell yn arddangos 5.6E−3. Ysgrifennwch hwn fel degolyn cyffredin.

    Dangos yr ateb

    5.6 × 10⁻³ = 0.0056.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §1.5.6 higher. Tudalennau PDF 17: defnyddio'r ffwythiannau trigonometrig ar gyfrifiannell yn effeithlon ac yn effeithiol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae swyddogaethau trigonometrig (sin, cos, tan) yn hanfodol ar gyfer cyfrifo hydoedd ac onglau mewn trionglau ongl sgwâr. Sicrhewch fod y gyfrifiannell wedi'i gosod ar y modd 'DEG' ar gyfer graddau. Mae'r swyddogaethau yn dychwelyd cymarebau yn seiliedig ar y mewnbynnau ongl, gan fapio onglau i briodweddau cyfesurynnol penodol ar gylch.
    • Mae swyddogaethau trigonometrig gwrthdro (sin^-1, cos^-1, tan^-1) yn caniatáu cyfrifo onglau o gymarebau ochr. Er enghraifft, os yw tan(A) = 1, yna mae A = tan^-1(1) = 45 gradd. Mae deall y rhain yn gofyn am nodi ochrau fel Ochr Gyferbyn, Ochr Agos, a Hypotenws mewn perthynas â'r ongl.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch sin(30). Sicrhewch fod y gyfrifiannell yn y modd DEG. Mewnbynnwch sin, yna 30, yna =. Y canlyniad yw 0.5.
    • Dewch o hyd i ongl A os yw cos(A) = 0.5. Pwyswch SHIFT neu 2nd function, yna cos, mewnbynnwch 0.5, yna =. Y canlyniad yw 60 gradd.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dysgu sut i ddefnyddio'ch cyfrifiannell ar gyfer swyddogaethau sin, cosin, a thangent i ddatrys problemau trionglau.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i ongl B os yw tan(B) = 1.0.

    Dangos yr ateb

    Defnyddiwch dangiad gwrthdro: tan^-1(1.0) = 45 gradd.

    Gweld diagramau

    Triongl ongl sgwâr ag ochrau wedi’u labelu

    435θ90°
    Allwedd a disgrifiad

    O ran yr ongl θ, yr ochr gyferbyn yw 3, yr ochr gyfagos yw 4 a’r hypotenws yw 5.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.6.1 foundation; Unit 3 §1.6.1 foundation. Tudalennau PDF 17: talgrynnu ateb i lefel resymol o fanwl gywirdeb ac ystyried y cyd-destun

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae talgrynnu yn broses o addasu rhif i werth symlach neu fwy cyfleus, fel arfer trwy ddewis nifer sefydlog o lefydd degol neu ffigurau ystyrlon. Mae dewis gradd cywirdeb yn dibynnu ar gyd-destun y broblem, fel cyfrifiadau ariannol sydd angen dau le degol ar gyfer arian neu fesuriadau ffisegol sydd angen cyd-fynd â chywirdeb yr offer a ddefnyddir. Pan gaiff gwerth ei dalgrynnu, mae'r digidau i'r dde o'r sefyllfa darged yn penderfynu a ddylid talgrynnu i fyny neu aros yr un fath.
    • Er enghraifft, os rhoddir y gwerth 47.638 cilogram i chi, mae talgrynnu i un lle degol yn gofyn am edrych ar yr ail ddigid degol, sef 3. Gan fod 3 yn llai na 5, rydych yn cadw'r digid degol cyntaf fel ag y mae, gan arwain at 47.6 cilogram. I'r gwrthwyneb, pe bai'r gwerth yn 47.658, byddai'r digid 5 yn cymell cynnydd i 47.7 cilogram. Mae'r arfer hwn yn sicrhau bod cyfrifiadau yn aros yn hylaw heb golli gwybodaeth hanfodol sydd angen ar gyfer y cyd-destun.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I dalgrynnu 124.567 i ddau le degol, nodwch yr ail le degol, sef 6. Gwiriwch y digid yn union i'w dde, sef 7. Oherwydd bod 7 yn 5 neu'n fwy, talgrynnwch y 6 i fyny i 7, gan arwain at 124.57. Perfformiwch y cam talgrynnu ar ddiwedd cyfrifiad bob amser i sicrhau bod y lefel uchaf o gywirdeb yn cael ei gynnal trwy gydol eich gwaith.
    • Ystyriwch gyd-destun lle rydych yn cyfrifo arwynebedd cylch gyda radiws o 5 cm. Gan ddefnyddio pi fel 3.14159, mae'r cyfrifiad yn rhoi 78.5398... cm sgwâr. Mae talgrynnu hwn i radd resymol o gywirdeb, megis un lle degol, yn rhoi 78.5 cm sgwâr. Mae'r canlyniad hwn yn cydnabod y dylai cywirdeb y canlyniad terfynol adlewyrchu'r data mewnbwn. Defnyddiwch swyddogaethau cof y cyfrifiannell i storio canlyniadau canolradd cyn cymhwyso talgrynnu terfynol.

    Mewn iaith syml

    Mae talgrynnu yn gwneud rhifau yn haws i'w trin trwy eu symleiddio i bwynt penodol. Gwiriwch y digid nesaf bob amser i benderfynu a ddylid talgrynnu i fyny neu aros yr un fath, a chofiwch fod cyd-destun yn pennu pa mor gywir y mae angen i chi fod.

    Hunanwirio

    Talgrynnwch 0.8924 i ddau le degol.

    Dangos yr ateb

    0.89. Mae'r trydydd digid degol yn 2, sy'n llai na 5, felly mae'r ail ddigid yn aros yn 9.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.6.2 foundation. Tudalennau PDF 17: gwybod mai ffigur bras yw mesuriad ac y gall fod cyfeiliornad o hanner uned mewn mesuriad sydd wedi’i fynegi i uned benodol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Nid yw mesuriadau mewn mathemateg a gwyddoniaeth byth yn berffaith gywir oherwydd eu bod yn dibynnu ar gyfyngiadau'r offer a ddefnyddir. Mae gan bob mesuriad radd o ansicrwydd cynhenid. Pan ddatgenir gwerth i uned benodol, megis 15 cm wedi'i fesur i'r centimetr agosaf, mae'n awgrymu bod y gwir werth yn gorwedd rhywle rhwng y gwerthoedd a fyddai'n talgrynnu i 15. Diffinnir y gwall fel hanner yr uned fesur leiaf a ddefnyddir.
    • Os mesurir hyd fel 15 cm, yr uned leiaf yw 1 cm. Hanner hyn yw'r gwall, sef 0.5 cm. Mae hyn yn golygu y gallai'r mesuriad gwirioneddol fod mor isel â 14.5 cm neu mor uchel â 15.5 cm. Mae'r cysyniad hwn yn sylfaenol wrth asesu dibynadwyedd data mewn arbrofion geometreg neu ffiseg, oherwydd mae'n pennu'r ystod bosibl o wall ar gyfer unrhyw werth a adroddir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i ystod mesuriad, nodwch gywirdeb yr uned. Ar gyfer màs a fesurwyd fel 20 kg i'r kg agosaf, yr uned yw 1 kg. Rhannwch hwn â 2 i ddod o hyd i'r gwall, sef 0.5 kg. Y ffin isaf yw 20 minws 0.5, sy'n hafal i 19.5 kg, a'r ffin uchaf yw 20 plws 0.5, sy'n hafal i 20.5 kg. Datgenwch yr ystod bosibl fel 19.5 kg <= màs < 20.5 kg bob amser.
    • Os cofnodir amser fel 120 eiliad i'r 10 eiliad agosaf, yr uned leiaf yw 10 eiliad. Y gwall yw 10 wedi'i rannu â 2, sef 5 eiliad. Yr ystod yw 120 minws 5 (115 eiliad) i 120 plws 5 (125 eiliad). Wrth gymhwyso hyn i ddatrys problemau, defnyddiwch y ffiniau hyn i bennu'r canlyniadau posibl lleiaf a mwyaf ar gyfer arwynebedd, perimedr, neu bellter cyfan.

    Mewn iaith syml

    Mae pob mesuriad yn fras. Os ydych chi'n mesur rhywbeth i'r uned agosaf, gallai'r gwir werth fod hanner uned uwch neu is na'r darlleniad hwnnw. Mae'r gwerth hanner uned hwn yn creu'r ystod ar gyfer eich mesuriad.

    Hunanwirio

    Mesurir pellter fel 8 metr i'r metr agosaf. Beth yw ystod bosibl y gwir bellter?

    Dangos yr ateb

    Y gwall yw 0.5 metr. Yr ystod yw 7.5 metr <= pellter < 8.5 metr.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.6.3 higher. Tudalennau PDF 17: pennu arffiniau isaf ac uchaf rhifau sydd wedi'u mynegi i lefel benodol o fanwl gywirdeb

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae terfynau uchaf ac isaf yn diffinio'r cyfwng y mae'n rhaid i wir werth fod ynddo o ystyried cywirdeb datganedig mesuriad. Pan gofnodir gwerth fel x i radd benodol o gywirdeb, y terfyn isaf yw'r gwerth lleiaf a fyddai'n talgrynnu i fyny i x, a'r terfyn uchaf yw'r gwerth ychydig o dan y pwynt lle byddai'n talgrynnu i fyny i'r cyfwng nesaf. Mae'r terfynau hyn yn hanfodol ar gyfer deall yr amrywiad posibl mewn unrhyw ganlyniad cyfrifedig sy'n deillio o ddata wedi'i fesur.
    • Er enghraifft, os caiff mesuriad o 10.4 cm ei dalgrynnu i un lle degol, yr ystod o werthoedd posibl yw 10.35 <= x < 10.45. Y gwerth 10.35 yw'r terfyn isaf, gan y byddai unrhyw werth llai yn talgrynnu i 10.3. Y gwerth 10.45 yw'r terfyn uchaf, gan y byddai 10.45 ac unrhyw beth uwch ei ben yn talgrynnu i 10.5. Mae'r ffiniau hyn yn diffinio ystod sicrwydd y mesuriad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I bennu terfynau ar gyfer rhif fel 420 wedi'i dalgrynnu i'r 10 agosaf, yn gyntaf dewch o hyd i'r gwall: 10 wedi'i rannu â 2 yw 5. Y terfyn isaf yw 420 minws 5, sef 415. Y terfyn uchaf yw 420 plws 5, sef 425. Cynrychiolwch hyn yn fathemategol fel 415 <= gwerth < 425. Mae hyn yn sicrhau bod unrhyw fewnbwn sy'n disgyn o fewn yr ystod hon yn gyson â'r gwerth a adroddwyd.
    • Ystyriwch y pwynt cyfesurynnol (5, 8) lle rhoddir y ddau werth i'r cyfanrif agosaf. Y terfynau ar gyfer y cyfesuryn x yw 4.5 <= x < 5.5, ac ar gyfer y cyfesuryn y yw 7.5 <= y < 8.5. Os ydych yn cyfrifo pellter neu lethr rhwng pwyntiau, defnyddiwch y cyfyngau terfynedig hyn bob amser i sefydlu'r senarios achos gwaethaf ac achos gorau. Mae'r dull hwn yn osgoi talgrynnu cynamserol ac yn cadw cyfrifiadau'n gywir trwy gydnabod ystod gudd y mewnbwn.

    Mewn iaith syml

    Terfynau yw'r gwerthoedd isaf a'r uchaf y gallai mesuriad fod yn seiliedig ar ei dalgrynnu. Maent yn eich helpu i ddeall ystod lawn y posibiliadau ar gyfer eich data.

    Hunanwirio

    Beth yw'r terfynau ar gyfer 75 wedi'i dalgrynnu i'r 5 agosaf?

    Dangos yr ateb

    Y gwall yw 5/2 = 2.5. Y terfyn isaf yw 72.5 a'r terfyn uchaf yw 77.5. Felly, 72.5 <= gwerth < 77.5.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.6.4 higher. Tudalennau PDF 18: cyfrifo arffiniau isaf ac uchaf wrth adio, tynnu, lluosi a rhannu rhifau sydd wedi'u mynegi i lefel benodol o fanwl gywirdeb

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae mesuriadau wedi eu talgrynnu yn cynrychioli cyfwng. Mae hyd o 10 cm wedi ei dalgrynnu i'r centimetr agosaf yn golygu 9.5 ≤ L < 10.5 cm. Ei derfyn isaf yw 9.5 a'i derfyn uchaf yw 10.5, ond nid yw'r pwynt terfyn uchaf wedi ei gynnwys. Does dim rhaid i derfyn uchaf neu isaf fod yn werth y mae'r cyfrifiad yn ei gyrraedd mewn gwirionedd.
    • Ar gyfer mesuriadau positif, mae gan gynnyrch derfyn isaf o is × is a therfyn uchaf o uchaf × uchaf. Mae gan ddyfyniad derfyn isaf o rifwr-is ÷ enwadur-uchaf a therfyn uchaf o rifwr-uchaf ÷ enwadur-is. Ar gyfer gwahaniaeth a − b, defnyddiwch a-is − b-uchaf ar gyfer ei derfyn isaf a a-uchaf − b-is ar gyfer ei derfyn uchaf. Mae'r rheolau hyn ar gyfer cynhyrchion a dyfyniadau yn tybio mewnbynnau positif; gwiriwch y marciau cyn eu defnyddio.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae gan betryal hyd mesuredig o 10 cm a lled o 5 cm, pob un i'r centimetr agosaf. Mae gan ei arwynebedd derfyn isaf o 9.5 × 4.5 = 42.75 cm² a therfyn uchaf o 10.5 × 5.5 = 57.75 cm². Mae'r pwyntiau terfyn isaf yn bosibl ond nid yw'r pwyntiau terfyn uchaf, felly 42.75 ≤ arwynebedd < 57.75 cm².
    • Mae pellter o 100 m ac amser o 10 s pob un wedi eu talgrynnu i'r uned gyfan agosaf. Mae terfyn isaf y cyflymder yn 99.5/10.5 ≈ 9.476 m/s a'r terfyn uchaf yn 100.5/9.5 ≈ 10.579 m/s. Cadwch y ffracsiynau union wrth adrodd y terfynau: mae'r ddau bwynt terfyn cyflymder wedi eu heithrio oherwydd bod pob un yn gofyn am un mewnbwn uchaf wedi ei eithrio.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch y mewnbynnau eithaf posibl, gan ddewis yr eithafion cywir ar gyfer y gweithrediad. Gwahaniaethwch derfyn oddi wrth bwynt terfyn a all ddigwydd mewn gwirionedd.

    Hunanwirio

    Mae a = 10 a b = 2 wedi eu talgrynnu i'r rhif cyfan agosaf. Darganfyddwch derfynau a − b a phenderfynwch a ydynt wedi eu cynnwys.

    Dangos yr ateb

    9.5 ≤ a < 10.5 a 1.5 ≤ b < 2.5. Terfyn isaf = 9.5 − 2.5 = 7; terfyn uchaf = 10.5 − 1.5 = 9. Ni all y naill bwynt terfyn na'r llall ddigwydd, felly 7 < a − b < 9.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.6.5 foundation; Unit 3 §1.6.5 foundation. Tudalennau PDF 18: gall talgrynnu cynamserol mewn problemau sy'n cynnwys sawl cam effeithio ar fanwl gywirdeb yr ateb terfynol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae talgrynnu cynamserol yn digwydd pan fyddwch yn talgrynnu gwerthoedd canolradd yn ystod cyfrifiad aml-gam. Mae'r arfer hwn yn cyflwyno mân wallau ym mhob cam sy'n cronni, gan arwain at ganlyniad terfynol sy'n gwyro'n sylweddol oddi wrth y gwir werth mathemategol. Er enghraifft, os yw cyfrifiad yn cynnwys lluosi gwerth ag un traean (0.333...) ac rydych yn talgrynnu i 0.3 cyn bwrw ymlaen, bydd yr ateb terfynol yn anghywir. Mae'n hanfodol cadw'r holl ddigidau yng nghof eich cyfrifiannell tan y cam olaf.
    • Wrth ddatrys problemau cymhleth sy'n cynnwys gweithrediadau lluosog, gall effaith gyfansawdd gwallau talgrynnu droi dull cywir yn ganlyniad diffygiol. Trwy gadw ffracsiynau union neu gadw cymaint o lefydd degol ag y mae eich cyfrifiannell yn ei ganiatáu trwy gydol eich camau canolradd, rydych yn cynnal cywirdeb y fathemateg. Dylid perfformio talgrynnu terfynol unwaith yn unig, ar y diwedd, i ddarparu ateb sydd mor agos â phosibl at y gwerth damcaniaethol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Tybiwch fod yn rhaid i chi gyfrifo (100 / 3) * 7. Dull cywir: Cadwch 100/3 fel ffracsiwn neu defnyddiwch 33.3333333 ar eich cyfrifiannell, yna lluoswch â 7 i gael 233.333... Mae talgrynnu ar y diwedd i ddau le degol yn rhoi 233.33. Dull anghywir: 100/3 = 33.3. Yna 33.3 * 7 = 233.1. Mae'r gwahaniaeth rhwng 233.33 a 233.1 yn dangos yr anghywirdeb a gyflwynwyd trwy dalgrynnu hanner ffordd drwy'r camau.
    • Gwiriwch eich gosodiadau arddangos bob amser i sicrhau nad yw'r cyfrifiannell yn dangos gwerthoedd wedi'u talgrynnu yn gynamserol. Defnyddiwch y bysellau ANS neu gof ar eich dyfais i storio canlyniad pob is-gyfrifiad. Os oes angen sawl cam ar broblem, megis cyfrifo arwynebedd arwyneb siâp cymhleth trwy ddod o hyd i rannau unigol, adiwch y mynegiadau union neu ddegolion heb eu talgrynnu, a chymhwyswch y talgrynnu terfynol a ofynnwyd dim ond i'r cyfanswm hwnnw. Mae hyn yn sicrhau bod cywirdeb yn cael ei gadw'n gyson.

    Mewn iaith syml

    Peidiwch byth â thalgrynnu rhifau tan ddiwedd eich problem fathemateg. Os ydych chi'n talgrynnu rhifau yng nghanol eich camau, bydd y mân wallau yn adio i fyny a gwneud eich ateb terfynol yn anghywir.

    Hunanwirio

    Os oes angen i chi gyfrifo 200 wedi'i rannu â 7 yna wedi'i luosi â 3, pa ddull sy'n fwy cywir: talgrynnu 200/7 i 28.6 yn gyntaf, neu gyfrifo (200/7)*3 yn gyfan gwbl heb dalgrynnu canolradd?

    Dangos yr ateb

    Mae cyfrifo (200/7)*3 yn gyfan gwbl yn fwy cywir. 28.6*3=85.8, tra bod (200/7)*3 = 85.714... (wedi'i dalgrynnu i 85.71).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.7.1 foundation. Tudalennau PDF 18: dehongli a defnyddio gwybodaeth fathemategol sydd wedi'i chyflwyno ar ffurf ysgrifenedig neu weledol, gan gynnwys ffeithluniau, amserlenni ( schedules ), tablau, amserlenni ( timetables ), calendrau a siartiau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Cyflwynir gwybodaeth fathemategol yn aml trwy fformatau gweledol fel tablau, calendrau, neu siartiau, sy'n gofyn am dechnegau penodol i echdynnu gwybodaeth. I ddehongli tabl, rhaid nodi'r echelinau neu'r penawdau sy'n diffinio'r newidynnau. Er enghraifft, mewn amserlen fysiau, mae colofnau yn aml yn cynrychioli arosfannau ac mae rhesi yn cynrychioli amseroedd teithio. Chwiliwch bob amser am yr uned fesur, fel munudau neu fetrau, cyn gwneud unrhyw gyfrifiadau.
    • Mae infograffeg yn defnyddio delweddau graddfa i gyfathrebu data meintiol. I ddadansoddi'r rhain, nodwch yr allwedd a'r ffactor graddfa. Os yw un eicon yn cynrychioli 500 o unedau, y cyfanswm yw nifer yr eiconau wedi'i luosi â'r ffactor graddfa. Mewn siartiau llinell, darllenwch yr echelin x llorweddol ar gyfer y newidyn annibynnol a'r echelin y fertigol ar gyfer y newidyn dibynnol. Gwnewch yn siŵr bod cyfesurynnau yn cael eu holrhain yn fanwl ar draws llinellau grid i gynnal cywirdeb wrth adrodd ar ddata.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ystyriwch amserlen trên lle mae'r ymadawiad 08:00 yn cyrraedd am 09:15, ac mae'r ymadawiad 08:30 yn cyrraedd am 09:45. Cyfrifwch hyd y ddau: mae 9:15 minws 8:00 yn hafal i 75 munud, ac mae 9:45 minws 8:30 yn hafal i 75 munud. Trwy ynysu'r gwerthoedd hyn, rydym yn penderfynu bod hyd y daith yn gyson waeth beth fo'r amser ymadael, gan ddarparu cymhwysiad ymarferol ar gyfer darllen data cludiant amserlennol.
    • Ar gyfer siart bar sy'n dangos gwerthiant ffrwythau lle mae afalau = 120, bananas = 80, a cheirios = 40, cyfrifwch y swm: mae 120 plws 80 plws 40 yn hafal i 240. Cynrychiolwch hyn mewn tabl i ymarfer trefnu data gweledol. Sicrhewch fod pob gwerth rhifiadol yn cyfateb i'r echelin wedi'i labelu. Dilyswch y swm trwy groesgyfeirio'r cyfanswm a ddarparwyd yn y disgrifiad siart i gadarnhau cywirdeb yn eich proses dehongli data.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dysgu sut i echdynnu rhifau ac ystyron o dablau, siartiau, ac amserlenni trwy ddarllen teitlau, labeli, ac unedau mesur yn ofalus.

    Hunanwirio

    Os yw tabl yn dangos bws yn gadael am 10:15 ac yn cyrraedd am 11:05, faint o funudau yw'r daith?

    Dangos yr ateb

    50 munud. Gweithio: mae 11:05 minws 10:15 yn hafal i 50 munud.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.7.2 foundation. Tudalennau PDF 18: creu cynlluniau ac amserlenni

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae creu cynllun neu amserlen yn gofyn am drefnu tasgau yn gronolegol neu'n rhesymegol o fewn ffrâm amser benodol. I lunio amserlen effeithiol, dechreuwch trwy restru'r holl gydrannau neu ddigwyddiadau angenrheidiol. Nesaf, neilltuwch hyd penodol i bob tasg a'u trefnu'n ddilyniannol. Defnyddiwch fformat llinell amser neu grid i sicrhau nad yw gweithgareddau yn gorgyffwrdd oni bai y gellir eu perfformio ar yr un pryd. Mae nodi cyfyngiadau, fel amseroedd cychwyn a gorffen, yn hanfodol ar gyfer trefniant rhesymegol.
    • Wrth gynllunio prosiect gyda chamau penodol, cyfrifwch y cyfanswm hyd trwy adio amseroedd y tasgau unigol. Er enghraifft, os yw Tasg A yn cymryd 20 munud, Tasg B yn cymryd 45 munud, a Thasg C yn cymryd 15 munud, y cyfanswm amser yw 80 munud. Ystyriwch amser pontio neu amser 'rhydd' rhwng tasgau. Mae dogfennaeth briodol mewn tabl clir yn helpu i gyfathrebu'r amserlen yn effeithiol i eraill, gan sicrhau bod cerrig milltir yn cael eu cyrraedd o fewn y cyfyngiadau a ddyrannwyd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Drafftio amserlen astudio. Tasg 1: Mathemateg (30 munud), Tasg 2: Egwyl (10 munud), Tasg 3: Saesneg (40 munud). Cyfanswm amser = 30 + 10 + 40 = 80 munud. Os yw'r amser cychwyn yn 09:00, yr amserlen yw: Mathemateg 09:00 i 09:30, Egwyl 09:30 i 09:40, Saesneg 09:40 i 10:20. Defnyddiwch fformat tabl i restru'r amseroedd cychwyn a gorffen hyn yn glir ar gyfer pob gweithgaredd.
    • Dylunio cynllun digwyddiad calendr wythnosol. Os yw tasg yn gofyn am 3 awr ddydd Llun a 2.5 awr ddydd Mawrth, y cyfanswm ymrwymiad yw 5.5 awr. Cynrychiolwch hyn mewn grid wythnosol lle mae pob cell yn cynrychioli slot 30 munud. Defnyddiwch gyfesurynnau neu flociau penodol i gysgodi'r amser a feddiannir. Mae'r dull gweledol hwn yn helpu i nodi capasiti rhydd ac osgoi gwrthdaro amserlennu o fewn cylch wythnosol 168 awr.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn esbonio sut i drefnu tasgau i mewn i amserlenni rhesymegol trwy gyfrifo amseroedd unigol, eu hadio at ei gilydd, a'u mapio ar linell amser neu galendr.

    Hunanwirio

    Mae gennych dasg yn dechrau am 14:00 sy'n cymryd 90 munud. Pa amser mae'n gorffen?

    Dangos yr ateb

    15:30. Gweithio: mae 90 munud yn 1 awr a 30 munud. Mae 14:00 plws 1 awr 30 munud yn hafal i 15:30.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 · Unit 1 §1.7.3 foundation; Unit 2 §1.7.3 foundation. Tudalennau PDF 18: defnyddio, dehongli a chynhyrchu diagramau Venn

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae diagram Venn yn offeryn ar gyfer delweddu perthnasoedd rhwng setiau o wrthrychau gan ddefnyddio cylchoedd sy'n gorgyffwrdd o fewn set gyffredinol. Mae pob cylch yn cynrychioli categori, ac mae'r rhan sy'n gorgyffwrdd yn cynrychioli'r croestoriad, sy'n cynnwys elfennau sy'n perthyn i'r ddau gategori. Mae elfennau y tu allan i'r cylchoedd ond o fewn y blwch ffin yn cynrychioli eitemau nad ydynt yn perthyn i'r naill gategori na'r llall. Mae meistroli'r diagramau hyn yn golygu gosod elfennau yn gywir yn seiliedig ar eu priodoleddau cyffredin.
    • I lunio diagram Venn, diffiniwch eich set gyffredinol (e.e., rhifau 1 i 10) a'ch dau faen prawf (e.e., Rhifau eilrif a Lluosrifau 3). Y rhifau eilrif yw {2, 4, 6, 8, 10} a lluosrifau 3 yw {3, 6, 9}. Y croestoriad yw {6}. Rhowch y rhifau yn unol â hynny: {2, 4, 8, 10} yn y rhan nad yw'n gorgyffwrdd o 'Eilrif', {3, 9} yn y rhan nad yw'n gorgyffwrdd o 'Lluosrifau 3', a {6} yn y gorgyffwrdd canol. Mae rhifau {1, 5, 7} y tu allan.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ymarferwch nodi croestoriadau. O ystyried Set A = {1, 2, 3, 4} a Set B = {3, 4, 5, 6}, y croestoriad yw {3, 4}. Rhowch y ddwy elfen hyn yn y parth gorgyffwrdd canolog. Rhowch 1 a 2 yn gyfan gwbl yn y cylch ar gyfer Set A. Rhowch 5 a 6 yn gyfan gwbl yn y cylch ar gyfer Set B. Mae'r mapio gofodol hwn yn cadarnhau bod 3 a 4 yn bodloni'r ddau amod ar yr un pryd.
    • Cyfrifwch debygolrwydd gan ddefnyddio diagramau Venn. Os yw 10 o bobl yn hoffi Te a 15 yn hoffi Coffi, gyda 5 yn hoffi'r ddau, darluniwch y cylchoedd. Mae gan y rhan 'Te yn unig' 10 minws 5 = 5 o bobl. Mae gan y rhan 'Coffi yn unig' 15 minws 5 = 10 o bobl. Cyfanswm nifer y bobl yw 5 (Te yn unig) + 5 (Y ddau) + 10 (Coffi yn unig) = 20 o unigolion unigryw. Dilyswch y cyfrifon i sicrhau eu bod yn cyd-fynd â'r set ddata yn gywir.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn esbonio sut i ddefnyddio diagramau Venn i ddidoli eitemau i grwpiau, nodi nodweddion cyffredin, a threfnu categorïau sy'n gorgyffwrdd gan ddefnyddio cylchoedd a blwch ffin cyffredinol.

    Hunanwirio

    Mewn set o 10 rhif {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, faint o rifau sydd yn y croestoriad o 'Rhifau od' a 'Rhifau cysefin'?

    Dangos yr ateb

    3. Y rhifau od yw {1, 3, 5, 7, 9} ac mae rhifau cysefin yn {2, 3, 5, 7}. Y rhifau cyffredin yw {3, 5, 7}.

    Gweld diagramau

    Diagram Venn ar gyfer dau ddigwyddiad

    A (18)B (14)1086Tu allan630 disgybl i gyd
    Allwedd a disgrifiad

    Grŵp o 30 disgybl a luniwyd: n(A) = 18, n(B) = 14, n(A ∩ B) = 8. A yn unig = 18 − 8 = 10; B yn unig = 14 − 8 = 6; y tu allan = 30 − (10 + 8 + 6) = 6. P(A ∪ B) = 24/30 = 4/5; P(A ∩ B) = 8/30 = 4/15.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.8.1 foundation; Unit 2 §1.8.1 foundation; Unit 3 §1.8.1 foundation. Tudalennau PDF 19: gwneud cyfrifiadau sy'n ymwneud â gwybodaeth am arian; punnoedd (£) a cheiniogau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyfrifiadau arian yn gofyn am sylw manwl i ddefnyddio degolion lle mae'r pwynt degol yn gwahanu punt (£) oddi wrth bens. Gan fod 100 o bens mewn un bunt, rhaid mynegi unrhyw swm mewn pens fel degolyn dau ddigid ar ôl y pwynt (e.e., mae 5c yn £0.05, nid £0.5). Wrth gyflawni rhifyddiaeth, aliniwch y pwyntiau degol yn fertigol i sicrhau adio a thynnu gwerthoedd ariannol yn gywir.
    • Mae lluosi a rhannu sy'n ymwneud ag arian yn dilyn rheolau degol safonol, ond rhaid talgrynnu canlyniadau i'r geiniog agosaf bob amser oni nodir yn wahanol. Er enghraifft, os yw cyfrifiad yn arwain at £12.567, dylid ei dalgrynnu i £12.57 at ddibenion talu. Mae ymwybyddiaeth o'r cyd-destun yn hanfodol, gan fod problemau arian yn aml yn cynnwys cyfrifo gweddillion neu gyfanswm costau o brisiau uned, sy'n gofyn am drawsnewid unedau cyson cyn cyflawni gweithrediadau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo cyfanswm cost sawl eitem, lluoswch y maint â phris yr uned. Tybiwch eich bod yn prynu 4 llyfr nodiadau am £1.75 yr un a 3 phin am £0.85 yr un. Cyfrifwch: (4 * 1.75) + (3 * 0.85) = 7.00 + 2.55 = £9.55. Sicrhewch fod yr holl ddegolion yn cael eu holrhain: mae 4 * 1.75 yn 7.00, ac mae 3 * 0.85 yn 2.55. Mae adio'r symiau hyn ynghyd yn rhoi cyfanswm o £9.55 yn union.
    • I rannu cyfanswm cost rhwng grŵp, rhannwch y cyfanswm â nifer y bobl. Os yw bil yn £45.30 ac yn cael ei rannu'n gyfartal rhwng 6 o bobl, cyfrifwch 45.30 / 6 = 7.55. Mae pob person yn talu £7.55. Gwirio drwy luosi'r canlyniad: 7.55 * 6 = 45.30. Gwirio bob amser aliniad y pwynt degol yn ystod rhannu hir er mwyn osgoi gwallau gwerth lle a fyddai'n symud y pens i golofn y punnoedd.

    Mewn iaith syml

    Mae arian yn cael ei ysgrifennu mewn punnoedd a phens gyda phwynt degol. Mae 100 o bens mewn punt. Wrth weithio gydag arian, defnyddiwch ddegolion, cofiwch dalgrynnu i ddau le degol, a gwiriwch bob amser fod eich pwyntiau degol wedi'u llinellu pan fyddwch yn adio neu'n tynnu.

    Hunanwirio

    Mae cwsmer yn prynu 5 eitem yn costio £2.40 yr un a 2 eitem yn costio £1.15 yr un. Beth yw'r cyfanswm cost?

    Dangos yr ateb

    Cyfanswm = (5 * 2.40) + (2 * 1.15) = 12.00 + 2.30 = £14.30.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.8.2 foundation. Tudalennau PDF 19: deall egwyddorion sylfaenol menter a chyllid personol/cartref er mwyn datrys problemau sy'n ymwneud ag, er enghraifft: taliadau gweithio a chyflogau, gan gynnwys slipiau cyflog trethiant, gan gynnwys treth incwm ac Yswiriant Gwladol cynilion a buddsoddiadau benthyciadau/ad-daliadau morgeisi arbrisiant/dibrisiant cyllidebu cyfriflenni banc biliau cyfleustodau biliau ffôn symudol a biliau eraill TAW bargeinion gorau cymharu prisiau cynlluniau ariannu, gan gynnwys prynu fesul rhandal disgownt/cynnydd mewn pris prynu a gwerthu elw a cholled teithio gan gynnwys arian cyfred tramor, cyfraddau cyfnewid a chomisiwn

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae rheoli cyllid personol yn gofyn am ddeall y berthynas rhwng incwm a gwariant. Incwm gros yw'r cyfanswm cyflog a enillwyd cyn didyniadau fel Treth Incwm ac Yswiriant Gwladol. Tâl net yw'r swm a dderbynnir ar ôl y didyniadau statudol hyn. Mae cyllidebu yn cynnwys olrhain costau rheolaidd megis biliau cyfleustodau, contractau ffôn symudol, ac ad-daliadau benthyciadau i sicrhau nad yw cyfanswm y gwariant yn fwy na chyfanswm yr incwm. Mae deall elw a cholled hefyd yn allweddol ar gyfer menter: elw yw'r gwahaniaeth rhwng refeniw (arian yn dod i mewn) a chostau (arian a wariwyd).
    • Mae cyfrifiadau mewn cyllid yn aml yn cynnwys newidiadau canrannol, megis cynnydd mewn prisiau neu ostyngiadau gwerthu. Er enghraifft, i ddod o hyd i ostyngiad o 15% ar eitem o £50, cyfrifwch 0.15 * 50 = £7.50, yna tynnwch: 50 - 7.50 = £42.50. Mae TAW (Treth ar Werth) fel arfer yn cael ei gyfrifo drwy ychwanegu canran at y pris net. Os yw TAW yn 20%, lluoswch y pris â 1.20. Mae cyfraddau cyfnewid yn caniatáu ar gyfer cyfrifiadau teithio: os yw'r gyfradd gyfnewid yn £1 i 1.20 Ewro, mae £100 yn trosi i 100 * 1.20 = 120 Ewro.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo tâl net misol, tybiwch gyflog misol gros o £2,000. Os yw Treth Incwm yn 20% ac Yswiriant Gwladol yn 10%, cyfrifwch ddidyniadau: Treth = 0.20 * 2000 = £400. YG = 0.10 * 2000 = £200. Cyfanswm y didyniadau = £600. Tâl net = 2000 - 600 = £1,400. Mae'r rhesymeg hon yn berthnasol i bob didyniad ariannol lle mae canrannau'n cael eu cymhwyso at werth sylfaenol.
    • Ar gyfer TAW a chymariaethau prisiau, ystyriwch gynnyrch yn costio £120 cyn TAW 20%. I ddod o hyd i'r pris cyfanswm, cyfrifwch 120 * 1.20 = £144. I gymharu dwy eitem, defnyddiwch ddadansoddiad 'pryniant gorau': os yw Eitem A yn 500g am £2.00 ac Eitem B yn 800g am £3.00, dewch o hyd i'r pris fesul 100g. Eitem A: 2.00 / 5 = £0.40 fesul 100g. Eitem B: 3.00 / 8 = £0.375 fesul 100g. Eitem B yw'r pryniant gorau.

    Mewn iaith syml

    Mae cyllid personol yn ymdrin â rheoli arian gan gynnwys cyflogau, trethi, a chostau dyddiol. Mae'n defnyddio canrannau i gyfrifo pethau fel treth, gostyngiadau, TAW, a chyfnewid arian. Mae cyllidebu yn ymwneud â chydbwyso'ch arian, ac mae prisio unedau yn helpu i ddod o hyd i'r gwerth gorau wrth siopa.

    Hunanwirio

    Mae crys yn costio £40 cyn gostyngiad o 15%. Beth yw'r pris terfynol?

    Dangos yr ateb

    Gostyngiad = 0.15 * 40 = £6. Pris terfynol = 40 - 6 = £34.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.8.3 foundation. Tudalennau PDF 20: deall y gwahaniaeth rhwng llog syml ac adlog a gallu gwneud cyfrifiadau gyda'r ddau, gan ddefnyddio dulliau cyfrifo effeithlon a gan gynnwys defnyddio lluosyddion

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae llog syml yn cael ei gyfrifo ar y swm prifddalon gwreiddiol yn unig. Mae'r llog a enillir bob cyfnod yn gyson. Y fformiwla yw Llog = Prifddalon * Cyfradd * Amser. Er enghraifft, os ydych chi'n buddsoddi £1,000 ar log syml o 5% y flwyddyn am 3 blynedd, y llog yw 1000 * 0.05 * 3 = £150. Cyfanswm gwerth = £1,150. Nid yw llog syml yn cyfansawddu, sy'n golygu nad yw eich llog yn ennill llog pellach.
    • Mae llog cyfansawdd yn cael ei gyfrifo ar y prifddalon ynghyd ag unrhyw log a gronnwyd o gyfnodau blaenorol. Cynrychiolir hyn gan y fformiwla Cyfanswm = Prifddalon * (1 + Cyfradd)^Amser. Ar gyfer buddsoddiad o £1,000 ar log cyfansawdd o 5% am 3 blynedd, cyfrifwch 1000 * (1.05)^3 = 1000 * 1.157625 = £1,157.63. Mae llog cyfansawdd yn arwain at enillion uwch dros amser oherwydd bod y swm sylfaenol yn tyfu bob cyfnod.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo llog syml ar £2,000 ar 4% am 5 mlynedd: Cam 1, nodi gwerthoedd: P=2000, R=0.04, T=5. Cam 2, lluosi: 2000 * 0.04 * 5 = 400. Y llog yw £400. Cyfanswm = 2000 + 400 = £2,400.
    • I gyfrifo llog cyfansawdd ar £2,000 ar 4% am 5 mlynedd: Cam 1, defnyddiwch y lluosydd (1 + 0.04) = 1.04. Cam 2, cymhwyso'r esbonydd: 1.04^5 = 1.2166529. Cam 3, lluosi â'r prifddalon: 2000 * 1.2166529 = 2433.3058. Wedi'i dalgrynnu, mae hyn yn £2,433.31. Sylwch ar y gwahaniaeth: mae llog cyfansawdd yn darparu £33.31 yn fwy na llog syml.

    Mewn iaith syml

    Mae llog syml yn seiliedig ar y swm gwreiddiol yn unig. Mae llog cyfansawdd yn seiliedig ar y swm gwreiddiol ynghyd ag unrhyw log sydd eisoes wedi'i ennill. Mae llog cyfansawdd yn tyfu'n gyflymach oherwydd eich bod yn ennill llog ar eich llog.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch log cyfansawdd ar gyfer £500 ar 3% am 2 flynedd.

    Dangos yr ateb

    500 * (1.03)^2 = 500 * 1.0609 = £530.45.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.8.4 higher. Tudalennau PDF 20: cyflawni cyfrifiadau sy'n cynnwys cyfraddau lluosog

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae senarios ariannol cymhleth yn aml yn gofyn am gymhwyso cyfraddau lluosog yn ddilyniannol neu ar draws gwahanol segmentau. Mae enghreifftiau'n cynnwys bandiau treth raddol neu strwythurau prisio haenog. Er enghraifft, os yw system dreth yn cymhwyso 0% i'r £10,000 cyntaf, 20% i'r £30,000 nesaf, a 40% uwchlaw hynny, rhaid i chi rannu'r incwm yn ddarnau a chymhwyso'r gyfradd benodol i bob darn ar wahân cyn adio'r cyfansymiau.
    • Wrth drin cyfraddau lluosog, mae manwl gywirdeb yn hanfodol. Nodi'r trothwy ar gyfer pob cyfradd. Cyfrifwch y swm trethadwy ym mhob band, cymhwyswch y ganran benodol, a sicrhewch fod y cyfanswm yn gyflawn. Mae'r dull hwn yn sicrhau bod dilyniant y cyfraddau yn cael ei fapio'n gywir yn erbyn y gwerth gwirioneddol sy'n cael ei asesu, gan osgoi gwallau sy'n gysylltiedig â chymhwyso un gyfradd gyfartalog ar draws yr holl segmentau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Senario: Ennill £50,000. Cyfraddau treth: £0-10k (0%), £10k-40k (20%), Dros £40k (40%). Rhannwch yr incwm: Y £10,000 cyntaf * 0 = £0. Y £30,000 nesaf (o 10k i 40k) * 0.20 = £6,000. Y £10,000 sy'n weddill (o 40k i 50k) * 0.40 = £4,000. Cyfanswm y dreth = 0 + 6000 + 4000 = £10,000.
    • Enghraifft arall: Defnydd cyfleustodau haenog. 100 uned gyntaf am £0.20, 200 uned nesaf am £0.15. Defnydd = 250 uned. Rhannu: (100 * 0.20) + (150 * 0.15) = 20 + 22.50 = £42.50. Sicrhewch fod y rhesymeg yn dal i bob segment yn annibynnol cyn adio.

    Mewn iaith syml

    Mae rhai cyfrifiadau yn defnyddio cyfraddau gwahanol ar gyfer symiau gwahanol. Ar gyfer biliau treth neu gyfleustodau, rydych chi'n rhannu cyfanswm y swm yn ddarnau, yn cyfrifo'r gost ar gyfer pob darn gan ddefnyddio ei gyfradd benodol, ac yn adio'r costau hynny at ei gilydd.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch dreth ar incwm o £25,000. Cyfraddau: 0% ar y £10,000 cyntaf, 20% ar y gweddill.

    Dangos yr ateb

    (10,000 * 0) + (15,000 * 0.20) = 0 + 3,000 = £3,000.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.8.5 higher. Tudalennau PDF 20: cyfrifo, defnyddio a chymhwyso Cyfradd Gyfwerth Flynyddol ( AER ) wrth gymharu cynhyrchion ariannol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae AER yn fesur safonol a ddefnyddir i gymharu cyfraddau llog gwahanol gyfrifon cynilion neu fenthyciadau. Oherwydd y gall llog gael ei gyfansawddu dros gyfnodau gwahanol (e.e., misol, chwarterol, neu flynyddol), mae'r gyfradd enwol yn aml yn camarwain. Mae AER yn safoni hyn drwy gyfrifo'r enillion blynyddol gwirioneddol ar fuddsoddiad neu gost benthyciad, gan gyfrif am effaith cyfansawddu trwy gydol un flwyddyn.
    • I ddefnyddio AER ar gyfer cymharu cynhyrchion, sicrhewch fod yr holl gynhyrchion yn cael eu trosi i gyfatebol flynyddol. Ar gyfer cyfrif sy'n talu llog r% wedi'i gyfansawddu n gwaith y flwyddyn, cyfrifir AER gan ddefnyddio'r fformiwla: AER = (1 + (r/n))^n - 1. Mae'r gwerth hwn yn cynrychioli'r enillion canrannol effeithiol dros un flwyddyn lawn, gan ganiatáu cymhariaeth uniongyrchol rhwng dau gynnyrch ariannol gwahanol waeth beth fo'u hamlder o gymhwyso llog.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cymharwch Gyfrif A (5% llog blynyddol) â Chyfrif B (4.9% wedi'i gyfansawddu'n fisol). Cam 1: Ar gyfer A, AER = 5%. Cam 2: Ar gyfer B, r=0.049, n=12. AER = (1 + (0.049/12))^12 - 1. Cam 3: (1 + 0.0040833)^12 - 1 = 1.05011 - 1 = 0.05011 neu 5.011%. Casgliad: Mae Cyfrif B yn well.
    • Defnyddiwch y ffurf ddegol o'r gyfradd ganrannol yn y fformiwla bob amser. Trosi n yn seiliedig ar amlder: misol=12, chwarterol=4, dyddiol=365. Ar ôl cyfrifo, trosi'n ôl i ganran drwy luosi â 100.

    Mewn iaith syml

    Mae AER yn helpu i gymharu cynhyrchion ariannol drwy ddangos beth fyddai'r gyfradd llog pe bai'n cael ei thalu unwaith y flwyddyn. Mae'n cyfrif am gyfansawddu, felly gallwch weld pa gyfrif sy'n talu mwy o log go iawn hyd yn oed os oes ganddynt amleddau cyfansawddu gwahanol.

    Hunanwirio

    Beth yw AER cyfrif gyda chyfradd flynyddol o 6% wedi'i gyfansawddu'n hanner-blynyddol (n=2)?

    Dangos yr ateb

    (1 + (0.06/2))^2 - 1 = (1.03)^2 - 1 = 1.0609 - 1 = 0.0609 neu 6.09%.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §1.8.6 higher. Tudalennau PDF 20: cyfrifo, defnyddio a chymhwyso Cyfradd Ganrannol Flynyddol ( APR ) wrth gymharu cynhyrchion ariannol, gan gynnwys morgeisi

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae APR yn fesur canran flynyddol safonedig o gost credyd, sy'n cynnwys llog a thaliadau gorfodol perthnasol. Defnyddiwch APR datganedig wrth gymharu cynigion benthyca, yn hytrach na chymharu eu cyfraddau llog penawdau yn unig. Mae amseru ad-dalu, tymor a thaliadau yn bwysig.
    • Nid yw ychwanegu canran ffi un-tro at gyfradd llog flynyddol yn ddull cyffredinol o gyfrifo APR rheoleiddiedig, yn enwedig ar fenthyciad neu forgais sy'n cael ei ad-dalu. Gall cyfrifiad cost blwyddyn gyntaf syml ddangos pam mae ffioedd yn bwysig, ond rhaid ei labelu gyda'i ragdybiaethau a pheidio â chael ei gyflwyno fel yr APR gwirioneddol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae dau fenthyciad y gellir eu cymharu fel arall yn hysbysebu APRs o 8.9% a 10.2%. Mae gan y cyntaf y gost flynyddol safonedig is o gredyd. Gwiriwch fod y symiau, y telerau a'r trefniadau ad-dalu yn gymaradwy, a darllenwch unrhyw amodau yn hytrach na chymryd yn ganiataol bod cyfradd ragarweiniol is yn gost gyfanswm is.
    • Mewn model blwyddyn-syml, mae £10000 yn parhau i fod yn ddyledus am y flwyddyn gyfan, mae llog yn 4% o'r swm hwnnw, ac mae ffi ychwanegol o £200 yn daladwy. Llog = £400 a chyfanswm y taliadau blwyddyn gyntaf datganedig = £600. Taliadau/prif swm gwreiddiol = 6%, ond nid yw hyn yn awtomatig yn APR rheoleiddiedig. Os oes gan ail gynnig 3% llog a dim ffi o dan yr un model, mae ei daliadau blwyddyn gyntaf yn £300, felly mae'n costio £300 yn llai yn y model penodol hwnnw.

    Mewn iaith syml

    Mae APR yn helpu i gymharu cyfanswm cost benthyca. Peidiwch â drysu cyfrifiad ffi syml â dyfynbris APR gwirioneddol.

    Hunanwirio

    Mewn model benthyciad blwyddyn-syml, mae £5000 yn parhau i fod yn ddyledus drwyddo, mae llog yn 5% o'r swm hwnnw ac mae ffi ychwanegol o £100 yn cael ei godi. Beth yw taliadau'r flwyddyn gyntaf? A yw hynny yn unig yn pennu'r APR rheoleiddiedig?

    Dangos yr ateb

    Llog = £5000×0.05 = £250; taliadau = £250+£100 = £350. Na: mae cyfrifiad APR rheoleiddiedig hefyd yn dibynnu ar y trefniadau amseru ac ad-dalu, felly peidiwch â labelu £350/£5000 = 7% fel yr APR gwirioneddol heb y rhagdybiaethau hynny.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.9.1 foundation. Tudalennau PDF 20: bod degolion cylchol yn ffracsiynau union, a bod rhai ffracsiynau union yn ddegolion cylchol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae degolion yn gylchol os oes patrwm o ddigidau yn ailadrodd yn ddiddiwedd, fel 0.333... sydd yn y ffracsiwn 1/3. Mae pob rhif rhesymegol, y gellir ei fynegi fel cymhareb o ddau gyfanrif p/q, yn ymddangos fel degolyn terfynol neu ddegolyn cylchol mewn sylfaen 10.
    • I'r gwrthwyneb, gellir mynegi unrhyw ddegolyn cylchol fel ffracsiwn. Os cymerwn 0.444..., gallwn adael x = 0.444.... Yna 10x = 4.444.... Mae tynnu'r hafaliad gwreiddiol (x = 0.444...) o 10x yn rhoi 9x = 4.0, sy'n arwain at x = 4/9. Mae hyn yn profi bod y degolion hyn yn werthoedd ffracsiynol union.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I drosi degolyn cylchol fel 0.7272... i ffracsiwn, gosodwch x = 0.7272.... Lluoswch â 100 oherwydd bod dau ddigid yn ailadrodd, gan roi 100x = 72.7272.... Mae tynnu x yn gadael 99x = 72. Rhannwch â 99 i gael x = 72/99. Symleiddiwch trwy rannu'r rhifiadur a'r enwadur â 9, gan arwain at 8/11.
    • Gwiriwch y canlyniad trwy berfformio rhaniad hir: 8 wedi ei rannu â 11. Mae 11 i mewn i 80 yn mynd 7 gwaith gyda gweddill 3; mae 11 i mewn i 30 yn mynd 2 waith gyda gweddill 8. Mae'r cylch 72 yn ailadrodd. Mae hyn yn cadarnhau bod 8/11 yn hafal i 0.7272.... Sicrhewch bob amser bod y lluosydd yn cyfateb i hyd y cylch ailadroddus i ynysu'r rhan sy'n ailadrodd yn berffaith.

    Mewn iaith syml

    Mae degolion cylchol yn ffordd arall o ysgrifennu ffracsiynau lle nad yw'r rhaniad byth yn gorffen. Gallwch eu troi'n ôl yn ffracsiynau gan ddefnyddio algebra trwy luosi â 10 neu 100 i symud y degolion ac yna tynnu'r gwerth gwreiddiol.

    Hunanwirio

    Trosi 0.1818... i'w ffurf ffracsiynol symlaf.

    Dangos yr ateb

    Gadewch i x = 0.1818.... Yna 100x = 18.1818.... Mae 100x minws x yn hafal i 99x = 18. x = 18/99. Mae rhannu'r ddau â 9 yn rhoi 2/11.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.9.2 higher. Tudalennau PDF 21: trawsnewid degolion cylchol i ffurf ffracsiynol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae trosi degolion cylchol i ffracsiynau yn golygu adnabod y rhan sy'n ailadrodd a defnyddio triniaeth algebraidd i ddileu'r rhan ddegol. Mae'r broses hon yn dibynnu ar y ffaith bod lluosi â phwer o 10 yn symud y pwynt degol, gan ganiatáu diddymu wrth dynnu'r rhif gwreiddiol.
    • Er enghraifft, yn 0.515151..., y cylch yw 51. Gadewch i x = 0.515151.... Mae lluosi â 100 yn rhoi 100x = 51.515151.... Trwy dynnu'r x gwreiddiol o 100x, rydym yn ynysu 99x = 51. Mae'r trawsnewidiad hwn yn profi bod pob degolyn cylchol pur yn rifau rhesymegol y gellir eu cynrychioli fel ffracsiynau union.
    • Pan nad yw'r rhan gylchol yn dechrau ar unwaith, fel 0.1666..., rhaid inni ddefnyddio lluosydd gwahanol. Gadewch i x = 0.1666.... Yna 10x = 1.666... a 100x = 16.666.... Mae tynnu 10x o 100x yn rhoi 90x = 15, felly x = 15/90, sy'n symleiddio i 1/6.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Trosi 0.2333... i ffracsiwn. Gadewch i x = 0.2333.... Lluoswch â 10 i symud y rhan nad yw'n ailadrodd: 10x = 2.333.... Lluoswch â 100 i symud un digid sy'n ailadrodd: 100x = 23.333.... Nawr, tynnwch: 100x - 10x = (23.333...) - (2.333...). Mae hyn yn rhoi 90x = 21. Felly, x = 21/90. Mae symleiddio â 3 yn rhoi 7/30.
    • Gwiriwch y gwaith trwy wirio'r rhaniad 7 wedi ei rannu â 30. Mae 30 i mewn i 70 yn 2 gyda gweddill 10; mae 30 i mewn i 100 yn 3 gyda gweddill 10; mae'r patrwm 3 yn ailadrodd. Mae'r ffracsiwn 7/30 yn union. Chwiliwch bob amser am y bloc ailadrodd lleiaf i symleiddio'r algebra yn effeithlon.

    Mewn iaith syml

    Os yw degolyn yn ailadrodd patrwm, gellir ei ysgrifennu fel ffracsiwn. Trwy luosi'r degolyn â phwerau o 10, gallwch alinio'r rhannau sy'n ailadrodd a'u tynnu i ddarganfod y gwerth ffracsiynol cudd.

    Hunanwirio

    Trosi 0.41666... i ffracsiwn.

    Dangos yr ateb

    Gadewch i x = 0.41666.... 10x = 4.1666.... 100x = 41.666.... Tynnwch 10x o 100x: 90x = 37.5. Gan fod angen ffracsiwn cyfanrif, lluoswch â 10 i gael 900x = 375. x = 375/900 = 5/12.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.9.3 higher. Tudalennau PDF 21: gwahaniaethu rhwng rhifau cymarebol ac anghymarebol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae rhifau rhesymegol yn rifau y gellir eu hysgrifennu fel ffracsiwn p/q lle mae p a q yn gyfanrifau ac nid yw q yn sero. Mae hyn yn cynnwys pob degolyn terfynol fel 0.75 (3/4) a degolion cylchol fel 0.333... (1/3).
    • Ni ellir mynegi rhifau anrhesymegol fel ffracsiynau syml. Mae eu hehangiadau degol yn ddiddiwedd ac nid ydynt byth yn ailadrodd. Mae enghreifftiau cyfarwydd yn cynnwys pi ac ail israddau rhifau nad ydynt yn sgwariau, fel isradd 2. Mae gwahaniaethu rhyngddynt yn gofyn am wirio a yw'r patrwm degol yn ailadrodd neu'n terfynu.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Dosbarthwch 0.121212... fel rhesymegol neu anrhesymegol. Gan fod y bloc 12 yn ailadrodd yn ddiddiwedd, mae hwn yn ddegolyn cylchol. Yn seiliedig ar reolau algebra, gallwn ei fynegi fel ffracsiwn (12/99), felly mae'n rhesymegol. Ysgrifennwch y dosbarthiad yn glir a'i gyfiawnhau trwy ddangos y trawsnewidiad ffracsiwn.
    • Dosbarthwch werth isradd 5. Mae ail isradd unrhyw gyfanrif nad yw'n sgwâr yn anrhesymegol. Nid yw ei ehangiad degol (tua 2.2360679...) yn terfynu nac yn ailadrodd. Felly, ni ellir ei ysgrifennu fel ffracsiwn. Labelwch y categorïau ar gyfer setiau data fel {0.5, 0.333..., isradd 7, 1/4} ac eglurwch bob dewis.

    Mewn iaith syml

    Mae rhifau rhesymegol yn rifau y gellir eu troi'n ffracsiwn. Mae rhifau anrhesymegol yn rifau fel pi neu isradd 2 sydd â degolion diddiwedd, heb ailadrodd ac na ellir eu hysgrifennu fel ffracsiwn syml.

    Hunanwirio

    A yw 0.875 yn rhesymegol neu'n anrhesymegol?

    Dangos yr ateb

    Mae'n rhesymegol oherwydd ei fod yn terfynu, felly gellir ei ysgrifennu fel 875/1000, sy'n symleiddio i 7/8.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §1.9.4 higher; Unit 3 §1.9.4 higher. Tudalennau PDF 21: trin a symleiddio mynegiadau rhifiadol sy'n cynnwys syrdiau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Surdiau yw ail israddau rhifau nad ydynt yn sgwariau. I symleiddio surd fel isradd 20, darganfyddwch y ffactor sgwâr mwyaf. Gan fod 20 = 4 * 5 ac ail isradd 4 yw 2, mae isradd 20 yn symleiddio i 2 * isradd 5.
    • Wrth adio neu dynnu surdiau, maent yn ymddwyn fel newidynnau algebraidd. Dim ond termau gyda'r un rhan surd y gallwch eu cyfuno. Er enghraifft, mae 3 * isradd 2 + 5 * isradd 2 yn hafal i 8 * isradd 2. Fodd bynnag, ni ellir symleiddio 3 * isradd 2 + 5 * isradd 3 ymhellach gan fod y rhannau surd yn wahanol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Symleiddio isradd 72. Nodwch ffactorau sgwâr: 72 = 36 * 2. Ailysgrifennwch fel sqrt(36 * 2) = sqrt(36) * sqrt(2) = 6 * isradd 2. Dyma'r ffurf symlaf oherwydd nad oes gan 2 unrhyw ffactorau sgwâr heblaw 1.
    • Perfformiwch yr ymadrodd 2 * isradd 18 + 5 * isradd 8. Symleiddiwch bob un: 2 * (3 * isradd 2) + 5 * (2 * isradd 2). Cyfrifwch y cynhyrchion: 6 * isradd 2 + 10 * isradd 2. Swmiwch y canlyniadau: 16 * isradd 2. Symleiddiwch y surdiau unigol yn gyntaf cyn cyfuno termau tebyg i sicrhau cywirdeb.

    Mewn iaith syml

    Mae surdiau yn israddau nad ydynt yn arwain at rif cyfan. Rydych yn eu symleiddio trwy dynnu unrhyw rifau sgwâr sydd wedi eu cuddio y tu mewn i'r isradd a chyfuno termau tebyg yn union fel y byddech chi ag algebra.

    Hunanwirio

    Symleiddio 3 * isradd 27 + 2 * isradd 12.

    Dangos yr ateb

    3 * (3 * isradd 3) + 2 * (2 * isradd 3) = 9 * isradd 3 + 4 * isradd 3 = 13 * isradd 3.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §1.9.5 higher. Tudalennau PDF 21: trin a symleiddio mynegiannau rhifiadol mwy cymhleth sy'n cynnwys syrdiau, gan gynnwys lluosi mynegiadau sy'n cynnwys syrdiau a symleiddio ffracsiynau sy'n cynnwys syrdiau drwy rannu ffactorau cyffredin

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae trin surdiau mwy cymhleth yn golygu lluosi ymadroddion sy'n cynnwys sawl term, yn debyg i ehangu binomion (a + b)(c + d). Er enghraifft, mae (1 + isradd 2)(3 - isradd 2) yn ehangu i 1*3 - 1*isradd 2 + 3*isradd 2 - isradd 2*isradd 2.
    • Mae symleiddio ffracsiynau sy'n cynnwys surdiau yn aml yn gofyn am rannu â ffactorau cyffredin. Os rhoddir ymadrodd fel (4 + 2 * isradd 3) / 2, rhannwch bob term â'r ffactor cyffredin 2 i gael 2 + isradd 3. Mae'r dechneg rhannu hon yn symleiddio ymadroddion yn sylweddol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ehangu (2 + isradd 5)(3 - isradd 5). Lluoswch termau: 2*3 - 2*isradd 5 + 3*isradd 5 - isradd 5*isradd 5. Cyfunwch: 6 + isradd 5 - 5. Canlyniad: 1 + isradd 5. Dangoswch bob cam o'r ehangiad i sicrhau bod arwyddion yn cael eu trin yn gywir wrth luosi.
    • Symleiddio (6 + 9 * isradd 2) / 3. Rhannwch bob term â 3: (6/3) + (9 * isradd 2 / 3) = 2 + 3 * isradd 2. Defnyddiwch y dull hwn ar gyfer unrhyw ymadrodd surd arddull polynomial lle mae'r holl gyfernodau yn rhannadwy â chyfanrif cyffredin.

    Mewn iaith syml

    Gallwch luosi a rhannu ymadroddion surd cymhleth yn union fel y gwnewch â bracedi algebraidd. Defnyddiwch y dull ehangu i luosi bracedi a rhannu pob rhan â'r enwadur i symleiddio ffracsiynau.

    Hunanwirio

    Ehangu a symleiddio (2 + isradd 3)(2 - isradd 3).

    Dangos yr ateb

    4 - 2*isradd 3 + 2*isradd 3 - 3 = 1.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §1.9.6 higher; Unit 3 §1.9.6 higher. Tudalennau PDF 21: defnyddio pi mewn cyfrifiadau union

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae defnyddio pi mewn cyfrifiadau union yn golygu cadw'r symbol yn hytrach na rhoi 3.14 neu frasamcan cyfrifiannell yn ei le. Mae hyn yn cynnal cywirdeb mathemategol. Ar gyfer cylch gyda radiws r = 5 cm, y cylchedd yw 2 * pi * r = 10 * pi cm, a'r arwynebedd yw pi * r^2 = 25 * pi cm^2.
    • Mae gwerthoedd union yn hanfodol mewn geometreg er mwyn osgoi gwallau talgrynnu sy'n lluosi trwy gamau dilynol. Er enghraifft, mae gan sffêr gyda radiws r = 3 m arwynebedd o 4 * pi * r^2. Mae rhoi r = 3 yn rhoi 4 * pi * 9 = 36 * pi m^2. Trwy gadw pi, mae'r canlyniad yn union yn hytrach na bod yn amcangyfrif.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo arwynebedd sector gyda radiws 6 cm ac ongl 60 gradd, defnyddiwch y fformiwla (theta / 360) * pi * r^2. Cyfrifiad: (60 / 360) * pi * 6^2 = (1/6) * pi * 36. Lluoswch: 1/6 * 36 = 6. Y canlyniad yw 6 * pi cm^2. Peidiwch â throsi i ddegolyn oni bai bod hynny'n ofynnol yn benodol.
    • Wrth ddatrys problemau sy'n cynnwys siapiau cyfansawdd, cadwch y symbol pi trwyddo draw. Os oes gennych silindr gyda radiws 2 m ac uchder 10 m, y cyfaint yw pi * r^2 * h = pi * 2^2 * 10 = 40 * pi m^3. Sicrhewch fod yr holl unedau hyd wedi eu sgwario neu eu ciwbio yn briodol, gan fod cywirdeb pi yn cael ei gadw ochr yn ochr â dimensiynau'r uned.

    Mewn iaith syml

    Mae cyfrifiadau union gyda pi yn golygu gadael y symbol pi yn eich ateb yn hytrach na defnyddio degolyn hir. Mae hyn yn fwy cywir ar gyfer problemau geometreg sy'n cynnwys cylchoedd, sffêr, neu silindrau.

    Hunanwirio

    Darganfyddwch gylchedd union cylch gyda diamedr o 14 cm.

    Dangos yr ateb

    Cylchedd = pi * d. Gan fod d = 14 cm, y cylchedd yw 14 * pi cm.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §1.9.7 higher; Unit 3 §1.9.7 higher. Tudalennau PDF 21: defnyddio syrdiau mewn cyfrifiadau union

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyfrifiadau union gyda surdiau yn golygu perfformio gweithrediadau rhifyddeg wrth gynnal y ffurf surd. Mae hyn yn sicrhau na chollir cywirdeb i ddegolion. Er enghraifft, os oes gan sgwâr hyd ochr o isradd 7 m, mae'r arwynebedd yn (isradd 7)^2 = 7 m^2.
    • Wrth bennu perimedrau petryalau gydag ochrau isradd 3 cm ac isradd 12 cm, cadwch y surdiau'n union. Y perimedr yw 2 * (isradd 3 + isradd 12). Gan fod isradd 12 = 2 * isradd 3, y perimedr yw 2 * (isradd 3 + 2 * isradd 3) = 2 * (3 * isradd 3) = 6 * isradd 3 cm.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch arwynebedd petryal gydag ochrau 5 cm ac isradd 8 cm. Arwynebedd = 5 * isradd 8. Symleiddiwch isradd 8 i 2 * isradd 2. Arwynebedd = 5 * 2 * isradd 2 = 10 * isradd 2 cm^2. Cadwch yr ateb yn y ffurf hon er mwyn bod yn union.
    • Cyfrifwch gyfaint prism petryal gydag ochrau isradd 2 m, isradd 3 m, ac isradd 6 m. Cyfaint = isradd 2 * isradd 3 * isradd 6 = isradd (2 * 3 * 6) = isradd 36 = 6 m^3. Mae gweithio gyda surdiau yn aml yn datgelu canlyniadau cyfanrif union trwy luosi.

    Mewn iaith syml

    Mae cyfrifiadau union gyda surdiau yn cadw'r israddau yn yr ateb. Mae hyn yn fwy cywir na degolion ar gyfer cyfrifiadau sy'n cynnwys arwynebedd neu gyfaint ag ail israddau.

    Hunanwirio

    Darganfyddwch arwynebedd sgwâr gyda hyd ochr 3 * isradd 5 cm.

    Dangos yr ateb

    Arwynebedd = (3 * isradd 5)^2 = 9 * 5 = 45 cm^2.

Grŵp testun

Algebra

48 pwyntiau adolygu
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §2.1.1 foundation; Unit 2 §2.1.1 foundation; Unit 3 §2.1.1 foundation. Tudalennau PDF 22: deall confensiynau sylfaenol algebra

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae nodiant algebraidd yn defnyddio llythrennau a elwir yn newidynnau i gynrychioli gwerthoedd anhysbys neu newidiol. Yn yr ymadrodd 5x, y 5 yw'r cyfernod a x yw'r newidyn. Wrth luosi newidynnau, rydym yn eu hysgrifennu ochr yn ochr heb arwyddion lluosi, felly mae x wedi'i luosi gan y yn cael ei ysgrifennu fel xy. Mae'r confensiwn hwn yn tynnu'r amwysedd rhwng y llythyren x a'r arwydd lluosi.
    • Mae gweithrediadau mathemategol yn dilyn trefn debyg i rifyddeg. Mae pwerau yn cael eu hysgrifennu fel uwchysgrifau, fel x wedi'i sgwario (x^2), ac mae rhannu yn aml yn cael ei gynrychioli gan ddefnyddio barrau ffracsiwn, fel a/b. Pan fo cyfernodau yn 1, maent fel arfer yn cael eu hepgor; er enghraifft, mae 1x yn cael ei ysgrifennu fel x yn unig. Yn yr un modd, mae indecsau o 1 yn cael eu hepgor, felly mae x^1 yn cael ei ysgrifennu fel x.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Er mwyn symleiddio ymadroddion, cymhwyswch y confensiwn trefn ac hepgor. Ar gyfer yr ymadrodd 3 wedi'i luosi gan a, ac yna b, ysgrifennwch ef fel 3ab. Ar gyfer a wedi'i luosi gan a wedi'i luosi gan a, defnyddiwch y nodiant esbonydd i ysgrifennu a^3. Os oes gennych 4 gwaith x wedi'i rannu â 2, symleiddiwch y cyfernodau: mae 4/2 yn hafal i 2, sy'n arwain at 2x.
    • Wrth drosi geiriau i algebra, cyfieithwch weithrediadau yn ofalus. Mae'r ymadrodd tri mwy na x yn cael ei ysgrifennu fel x + 3. Mae'r ymadrodd dwbl swm x ac y yn cael ei ysgrifennu fel 2(x + y). Sicrhewch bob amser bod newidynnau yn cael eu grwpio'n gywir gan ddefnyddio cromfachau pan fydd adio neu dynnu yn digwydd cyn lluosi.

    Mewn iaith syml

    Iaith fer ar gyfer mathemateg yw algebra. Drwy ddilyn rheolau penodol ar gyfer ysgrifennu llythrennau a rhifau gyda'i gilydd, gallwn gynrychioli problemau cymhleth yn syml.

    Hunanwirio

    Ysgrifennwch yr ymadrodd algebraidd ar gyfer 5 wedi'i luosi gan y, wedi'i rannu â 10, yna ychwanegwch z.

    Dangos yr ateb

    y/2 + z. Gweithio: (5 * y) / 10 = 5y/10 = y/2; mae ychwanegu z yn rhoi y/2 + z.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §2.1.2 foundation; Unit 2 §2.1.2 foundation; Unit 3 §2.1.2 foundation. Tudalennau PDF 22: amnewid rhifau cyfan, ffracsiynau a degolion positif a negatif mewn fformiwlâu a mynegiadau syml wedi'u hysgrifennu mewn geiriau neu symbolau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae amnewid yn golygu disodli newidynnau mewn ymadrodd â gwerthoedd rhifiadol penodol. Os rhoddir fformiwla i chi, fel A = lb (Arwynebedd yn hafal i hyd wedi'i luosi â lled), a'ch bod wedi cael l = 5 a b = 3, rydych yn disodli'r llythrennau â'r rhifau hyn. Defnyddiwch gromfachau bob amser wrth amnewid rhifau negyddol i sicrhau bod yr arwyddion yn cael eu trin yn gywir wrth luosi.
    • Gall ymadroddion gynnwys ffracsiynau a degolion. Ar gyfer fformiwla fel P = 2(l + w), os yw l = 2.5 a w = 1.2, rydych yn gyntaf yn perfformio'r adio o fewn y cromfachau: 2.5 + 1.2 = 3.7. Yna lluoswch â'r cyfernod: 2 * 3.7 = 7.4. Mae manwl gywirdeb yn hanfodol wrth weithio gyda'r mathau hyn o rifau i sicrhau bod y canlyniad terfynol yn gywir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I amnewid yn gywir, ysgrifennwch y fformiwla yn glir a disodli pob llythyren â'i gwerth a neilltuwyd. Ar gyfer ymadrodd fel 3x + y lle mae x = -2 a y = 4, cyfrifwch: 3 * (-2) = -6, yna ychwanegwch 4. Y canlyniad yw -2. Dangoswch y cam amnewid bob amser cyn perfformio'r rifyddeg er mwyn osgoi gwallau.
    • Wrth weithio gyda mewnbynnau ffracsiynol, triniwch nhw fel rhifau rheolaidd. Ar gyfer yr ymadrodd 2a + b lle mae a = 1/2 a b = 1/4, cyfrifwch 2 * (1/2) = 1. Yna ychwanegwch 1/4 i gael 1.25 neu 5/4. Sicrhewch fod yr unedau yn gyson os yw'r newidynnau yn cynrychioli meintiau ffisegol mewn fformiwla benodol.

    Mewn iaith syml

    Mae amnewid yn golygu cyfnewid llythyren am rif hysbys. Ar ôl cyfnewid, rydych chi'n perfformio'r swm gan ddefnyddio'r rhif hwnnw yn lle'r llythyren.

    Hunanwirio

    Gwerthuswch 4x - 2y wedi'i roi x = 3 a y = -1.

    Dangos yr ateb

    14. Gweithio: 4(3) - 2(-1) = 12 - (-2) = 12 + 2 = 14.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §2.1.3 foundation; Unit 2 §2.1.3 foundation; Unit 3 §2.1.3 foundation. Tudalennau PDF 22: adnabod diffiniadau'r termau hafaliad, mynegiad a fformiwla a gallu gwahaniaethu rhyngddynt

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ymadrodd yn gasgliad o dermau a gweithredwyr heb arwydd hafal, fel 3x + 2. Mae'n cynrychioli gwerth a all newid yn seiliedig ar y newidyn. Mae hafaliad yn cynnwys arwydd hafal ac yn nodi bod dau ymadrodd yn gyfwerth, fel 3x + 2 = 11, sy'n ein galluogi i ddod o hyd i werth x.
    • Mae fformiwla yn disgrifio perthynas rhwng dau neu ragor o feintiau, sy'n cynrychioli cysyniad byd go iawn fel Arwynebedd = hyd * lled. Yn wahanol i hafaliad a allai gael un ateb penodol, mae fformiwla yn gweithredu fel rheol gyffredinol lle mae newidynnau yn cael eu disodli i gyfrifo canlyniad ar gyfer mewnbynnau gwahanol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I nodi'r rhain, edrychwch am bresenoldeb arwydd hafal a phwrpas y datganiad. Os gwelwch '3a - 5', mae'n ymadrodd oherwydd nad oes ganddo arwydd hafal. Os gwelwch 'y = 3a - 5', mae'n fformiwla oherwydd ei fod yn diffinio un maint o ran eraill. Os gwelwch '3a - 5 = 10', mae'n hafaliad oherwydd ei fod yn gofyn am werth penodol o a.
    • Ymarferwch eu gwahaniaethu trwy ysgrifennu eich enghreifftiau eich hun. Creuwch ymadrodd gan ddefnyddio newidynnau (e.e., 2b + 7), trawsnewidiwch ef yn hafaliad trwy ychwanegu canlyniad (e.e., 2b + 7 = 15), a'i fynegi fel fformiwla (e.e., V = 2b + 7). Mae'r ymarfer hwn yn atgyfnerthu'r gwahaniaethau strwythurol a phwrpas rhesymegol pob ffurf fathemategol.

    Mewn iaith syml

    Mae ymadroddion fel ymadroddion heb gasgliad. Mae hafaliadau yn gwestiynau sy'n chwilio am ateb penodol. Mae fformiwlâu yn rheolau sy'n dangos sut mae pethau yn berthnasol.

    Hunanwirio

    Nodwch a yw 5 = 2x + 1 yn ymadrodd, hafaliad, neu fformiwla.

    Dangos yr ateb

    Hafaliad. Mae'n cynnwys arwydd hafal ac yn ymwneud ag ateb penodol ar gyfer x.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §2.1.4 higher; Unit 3 §2.1.4 higher. Tudalennau PDF 22: adnabod diffiniad y term unfathiant a gallu gwahaniaethu rhwng unfathiannau, hafaliadau, mynegiadau a fformiwlâu

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hunaniaeth yn ddatganiad mathemategol sy'n wir ar gyfer pob gwerth posibl o'r newidynnau dan sylw. Fe'i dynodir gan y symbol bar triphlyg (≡). Er enghraifft, mae 2(x + 3) ≡ 2x + 6 yn hunaniaeth oherwydd, waeth a yw x yn 1, 10, neu -5, bydd y ddwy ochr bob amser yn rhoi'r un canlyniad. Mae ehangu neu symleiddio termau yn dangos y gyfwerthder.
    • Yn wahanol i hafaliad, sy'n wir yn unig ar gyfer gwerthoedd penodol o newidyn, mae hunaniaeth yn wir yn gyffredinol. Yn 2x + 5 = 11, mae'r datganiad yn wir dim ond os yw x = 3. Yn 2(x + 1) ≡ 2x + 2, mae'r datganiad yn wir ar gyfer unrhyw werth o x. Mae cydnabod y gwahaniaeth hwn yn helpu i symleiddio profion algebraidd cymhleth a phenderfynu a yw ymadroddion yn union yr un fath.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I brofi am hunaniaeth, amnewidiwch werthoedd gwahanol i ddwy ochr yr ymadrodd. Er enghraifft, profwch x(x + 1) ≡ x^2 + x. Os yw x = 2, yna 2(2 + 1) = 6 a 2^2 + 2 = 6. Os yw x = -3, yna -3(-3 + 1) = 6 a (-3)^2 + (-3) = 9 - 3 = 6. Gan eu bod yn cyd-fynd ar gyfer y ddau, mae'n debygol o fod yn hunaniaeth.
    • Wrth symleiddio, perfformiwch driniaethau algebraidd i weld a ellir trawsnewid yr ochr chwith i'r ochr dde. Er enghraifft, i brofi bod x^2 + 2x + 1 ≡ (x + 1)^2, ehangwch yr ochr dde: (x + 1)(x + 1) = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1. Gan fod y ddwy ochr bellach yn union yr un fath, mae'r datganiad yn hunaniaeth.

    Mewn iaith syml

    Mae hunaniaeth yn wir ar gyfer unrhyw rif a ddewiswch. Mae hafaliad yn wir dim ond ar gyfer rhai rhifau penodol.

    Hunanwirio

    A yw 3(x - 2) ≡ 3x - 6 yn hunaniaeth neu'n hafaliad? Pam?

    Dangos yr ateb

    Hunaniaeth. Mae'n wir ar gyfer unrhyw werth o x oherwydd bod ehangu 3(x - 2) yn arwain at 3x - 6.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §2.1.5 foundation; Unit 2 §2.1.5 foundation; Unit 3 §2.1.5 foundation. Tudalennau PDF 23: llunio a symleiddio mynegiadau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ffurfio ymadroddion yn gofyn am drosi testun disgrifiadol i symbolau. Os oes gennych rif x, mae adio pump yn dod yn x + 5. Os cymerwch rif y a'i luosi â 3 yna tynnu 2, mae'n dod yn 3y - 2. Diffiniwch eich newidynnau yn glir bob amser os na chânt eu darparu, gan ddefnyddio llythrennau fel x, y, neu n.
    • Mae symleiddio ymadroddion yn cynnwys grwpio termau sydd â'r un newidynnau a phwerau gyda'i gilydd. Mewn ymadrodd fel 4x + 3y + 2x + y, rydych yn nodi'r termau 'tebyg' (termau â x a thermau â y). Mae adio 4x a 2x yn arwain at 6x, ac mae adio 3y ac y yn arwain at 4y, gan roi cyfanswm syml o 6x + 4y.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ffurfio ymadrodd, nodwch y newidynnau a'r gweithrediadau. Ar gyfer y broblem 'swm a a b wedi'i luosi â 4', rydych yn ysgrifennu 4(a + b). Os yw'r broblem yn 'cynnyrch a a b', rydych yn ysgrifennu ab. Rhowch rifau o flaen newidynnau bob amser a defnyddiwch drefn wyddorol ar gyfer newidynnau lluosog lle bo hynny'n berthnasol.
    • I symleiddio, sganiwch yr ymadrodd am fathau cyffredin o newidynnau. Ar gyfer 5a + 2b - a + 3b: grwpiwch y termau a (5a - a = 4a) a'r termau b (2b + 3b = 5b). Y ffurf syml derfynol yw 4a + 5b. Sicrhewch fod yr holl arwyddion (plws neu finws) yn aros ynghlwm wrth y term sy'n dilyn hwy.

    Mewn iaith syml

    Mae creu ymadroddion yn golygu troi problemau geiriau yn iaith fathemateg. Mae symleiddio yn golygu gwneud yr ymadroddion hynny mor fyr a thaclus â phosibl.

    Hunanwirio

    Ffurfiwch a symleiddiwch yr ymadrodd: Mae rhif n yn cael ei luosi â 2, yna ei ychwanegu at ganlyniad 3 wedi'i luosi â n.

    Dangos yr ateb

    5n. Gweithio: (n * 2) + (3 * n) = 2n + 3n = 5n.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §2.1.6 foundation; Unit 2 §2.1.6 foundation; Unit 3 §2.1.6 foundation. Tudalennau PDF 23: casglu termau tebyg

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae casglu termau tebyg yn broses o symleiddio ymadrodd algebraidd trwy grwpio termau sydd â newidynnau a phwerau union yr un fath. Er enghraifft, yn 3x^2 + 5x + 2x^2 + x, mae'r termau 3x^2 a 2x^2 yn 'debyg' oherwydd bod y ddau yn cynnwys y newidyn x wedi'i sgwario, tra bod 5x ac x yn dermau tebyg oherwydd bod y ddau yn cynnwys y newidyn x.
    • Wrth gasglu, triniwch yr arwydd o flaen y term fel rhan o'r term bob amser. Yn yr ymadrodd 5a - 3b + 2a + 4b, mae'r arwydd tynnu yn perthyn i'r 3b. Pan fyddwch yn symud termau, rhaid iddynt gario eu harwyddion gyda hwy. Mae hyn yn sicrhau bod y canlyniad yn parhau i fod yn fathemategol gywir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gasglu termau tebyg, ail-drefnwch yr ymadrodd i osod termau tebyg nesaf at ei gilydd. Wedi rhoi 7y + 3x - 2y + 5x, ail-drefnwch ef i (3x + 5x) + (7y - 2y). Nawr perfformiwch y rifyddeg: 8x + 5y. Sicrhewch nad ydych yn cymysgu pwerau gwahanol; er enghraifft, ni ellir cyfuno x ac x^2.
    • Gwiriwch am gyfernodau cudd. Os gwelwch ymadrodd fel 3a + b - 2a + 4b, cofiwch fod 'b' yr un fath â '1b'. Felly, y cyfrifiad ar gyfer y termau b yw 1b + 4b = 5b. Y cyfrifiad ar gyfer y termau a yw 3a - 2a = 1a, sydd ond yn cael ei ysgrifennu fel a. Ateb terfynol: a + 5b.

    Mewn iaith syml

    Mae termau tebyg yn eitemau sy'n cyfateb. Rydych chi'n eu grwpio gyda'i gilydd i gyfrif faint sydd gennych o bob un, yn union fel cyfrif afalau ac orennau ar wahân.

    Hunanwirio

    Symleiddiwch: 6p + 4q - 2p + q.

    Dangos yr ateb

    4p + 5q. Gweithio: (6p - 2p) + (4q + q) = 4p + 5q.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §2.1.7 foundation; Unit 2 §2.1.7 foundation; Unit 3 §2.1.7 foundation. Tudalennau PDF 23: ehangu mynegiadau – un set o gromfachau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ehangu cromfachau sengl yn golygu lluosi'r term y tu allan i'r gromfach â phob term y tu mewn i'r gromfach. Ar gyfer ymadrodd fel 3(x + 5), rhaid lluosi'r 3 ag x a hefyd â 5. Y canlyniad yw 3x + 15. Mae'r broses hon yn defnyddio'r gyfraith ddosbarthol, lle mae lluosi yn cael ei ddosbarthu dros adio.
    • Wrth ddelio â newidynnau ac arwyddion negyddol, mae angen gofal. Ar gyfer -2(x - 4), rydych chi'n lluosi -2 ag x i gael -2x, a -2 â -4 i gael +8. Y canlyniad yw -2x + 8. Mae arwyddion yn newid yn ôl rheolau lluosi safonol: mae dau negydd yn gwneud positif, tra bod negydd a phositif yn arwain at negydd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ehangu, tynnwch saethau i nodi'r lluosi o'r term y tu allan i bob term y tu mewn. Ar gyfer 4(2a - 3b), lluoswch 4 â 2a (gan roi 8a) a 4 â -3b (gan roi -12b). Yr ymadrodd estynedig terfynol yw 8a - 12b. Sicrhewch bob amser bod yr holl dermau y tu mewn i'r gromfach yn cael eu cynnwys yn y broses.
    • Delio ag ehangiadau aml-derm yn ofalus. Ar gyfer 2(a + b + 3), dosbarthwch y 2 i'r holl dri therm: 2 * a = 2a, 2 * b = 2b, a 2 * 3 = 6. Cyfunwch y rhain yn 2a + 2b + 6. Os yw newidynnau yn rhannu cyfernodau, symleiddiwch y canlyniad ymhellach trwy gasglu termau os oes angen.

    Mewn iaith syml

    Mae ehangu cromfach fel rhannu anrheg. Rhaid lluosi popeth y tu mewn i'r gromfach â'r rhif sy'n aros y tu allan.

    Hunanwirio

    Ehangu 5(2x - 3).

    Dangos yr ateb

    10x - 15. Gweithio: 5 * 2x = 10x; 5 * -3 = -15.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §2.1.8 foundation; Unit 3 §2.1.8 foundation. Tudalennau PDF 23: lluosi a rhannu termau drwy gymhwyso rheolau indecsau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I luosi termau gyda'r un sail, rydych yn adio'r esbonyddion. Er enghraifft, mae x^3 wedi'i luosi â x^4 yn hafal i x^(3+4), sef x^7. Mae'r rheol hon yn berthnasol oherwydd bod x^3 yn x*x*x a x^4 yn x*x*x*x, sy'n cyfateb i saith achos o x.
    • I rannu termau gyda'r un sail, rydych yn tynnu'r esbonyddion oddi wrth ei gilydd. Er enghraifft, mae x^9 wedi'i rannu â x^3 yn hafal i x^(9-3), sef x^6. Mae hyn oherwydd bod naw ffactor o x yn y rhifiadur yn canslo allan tri ffactor yn yr enwadur, gan adael chwe ffactor ar ôl.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo 5y^2 * 4y^3, yn gyntaf lluoswch y cyfernodau 5 * 4 = 20, yna cymhwyswch y rheol adio ar gyfer mynegai i'r termau y, gan arwain at y^(2+3) = y^5. Y mynegiad terfynol yw 20y^5.
    • I symleiddio 12a^7 / 3a^2, rhannwch y cyfernodau rhifol 12 / 3 = 4, yna cymhwyswch y rheol tynnu ar gyfer y mynegai: a^(7-2) = a^5. Y term syml cyflawn yw 4a^5.

    Mewn iaith syml

    Wrth luosi newidynnau gyda sail unfath, adiwch eu pwerau. Wrth rannu, tynnwch bŵer y rhannydd oddi wrth bŵer y rhifyn.

    Hunanwirio

    Symleiddiwch 3b^4 * 2b^5 / 6b^2.

    Dangos yr ateb

    Mae 3 * 2 = 6, a b^(4+5) = b^9. Yna mae 6b^9 / 6b^2 = 1b^(9-2) = b^7.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §2.1.9 foundation; Unit 3 §2.1.9 foundation. Tudalennau PDF 23: symleiddio ffracsiynau algebraidd, gan gynnwys adio a thynnu ffracsiynau gyda thermau sy’n gysonion fel enwaduron

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae symleiddio ffracsiynau algebraidd yn gofyn am nodi ffactorau cyffredin rhwng y rhifiadur a'r enwadur. Trwy ddiddymu'r ffactorau hyn, caiff y mynegiad ei leihau i'w ffurf symlaf heb newid ei werth.
    • Wrth adio neu dynnu ffracsiynau algebraidd, mae'n angenrheidiol sefydlu enwadur cyffredin. Ar gyfer ffracsiynau fel a/x + b/x, mae'r swm yn syml (a+b)/x, gan dybio bod x yn derm cyson nad yw'n sero.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I symleiddio 15x / 5, rhannwch y rhifiadur 15x â'r cysonyn 5 i gael 3x. Ar gyfer (4x+8) / 2, ffactoriwch y rhifiadur i gael 2(2x+4) / 2, sy'n symleiddio i 2x+4.
    • I adio 2x/7 + 3x/7, cyfunwch y rhifiaduron gan fod yr enwaduron yn hafal, gan arwain at (2x+3x) / 7 = 5x/7. Ar gyfer tynnu, trinwch ef yn debyg: 5y/4 - y/4 = (5y-y) / 4 = 4y/4 = y.

    Mewn iaith syml

    Diddymwch ffactorau cyffredin rhwng brig a gwaelod ffracsiwn. I adio neu dynnu, gwnewch yn siŵr bod y rhifau ar y gwaelod yr un fath, yna adiwch neu tynnwch y rhifau ar y brig.

    Hunanwirio

    Symleiddiwch 9x/3 + 4x/2.

    Dangos yr ateb

    Mae 9x/3 = 3x. Mae 4x/2 = 2x. 3x + 2x = 5x.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §2.1.10 higher; Unit 3 §2.1.10 higher. Tudalennau PDF 23: symleiddio ffracsiynau algebraidd mwy cymhleth, gan gynnwys adio a thynnu ffracsiynau gyda mynegiadau llinol fel enwaduron

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ffracsiynau mwy cymhleth yn cynnwys mynegiadau llinol yn yr enwadur. I symleiddio, rydym yn aml yn ffactorio'r rhifiadur a'r enwadur er mwyn canslo termau llinol cyffredin. Er enghraifft, mae (x^2 + 5x + 6) / (x+2) yn symleiddio trwy ffactorio'r rhifiadur yn (x+2)(x+3), gan ganiatáu i (x+2) gael ei ganslo.
    • Ar gyfer adio neu dynnu, mae dod o hyd i luosrif cyffredin lleiaf (LCM) o enwaduron llinol yn hanfodol. Wrth adio 1/(x+1) + 2/(x-3), lluoswch y termau i gyrraedd enwadur cyffredin o (x+1)(x-3).

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I symleiddio (x^2 - 9) / (x-3), ffactoriwch x^2-9 i mewn i (x-3)(x+3). Felly, (x-3)(x+3) / (x-3) = x+3. Mae'r llawdriniaeth hon yn gofyn i x beidio â bod yn hafal i 3.
    • I gyfrifo 1/(x+2) + 1/(x+3), defnyddiwch yr enwadur cyffredin (x+2)(x+3). Mae'r rhifiadur yn dod yn 1*(x+3) + 1*(x+2), gan arwain at (x+3 + x+2) / (x+2)(x+3) = (2x+5) / (x^2+5x+6).

    Mewn iaith syml

    Ffactoriwch fynegiadau i ganslo termau. I gyfuno ffracsiynau cymhleth, defnyddiwch yr enwadur cyffredin a ffurfiwyd trwy luosi'r mynegiadau llinol gyda'i gilydd.

    Hunanwirio

    Symleiddiwch 1/(x+1) - 1/(x+2).

    Dangos yr ateb

    (1*(x+2) - 1*(x+1)) / ((x+1)(x+2)) = (x+2-x-1) / (x^2+3x+2) = 1 / (x^2+3x+2).

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §2.1.11 higher; Unit 3 §2.1.11 higher. Tudalennau PDF 23: ehangu dau fynegiad llinol mewn un neu ddau newidyn

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ehangu dau fynegiad llinol yn golygu lluosi pob term yn y gromfach gyntaf â phob term yn yr ail gromfach. Gan ddefnyddio'r dull FOIL (First, Outer, Inner, Last - Cyntaf, Allanol, Mewnol, Olaf), rydym yn sicrhau bod pob cydran yn cael ei gyfrif.
    • Wrth ddelio â dau newidyn, mae'r un rhesymeg yn berthnasol. Er enghraifft, mae (x + a)(y + b) yn ehangu i xy + xb + ay + ab. Caiff pob term ei ddosbarthu'n systematig i gynnal cyfanrwydd y mynegiad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ehangu (x+4)(x+5), cyfrifwch: Cyntaf (x*x = x^2), Allanol (x*5 = 5x), Mewnol (4*x = 4x), ac Olaf (4*5 = 20). Gan gyfuno termau tebyg, x^2 + (5x+4x) + 20 = x^2 + 9x + 20.
    • I ehangu (x+2)(y+3), lluoswch fel a ganlyn: x*y = xy, x*3 = 3x, 2*y = 2y, a 2*3 = 6. Y ffurf estynedig yw xy + 3x + 2y + 6. Ni ellir cyfuno mwy o dermau yma gan eu bod yn wahanol.

    Mewn iaith syml

    Lluoswch bob rhan o'r gromfach gyntaf â phob rhan o'r ail. Adiwch y darnau i gael eich mynegiad terfynol.

    Hunanwirio

    Ehangu (x+3)(x-2).

    Dangos yr ateb

    x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §2.1.12 higher; Unit 3 §2.1.12 higher. Tudalennau PDF 23: ehangu dau fynegiad mewn un newidyn, lle mae'r naill yn llinol a'r llall yn gwadratig

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ehangu mynegiad llinol â mynegiad sgwâr yn dilyn y gyfraith ddosbarthol. Os oes gennych (ax + b)(cx^2 + dx + e), rhaid i chi luosi pob un o'r ddau derm yn y gromfach gyntaf â phob un o'r tri therm yn yr ail gromfach.
    • Mae hyn yn cynhyrchu chwe therm cychwynnol y mae'n rhaid eu symleiddio wedyn trwy gasglu pwerau tebyg o x. Mae'r ehangiad hwn yn sylfaenol ar gyfer trin algebra mwy datblygedig ac arithmeteg polynomaidd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ehangu (x+2)(x^2 + 3x + 4), dosbarthwch yr x: x(x^2 + 3x + 4) = x^3 + 3x^2 + 4x. Yna dosbarthwch y 2: 2(x^2 + 3x + 4) = 2x^2 + 6x + 8.
    • Nawr, adiwch y canlyniadau hyn: x^3 + (3x^2 + 2x^2) + (4x + 6x) + 8 = x^3 + 5x^2 + 10x + 8. Gwnewch yn siŵr bob amser fod pob pŵer o x yn cael ei gyfrif yn ystod y swm.

    Mewn iaith syml

    Lluoswch bob term yn y gromfach fach â phob term yn y gromfach fawr. Cyfunwch dermau sydd â'r un pwerau o x i orffen.

    Hunanwirio

    Ehangu (x+1)(x^2 + 2x + 3).

    Dangos yr ateb

    x(x^2 + 2x + 3) = x^3 + 2x^2 + 3x. 1(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 2x + 3. Swm: x^3 + 3x^2 + 5x + 3.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.1.13 foundation. Tudalennau PDF 23: ffactorio mynegiadau llinol neu gwadratig sydd ag o leiaf un ffactor cyffredin

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ffactorio yn wrthdro i ehangu. I ffactorio, nodwch y Ffactor Cyffredin Mwyaf (HCF) o bob term yn y mynegiad. Yna tynnir yr HCF y tu allan i'r gromfach, gan adael y cydrannau sy'n weddill y tu mewn.
    • Mae'r dull hwn yn berthnasol i fynegiadau llinol a sgwâr. Er enghraifft, yn 3x + 6, yr HCF yw 3, gan roi 3(x+2). Yn x^2 + 5x, yr HCF yw x, gan roi x(x+5). Gwiriwch bob amser a yw ffactorio pellach yn bosibl.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ffactorio 12y + 18, darganfyddwch yr HCF o 12 a 18, sef 6. Rhannwch y ddau derm â 6 i gael 2y + 3. Ysgrifennwch hyn fel 6(2y+3).
    • I ffactorio 4x^2 + 8x, nodwch yr HCF o 4x^2 ac 8x, sef 4x. Mae rhannu pob term yn arwain at x + 2. Y canlyniad yw 4x(x+2).

    Mewn iaith syml

    Dewch o hyd i'r rhif neu'r newidyn mwyaf sy'n rhannu'n gyfartal i bob rhan o'r mynegiad. Tynnwch ef allan a rhowch y gweddill y tu mewn i gromfachau.

    Hunanwirio

    Ffactorio 10x^2 - 15x.

    Dangos yr ateb

    Yr HCF yw 5x. 5x(2x - 3).

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.1.14 higher. Tudalennau PDF 23: ffactorio mynegiadau mwy cymhleth drwy echdynnu ffactorau cyffredin

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ffactorio mwy cymhleth yn cynnwys tynnu ffactorau cyffredin o fynegiadau a allai gynnwys newidynnau lluosog neu dermau gradd uwch. Mae'r broses yn parhau i fod yn nodi'r ffactor cyffredin mwyaf, ond mae angen sylw gofalus i gyfernodau a newidynnau sy'n bresennol ym mhob term.
    • Weithiau mae'n rhaid i chi echdynnu term sy'n cynnwys rhif a newidyn. Mae hyn yn hollbwysig ar gyfer symleiddio mynegiadau mewn algebra lefel uwch a pharatoi ar gyfer datrys hafaliadau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ffactorio 6x^2y + 9xy^2, nodwch yr HCF o 6 a 9 (sef 3) a'r HCF o x^2y ac xy^2 (sef xy). Yr HCF cyfun yw 3xy.
    • Rhannwch 6x^2y â 3xy i gael 2x. Rhannwch 9xy^2 â 3xy i gael 3y. Y ffurf wedi'i ffactorio yw 3xy(2x + 3y).

    Mewn iaith syml

    Nodwch y rhif cyffredin mwyaf a phŵer isaf pob newidyn a rennir ar draws pob rhan. Rhannwch bopeth â'r ffactor hwn a chadwch y gweddill mewn cromfachau.

    Hunanwirio

    Ffactorio 16a^2b + 8ab^2.

    Dangos yr ateb

    Yr HCF yw 8ab. 8ab(2a + b).

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.1.15 higher. Tudalennau PDF 24: ffactorio mynegiadau cwadratig yn y ffurf x 2 + ax + b a ax 2 + bx + c, gan gynnwys gwahaniaeth dau sgwâr

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I ffactorio x² + ax + b, dewch o hyd i ddau rif y mae eu cynnyrch yn b a'u swm yn a. Ar gyfer x² + 7x + 10, y rhifau yw 5 a 2, felly x² + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2). Ehangwch i wirio: x² + 2x + 5x + 10.
    • Ar gyfer quadratic an-monig, holltwch y term canol gan ddefnyddio ffactorau cynnyrch y cyfernod blaenllaw a'r cysonyn. Ar gyfer 2x² + 7x + 3, 2 × 3 = 6 a 6 + 1 = 7. Yna 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3) = (2x + 1)(x + 3). Mae gwahaniaeth sgwariau yn a² − b² = (a − b)(a + b).

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ffactoriwch 3x² + 10x + 8. Mae'r cynnyrch 3 × 8 yn 24; defnyddiwch 6 a 4, y mae eu swm yn 10. Yna 3x² + 6x + 4x + 8 = 3x(x + 2) + 4(x + 2) = (3x + 4)(x + 2). Mae ehangu yn rhoi 3x² + 6x + 4x + 8, gan gadarnhau'r canlyniad.
    • 25x² − 49 = (5x)² − 7² = (5x − 7)(5x + 7). Ar gyfer 4x² − 100, tynnwch y ffactor cyffredin yn gyntaf: 4(x² − 25) = 4(x − 5)(x + 5). Edrychwch bob amser am ffactor cyffredin cyn defnyddio'r hunaniaeth gwahaniaeth-o-sgwariau.

    Mewn iaith syml

    Mae ffactorio yn gwrthdroi ehangu. Cadwch y marciau sgwâr, dewiswch y ddau rif yn ofalus, ac ehangwch eich ateb i'w wirio.

    Hunanwirio

    Ffactoriwch 2x² + 5x + 3.

    Dangos yr ateb

    (2x + 3)(x + 1), oherwydd bod ehangu yn rhoi 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x² + 5x + 3.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.1.16 foundation. Tudalennau PDF 24: newid testun fformiwla pan fo’r testun yn ymddangos mewn un term

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I newid pwnc fformiwla, cyflawnwch weithrediadau gwrthdro ar y ddwy ochr i ynysu'r newidyn a ddymunir. Os yw'r pwnc yn ymddangos mewn un term, nodwch y gweithrediadau a gymhwysir i'r newidyn a'u gwrthdroi yn y drefn gywir. Er enghraifft, yn y fformiwla y = 3x + 5, rydym eisiau x fel y pwnc. Yn gyntaf, tynnwch 5 o'r ddwy ochr: y - 5 = 3x. Yna rhannwch â 3: (y - 5) / 3 = x. Mae'r drefn hon yn sicrhau bod cydbwysedd yr hafaliad yn cael ei gynnal ym mhob cam o'r broses drin algebraidd.
    • Ystyriwch y fformiwla A = πr^2. I wneud r yn bwnc, rhannwch â π i gael A / π = r^2. Yna cymerwch ail isradd y ddwy ochr, gan arwain at r = sqrt(A / π). Cymhwyswch y gweithrediad gwrthdro i'r ddwy ochr ar yr un pryd bob amser. Ar gyfer hafaliadau fel v = u + at, i ynysu t, tynnwch u o'r ddwy ochr: v - u = at. Nesaf, rhannwch y ddwy ochr â a, gan arwain at t = (v - u) / a. Mae defnyddio cromfachau yn hanfodol os yw'r rhifydd yn cynnwys termau lluosog sydd angen eu rhannu â newidyn sengl.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Newidiwch bwnc P = 2(l + w) i l. Cam 1: Rhannwch â 2 i gael P / 2 = l + w. Cam 2: Tynnwch w i gael P / 2 - w = l. Fel arall, ehangwch yn gyntaf: P = 2l + 2w. Tynnwch 2w: P - 2w = 2l. Rhannwch â 2: (P - 2w) / 2 = l. Mae'r ddau ddull yn cynhyrchu canlyniadau sy'n gyfwerth yn fathemategol. Defnyddiwch yr un sy'n fwy greddfol ar gyfer strwythur penodol y fformiwla a roddir.
    • Newidiwch bwnc F = ma i m. Cam 1: Mae'r hafaliad yn F = ma. Gan fod m yn cael ei luosi â a, rhannwch y ddwy ochr â a. Cam 2: F / a = m. Felly, m = F / a. Ar gyfer y fformiwla E = mc^2, newidiwch y pwnc i m. Cam 1: Rhannwch â c^2. Cam 2: E / c^2 = m. Mae'r newidyn m bellach yn bwnc y fformiwla. Sicrhewch fod yr holl dermau yn cael eu cyfrif yn ystod pob cam trawsnewid.

    Mewn iaith syml

    Mae newid y pwnc yn golygu ailysgrifennu fformiwla fel bod un llythyren ar ei phen ei hun ar un ochr i'r arwydd hafal. Defnyddiwch weithrediadau gwrthdro fel adio/tynnu neu luosi/rhannu i symud termau eraill i'r ochr arall nes mai dim ond eich llythyren ddewisol sy'n weddill.

    Hunanwirio

    Newidiwch bwnc v = u + at i a.

    Dangos yr ateb

    a = (v - u) / t. Gweithio: Tynnwch u: v - u = at. Rhannwch â t: (v - u) / t = a.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.1.17 higher. Tudalennau PDF 24: newid testun fformiwla pan fo’r testun yn ymddangos mewn mwy nag un term :

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Pan fydd y pwnc yn ymddangos mewn mwy nag un term, rhaid i chi gasglu'r holl dermau sy'n cynnwys y newidyn hwnnw ar un ochr i'r hafaliad. Ar gyfer y fformiwla y = mx + nx, ffactoriwch yr ochr dde: y = x(m + n). Yna, rhannwch â'r mynegiad yn y braced i ynysu x: x = y / (m + n). Mae'r dechneg hon yn hanfodol pan fydd y pwnc yn gaeth o fewn gwahanol rannau o fynegiad algebraidd. Sicrhewch bob amser bod pob term sy'n cynnwys y newidyn a ddymunir yn cael ei symud, tra bod termau hebddo yn cael eu symud i'r ochr arall.
    • Ystyriwch y fformiwla v = u + at. Os oes angen i ni wneud t yn bwnc, tynnwch u: v - u = at. Yna rhannwch â a: t = (v - u) / a. Os yw'r fformiwla yn fwy cymhleth, fel y = (ax + b) / (cx + d), cliriwch y ffracsiwn yn gyntaf. Lluoswch â (cx + d): y(cx + d) = ax + b. Ehangwch y braced: ycx + yd = ax + b. Grwpiwch dermau x: ycx - ax = b - yd. Ffactoriwch x: x(yc - a) = b - yd. Yn olaf, rhannwch: x = (b - yd) / (yc - a). Mae hyn yn cwmpasu ail-drefnu fformiwla resymegol safonol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ail-drefnwch y = ax + b i wneud x yn bwnc. Cam 1: y - b = ax. Cam 2: Rhannwch â a i ynysu x, gan roi x = (y - b) / a. Ar gyfer y fformiwla y = xz + xk, gwnewch x yn bwnc. Cam 1: Sylwch fod x yn gyffredin i'r ddau derm. Ffactoriwch: y = x(z + k). Cam 2: Rhannwch y ddwy ochr â (z + k). Canlyniad: x = y / (z + k). Mae'r dull hwn yn gweithio ar gyfer unrhyw strwythur algebraidd llinellol lle gellir echdynnu ffactorau cyffredin.
    • Ail-drefnwch T = (x + 3) / (x - 2) i wneud x yn bwnc. Cam 1: Lluoswch â (x - 2): T(x - 2) = x + 3. Cam 2: Ehangwch: Tx - 2T = x + 3. Cam 3: Casglwch dermau x: Tx - x = 3 + 2T. Cam 4: Ffactoriwch x: x(T - 1) = 3 + 2T. Cam 5: Rhannwch: x = (3 + 2T) / (T - 1). Gwirio: Os T = 4, x = (3 + 8) / (4 - 1) = 11 / 3. Profi yn y fformiwla wreiddiol: (11/3 + 3) / (11/3 - 2) = (20/3) / (5/3) = 4. Mae'r canlyniad wedi'i wirio.

    Mewn iaith syml

    Os yw'r llythyren rydych chi ei heisiau mewn mwy nag un lle, ewch â'r holl dermau hynny i un ochr i'r arwydd hafal. Defnyddiwch ffactorio i droi sawl achos yn un cynnyrch, yna rhannwch i gael y llythyren ar ei phen ei hun.

    Hunanwirio

    Ail-drefnwch y = ax + bx + c i wneud x yn bwnc.

    Dangos yr ateb

    x = (y - c) / (a + b). Gweithio: Tynnwch c: y - c = ax + bx. Ffactoriwch x: y - c = x(a + b). Rhannwch â (a + b): x = (y - c) / (a + b).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §2.2.1 foundation; Unit 2 §2.2.1 foundation; Unit 3 §2.2.1 foundation. Tudalennau PDF 24: llunio, trin a datrys hafaliadau llinol a syml eraill gyda chyfernodau rhifau cyfan a ffracsiynol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hafaliadau llinol yn cynnwys termau gyda newidynnau wedi eu codi i bwer o un. Y nod yw ynysu y newidyn anhysbys, megis x, trwy berfformio gweithrediadau gwrthdro ar ddwy ochr yr arwydd hafaliad. Pan fydd hafaliadau yn cynnwys cyfernodau ffracsiynol, megis (1/4)x = 5, rydym yn lluosi'r ddwy ochr â'r enwadur i glirio'r ffracsiwn, sy'n arwain at x = 20. Mae hyn yn cynnal cydraddoldeb oherwydd rhaid cymhwyso unrhyw weithrediad a ddefnyddir ar un ochr i'r ochr arall.
    • Ar gyfer hafaliadau gyda chamau lluosog, megis 3x + 4 = 19, rydym yn gyntaf yn dadwneud adio neu dynnu, ac yna yn dadwneud lluosi neu rannu. Mae tynnu 4 o'r ddwy ochr yn rhoi 3x = 15. Yna, mae rhannu â 3 yn rhoi x = 5. Mae'r egwyddorion hyn yn berthnasol i rifau cyfan a ffracsiynau. Mae trefn y gweithrediadau yn cael ei wrthdroi i gael gwared ar y cysonion a'r cyfernodau sydd ynghlwm wrth y newidyn nes bod y newidyn wedi'i ynysu.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddatrys 2x + 7 = 15, tynnwch 7 o'r ddwy ochr: 2x = 8. Yna, rhannwch â 2: x = 4. Ar gyfer cyfernodau ffracsiynol fel (2/3)x = 10, lluoswch â'r enwadur 3 i gael 2x = 30. Yna rhannwch â'r rhifiadur 2 i gael x = 15. Gwiriwch eich gwaith bob amser trwy amnewid y canlyniad yn ôl i'r hafaliad gwreiddiol i sicrhau bod yr ochr chwith yn hafal i'r ochr dde.
    • Ystyriwch hafaliad gyda ffracsiwn: (x/5) - 2 = 3. Yn gyntaf, adiwch 2 i'r ddwy ochr i gael (x/5) = 5. Nesaf, lluoswch y ddwy ochr â 5, gan arwain at x = 25. Ar gyfer dilysu, rhowch 25 yn ôl yn yr hafaliad gwreiddiol: (25/5) - 2 yn hafal i 5 - 2, sy'n 3. Mae hyn yn cadarnhau bod y datrysiad yn gywir. Ymarferwch y camau hyn gyda chyfernodau amrywiol i sicrhau rhuglder wrth gydbwyso hafaliadau.

    Mewn iaith syml

    Mae hafaliad fel graddfa gydbwyso; i ddod o hyd i'r rhif dirgel, perfformiwch yr un mathemateg ar y ddwy ochr nes bod y newidyn yn sefyll ar ei ben ei hun.

    Hunanwirio

    Datryswch ar gyfer x: (x/4) + 3 = 8.

    Dangos yr ateb

    Tynnwch 3 o'r ddwy ochr i gael x/4 = 5. Lluoswch â 4 i ddod o hyd i x = 20.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §2.2.2 higher; Unit 3 §2.2.2 higher. Tudalennau PDF 24: llunio, trin a datrys hafaliadau llinol mwy cymhleth, gan gynnwys hafaliadau gyda mwy nag un term ffracsiynol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hafaliadau llinol mwy cymhleth yn aml yn cynnwys nifer o dermau ffracsiynol, megis (x+3)/2 + (x-1)/4 = 5. I ddatrys y rhain, rhaid i chi ddod o hyd i enwadur cyffredin ar gyfer pob ffracsiwn dan sylw. Yn yr enghraifft hon, 4 yw'r enwadur cyffredin. Mae lluosi'r hafaliad cyfan â'r enwadur cyffredin yn dileu pob ffracsiwn, sy'n caniatáu i chi drin yr hafaliad fel hafaliad llinol safonol. Mae'r broses hon yn symleiddio'r mynegiad trwy drosi rhannau ffracsiynol yn gydrannau cyfanrif.
    • Pan fydd termau newidyn yn ymddangos yn y rhifiadur, gwnewch yn siŵr eich bod yn grwpio'r termau yn gywir gan ddefnyddio cromfachau cyn ehangu. Er enghraifft, yn (x+3)/2, mae'r (x+3) cyfan yn cael ei rannu â 2. Wrth luosi â'r enwadur cyffredin, mae'r 2 yn canslo allan gan adael 2(x+3). Mae cymhwyso hyn yn systematig yn osgoi camgymeriadau pan fydd cyfernodau yn cael eu dosbarthu ar draws y rhifiadur. Mae meistroli'r dechneg hon yn hanfodol ar gyfer datrys hafaliadau lle mae newidynnau wedi'u nythu o fewn strwythurau ffracsiynol cymhleth.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddatrys (x+3)/2 + (x-1)/3 = 4, lluoswch yr hafaliad cyfan â'r enwadur cyffredin 6. Mae hyn yn rhoi 3(x+3) + 2(x-1) = 24. Ehangwch y cromfachau: 3x + 9 + 2x - 2 = 24. Cyfunwch dermau tebyg: 5x + 7 = 24. Tynnwch 7 o'r ddwy ochr: 5x = 17. Rhannwch â 5 i ddod o hyd i x = 3.4. Gwiriwch bob amser trwy amnewid x = 3.4 yn y mynegiad ffracsiynol cychwynnol.
    • Ystyriwch yr hafaliad (2x+1)/5 - (x-2)/2 = 1. Lluoswch â'r enwadur cyffredin 10: 2(2x+1) - 5(x-2) = 10. Dosbarthwch y lluosyddion: 4x + 2 - 5x + 10 = 10. Symleiddiwch: -x + 12 = 10. Tynnwch 12: -x = -2, felly x = 2. Gwiriwch: (2(2)+1)/5 - (2-2)/2 = 5/5 - 0 = 1. Mae'r datrysiad yn dal. Defnyddiwch y camau trin algebraidd hyn yn gyson ar gyfer unrhyw hafaliad llinol sy'n cynnwys nifer o dermau ffracsiynol.

    Mewn iaith syml

    Cliriwch ffracsiynau cymhleth trwy luosi pob term â'r enwadur cyffredin, yna datryswch yr hafaliad symlach sy'n deillio o hynny gan ddefnyddio dulliau cydbwyso safonol.

    Hunanwirio

    Datryswch ar gyfer x: (x+1)/3 + (x-2)/4 = 2.

    Dangos yr ateb

    Lluoswch â 12: 4(x+1) + 3(x-2) = 24. Ehangu: 4x+4+3x-6=24. Symleiddio: 7x-2=24. Canlyniad: 7x=26, felly x = 26/7 neu tua 3.71.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.2.3 foundation. Tudalennau PDF 24: llunio, trin a datrys anhafaleddau llinol syml gyda chyfernodau rhif cyfan a ffracsiynol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae anhafaleddau llinol yn cynrychioli ystodau o werthoedd yn hytrach na phwynt unigol. Maent yn defnyddio symbolau fel < (llai na), > (mwy na), ≤ (llai na neu'n hafal i), a ≥ (mwy na neu'n hafal i). Mae'r rheolau ar gyfer trin anhafaleddau yn debyg i hafaliadau, gydag un eithriad hanfodol: os ydych chi'n lluosi neu'n rhannu â rhif negatif, rhaid i chi wrthdroi'r arwydd anhafaledd. Mae hyn yn sicrhau bod yr ystod o ddatrysiadau dilys yn aros yn gywir.
    • Wrth ddatrys, ynyswch y newidyn yn union fel y byddech mewn hafaliad. Er enghraifft, yn 3x - 5 < 10, adiwch 5 i'r ddwy ochr i gael 3x < 15, yna rhannwch â 3 i gael x < 5. Mae hyn yn dweud wrthym fod unrhyw rif llai na 5 yn ddatrysiad dilys. Ar gyfer anhafaleddau â chyfernodau ffracsiynol, dilynwch yr un broses glirio a ddefnyddir mewn hafaliadau llinol, tra'n aros yn wyliadwrus am y rheol gwrthdroi arwydd yn ystod lluosi neu rannu â rhifau negatif.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddatrys 4 - 2x ≥ 8, tynnwch 4 o'r ddwy ochr i gael -2x ≥ 4. Rhannwch y ddwy ochr â -2. Oherwydd ein bod wedi rhannu â rhif negatif, mae'r arwydd yn newid: x ≤ -2. Gwiriwch hyn trwy ddewis gwerth yn yr ystod, megis -3. Mae rhoi -3 yn yr hafaliad gwreiddiol: 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10, a 10 ≥ 8, sy'n wir. Dewiswch werth y tu allan, fel 0: 4 - 2(0) = 4, ac mae 4 ≥ 8 yn anwir. Mae'r ystod x ≤ -2 yn gywir.
    • Ar gyfer anhafaledd gyda ffracsiwn, megis (x/3) + 1 > 2, tynnwch 1 i gael (x/3) > 1. Lluoswch y ddwy ochr â 3 i gael x > 3. Gan ein bod wedi lluosi â rhif positif, nid yw'r arwydd anhafaledd yn troi. Profwch gyda x = 4: (4/3) + 1 = 1.33 + 1 = 2.33, sy'n fwy na 2. Mae hyn yn bodloni'r anhafaledd. Sicrhewch eich bod bob amser yn cymhwyso gweithrediadau gwrthdro yn gywir ac yn gwylio'r arwydd.

    Mewn iaith syml

    Mae anhafaleddau yn dangos ystod o rifau. Trinwch hwy fel hafaliadau, ond cofiwch droi arwydd y saeth pryd bynnag y byddwch yn lluosi neu'n rhannu â rhif negatif.

    Hunanwirio

    Datryswch ar gyfer x: 6 - 3x < 12.

    Dangos yr ateb

    Tynnwch 6 i gael -3x < 6. Rhannwch â -3 a throi'r arwydd: x > -2.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.2.4 higher. Tudalennau PDF 24: llunio, trin a datrys anhafaleddau llinol lle mae'r newidyn yn ymddangos ar ddwy ochr yr anhafaledd neu lle mae dau anhafaledd ar wahân yn cael eu hysgrifennu fel anhafaledd dwbl

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae anhafaleddau uwch yn cynnwys newidynnau yn ymddangos ar ddwy ochr yr arwydd anhafaledd neu anhafaleddau dwbl, megis 2 < 3x - 1 < 8. Ar gyfer newidynnau ar y ddwy ochr, megis 5x + 2 > 2x + 11, y dull yw casglu pob term newidyn ar un ochr a'r holl dermau cyson ar yr ochr arall. Mae tynnu 2x o'r ddwy ochr yn rhoi 3x + 2 > 11, sy'n symleiddio i 3x > 9, gan arwain at x > 3. Mae'r un rhesymeg o wrthdroi arwydd yn berthnasol os ydych yn rhannu â rhif negatif.
    • Mae anhafaleddau dwbl, wedi'u hysgrifennu fel a <= bx + c <= d, yn cynrychioli'r ystod o x sy'n bodloni'r ddau amod ar yr un pryd. I ddatrys, perfformiwch yr un weithrediad ar draws y tair rhan o'r anhafaledd. Ar gyfer 2 < 3x - 1 < 8, adiwch 1 i'r holl rannau: 3 < 3x < 9. Yna, rhannwch â 3: 1 < x < 3. Mae hyn yn nodi bod yn rhaid i x fod yn fwy na 1 ac yn llai na 3. Mae'r dechneg hon yn cadw ffiniau rhesymegol y datrysiad yn gyfan.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddatrys 7x - 4 ≥ 3x + 8, tynnwch 3x o'r ddwy ochr: 4x - 4 ≥ 8. Adiwch 4 i'r ddwy ochr: 4x ≥ 12. Rhannwch â 4: x ≥ 3. Dilyswch: Os x = 4, 7(4)-4 = 24 a 3(4)+8 = 20. Gan fod 24 ≥ 20, mae'r datrysiad x ≥ 3 yn gyson. Perfformiwch gamau ar ddwy ochr yr anhafaledd bob amser i gynnal cydbwysedd y mynegiad.
    • Datryswch yr anhafaledd dwbl: -5 ≤ 2x + 1 < 7. Tynnwch 1 o'r holl rannau: -6 ≤ 2x < 6. Rhannwch yr holl rannau â 2: -3 ≤ x < 3. Mae hyn yn golygu bod x yn yr ystod caeedig-agored [-3, 3). Ar gyfer dilysu, profwch x = 0: 2(0)+1 = 1, sy'n ffitio o fewn y ffin wreiddiol -5 ≤ 1 < 7. Mae'r rhesymeg yn aros yn gadarn pan gymhwysir gweithrediadau i'r holl gydrannau ar yr un pryd.

    Mewn iaith syml

    Ar gyfer anhafaleddau cymhleth, ynyswch y newidyn trwy ei grwpio ar un ochr neu perfformiwch weithrediadau ar bob rhan o anhafaledd dwbl i ddod o hyd i'r ystod.

    Hunanwirio

    Datryswch ar gyfer x: 3 < 2x + 5 < 11.

    Dangos yr ateb

    Tynnwch 5 o bob ochr: -2 < 2x < 6. Rhannwch â 2: -1 < x < 3.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.2.5 higher. Tudalennau PDF 25: llunio, trin a datrys, drwy ddefnyddio ffactorio, hafaliadau cwadratig yn y ffurf x 2 + bx + c = 0 neu ax 2 + bx + c = 0

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hafaliadau cwadratig yn cymryd y ffurf x² + bx + c = 0 neu ax² + bx + c = 0. Mae datrys trwy ffactorio yn golygu dod o hyd i ddau finomial (x + p)(x + q) = 0 fel bod eu lluoswm yn ehangu i'r cwadratig gwreiddiol. Mae hyn yn dibynnu ar yr eiddo bod os yw lluoswm dau ffactor yn sero, yna rhaid i o leiaf un ffactor fod yn sero. Rydym yn chwilio am ddau rif sy'n lluosi i c ac yn adio i b.
    • Ar gyfer hafaliadau lle nad yw'r cyfernod a yn 1, megis 2x² + 7x + 3 = 0, rydym yn hollti'r term canol. Mae angen dau rif sy'n lluosi i 2*3=6 ac yn adio i 7. Y rhain yw 6 ac 1. Rydym yn ailysgrifennu'r term canol: 2x² + 6x + 1x + 3 = 0. Ffactoriwch trwy grwpio: 2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0. Mae hyn yn rhoi (2x + 1)(x + 3) = 0. Mae datrys yn rhoi x = -0.5 ac x = -3.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddatrys x² + 5x + 6 = 0, dewch o hyd i ddau rif sy'n lluosi i 6 ac yn adio i 5. Y rhain yw 2 a 3. Ysgrifennwch fel (x + 2)(x + 3) = 0. Gosodwch bob cromfach i sero: x + 2 = 0 felly x = -2, neu x + 3 = 0 felly x = -3. Gwiriwch trwy roi -2 yn ôl: (-2)² + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. Mae hyn yn cadarnhau bod y gwreiddiau yn gywir.
    • Ystyriwch 2x² + 5x - 3 = 0. Lluoswch a ac c: 2 * -3 = -6. Dewch o hyd i ddau rif sy'n lluosi i -6 ac yn adio i 5. Y rhain yw 6 a -1. Ailysgrifennwch: 2x² + 6x - x - 3 = 0. Grwpio: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0. Ffactorau: (2x - 1)(x + 3) = 0. Datrysiadau: x = 0.5 ac x = -3. Dilyswch: 2(0.5)² + 5(0.5) - 3 = 2(0.25) + 2.5 - 3 = 0.5 + 2.5 - 3 = 0. Cywir.
    • Ar gyfer yr hafaliad monig x² + 5x + 6 = 0, ffactoriwch i (x+2)(x+3) = 0. Mae cynnyrch yn sero dim ond os yw o leiaf un ffactor yn sero, felly x = −2 neu x = −3. Amnewidiwch bob gwreiddyn i'r hafaliad gwreiddiol i wirio.

    Mewn iaith syml

    I ddatrys cwadratigau, torrwch yr hafaliad yn ddwy ran sy'n lluosi i sero. Os oes gan y term x-sgwâr rif, holltwch y term canol yn gyntaf.

    Hunanwirio

    Datryswch trwy ffactorio: x² + 7x + 10 = 0.

    Dangos yr ateb

    (x + 2)(x + 5) = 0. Felly x = -2 neu x = -5.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.2.6 higher. Tudalennau PDF 25: llunio, trin a datrys dau hafaliad cydamserol llinol gyda chyfernodau rhif cyfan drwy ddulliau algebraidd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hafaliadau cydamserol yn golygu dod o hyd i'r gwerthoedd cyffredin ar gyfer dau neu fwy o newidynnau sy'n bodloni hafaliadau lluosog ar unwaith. Ar gyfer dau hafaliad llinol gyda chyfernodau rhif cyfan, rydym yn defnyddio dulliau algebraidd fel amnewid neu ddileu. Mae dileu yn gweithio trwy luosi un neu'r ddau hafaliad â chysonyn fel bod cyfernodau un newidyn yn cyd-fynd o ran maint. Mae adio neu dynnu'r hafaliadau sy'n deillio o hynny wedyn yn dileu'r newidyn hwnnw, gan adael hafaliad gydag un anhysbys yn unig.
    • Er enghraifft, wedi'i roi 2x + 3y = 12 a x - y = 1. Gallwn luosi'r ail hafaliad â 3 i gael 3x - 3y = 3. Nawr, mae gennym hafaliadau gyda +3y a -3y. Mae adio'r rhain gyda'i gilydd yn canslo'r newidyn y, gan adael 5x = 15. Mae datrys ar gyfer x yn rhoi 3, yna amnewidiwch 3 yn ôl i unrhyw hafaliad gwreiddiol i ddod o hyd i y. Mae'r dull hwn yn darparu llwybr clir, rhesymegol i nodi pwynt croestoriad dwy linell mewn plân cyfesurynnol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Datryswch 3x + 2y = 16 a x - 2y = 0. Gan fod y cyfernodau y yn +2 a -2, adiwch yr hafaliadau yn uniongyrchol: 4x = 16, sy'n golygu x = 4. Amnewidiwch x = 4 i x - 2y = 0: 4 - 2y = 0, felly 2y = 4, a y = 2. Y datrysiad yw (4, 2). Gwiriwch: 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16. Cywir.
    • Ystyriwch 2x + y = 7 a 3x + 2y = 12. Lluoswch y cyntaf â 2: 4x + 2y = 14. Tynnwch yr ail hafaliad o hwn: (4x - 3x) + (2y - 2y) = 14 - 12. Mae hyn yn gadael x = 2. Amnewidiwch x = 2 i 2x + y = 7: 4 + y = 7, felly y = 3. Datrysiad (2, 3). Gwiriwch yn y gwreiddiol: 3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12. Dilyswyd.

    Mewn iaith syml

    I ddatrys hafaliadau cydamserol, gwnewch un set o gyfernodau yn cyfateb, yna adiwch neu tynnwch yr hafaliadau i gael gwared ar un newidyn a datrys y rhan sy'n weddill.

    Hunanwirio

    Datryswch 2x + y = 10 a x - y = 2.

    Dangos yr ateb

    Adiwch yr hafaliadau: 3x = 12, felly x = 4. Amnewidiwch: 4 - y = 2, felly y = 2. Datrysiad: (4, 2).

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §2.2.7 higher; Unit 3 §2.2.7 higher. Tudalennau PDF 25: datrys hafaliadau sy’n cynnwys ffracsiynau ag enwaduron llinol yn arwain at hafaliadau cwadratig neu linol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hafaliadau sy'n cynnwys ffracsiynau ag enwaduron llinol, megis 1/(x+1) + 2/(x-2) = 3, yn gofyn am drin algebraidd i ddatrys. Mae'r broses yn cynnwys nodi enwadur cyffredin i glirio'r ffracsiynau. Yma, (x+1)(x-2) yw'r enwadur cyffredin. Mae lluosi'r hafaliad cyfan â'r lluoswm hwn yn trosi'r mynegiad yn hafaliad cwadratig neu linol safonol. Mae'n hanfodol lluosi pob term yn iawn er mwyn osgoi ffactorau coll.
    • Ar ôl clirio ffracsiynau, ehangwch y termau sy'n deillio o hynny. Os yw ffurf cwadratig yn codi, megis ax² + bx + c = 0, datryswch gan ddefnyddio ffactorio neu'r fformiwla gwadratig. Gall yr hafaliadau hyn arwain at ddatrysiadau lluosog. Gwiriwch bob amser am werthoedd sy'n gwneud enwaduron yn sero, gan fod y rhain yn annilys yng nghyd-destun yr hafaliad gwreiddiol, megis x = -1 neu x = 2 yn yr enghraifft uchod. Mae ehangu systematig yn sicrhau na chaiff unrhyw dermau eu hanwybyddu yn ystod y trosi algebraidd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Datryswch 1/x + 1/(x+1) = 2. Enwadur cyffredin: x(x+1). Lluoswch trwodd: (x+1) + x = 2x(x+1). Symleiddiwch: 2x + 1 = 2x² + 2x. Tynnwch 2x o'r ddwy ochr: 1 = 2x². Datryswch: x² = 0.5, felly x = ±√(0.5) ≈ ±0.707. Perfformiwch y cam lluosi yn ofalus bob amser i glirio enwaduron.
    • Ystyriwch 2/(x-3) = 1/x. Lluoswch ag enwadur cyffredin x(x-3): 2x = 1(x-3). Mae hyn yn symleiddio i 2x = x - 3. Tynnwch x: x = -3. Dilyswch: 2/(-3-3) = 2/-6 = -1/3. Ac 1/(-3) = -1/3. Mae'r datrysiad x = -3 yn gywir. Ymarferwch y dull hwn i drosi hafaliadau ffracsiynol cymhleth yn ffurfiau llinol neu gwadratig y gellir eu rheoli.

    Mewn iaith syml

    Lluoswch yr hafaliad cyfan â'r enwadur cyffredin i gael gwared ar ffracsiynau, yna datryswch yr hafaliad safonol sy'n weddill wrth wirio am atebion amhosibl lle mae'r enwadur yn dod yn sero.

    Hunanwirio

    Datryswch ar gyfer x: 3/x = 1/(x-2).

    Dangos yr ateb

    Lluoswch â x(x-2): 3(x-2) = x. Ehangu: 3x - 6 = x. 2x = 6, felly x = 3.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §2.2.8 higher. Tudalennau PDF 25: llunio, trin a datrys, drwy ddefnyddio fformiwla, hafaliadau cwadratig yn y ffurf x 2 + bx + c = 0, neu ax 2 + bx + c = 0

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hafaliadau cwadratig yn cymryd y ffurf ax^2 + bx + c = 0. Y fformiwla cwadratig x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a yw dull cyffredinol ar gyfer canfod gwreiddiau'r hafaliadau hyn pan nad yw ffactorio yn syml. Gelwir y term b^2 - 4ac yn wahaniaethydd. Os yw'r gwahaniaethydd yn gadarnhaol, mae dau wreiddyn real gwahanol. Os yw'n hafal i sero, mae un gwreiddyn wedi'i ailadrodd. Os yw'n negyddol, nid oes gwreiddiau real. Deillir y fformiwla hon o gwblhau'r sgwâr.
    • Er enghraifft, ystyriwch yr hafaliad 2x^2 + 5x - 3 = 0. Yma, a = 2, b = 5, a c = -3. Yn gyntaf, cyfrifwch y gwahaniaethydd: (5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49. Oherwydd bod 49 yn rhif sgwâr positif, rydym yn disgwyl dau wreiddyn rhesymol. Amnewidiwch i'r fformiwla: x = (-5 ± sqrt(49)) / (2 * 2). Mae hyn yn rhoi x = (-5 + 7) / 4 = 0.5 a x = (-5 - 7) / 4 = -3. Mae'r gwreiddiau hyn yn datrys yr hafaliad yn berffaith.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddatrys hafaliadau fel x^2 - 6x + 8 = 0, nodwch y cyfernodau a = 1, b = -6, c = 8 yn gyntaf. Cyfrifwch y gwahaniaethydd: (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4. Defnyddiwch y fformiwla: x = (6 ± sqrt(4)) / 2. Mae hyn yn arwain at x = (6 + 2) / 2 = 4 a x = (6 - 2) / 2 = 2. Gwirio drwy amnewid x = 4: (4)^2 - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0.
    • Wrth drin y ffurf ax^2 + bx + c = 0 lle nad yw a yn hafal i 1, gwnewch yn siŵr eich bod yn cyfrif y cyfernod blaenllaw yn yr enwadur. Ar gyfer 3x^2 + 7x + 2 = 0, defnyddiwch a = 3, b = 7, c = 2. Y gwahaniaethydd yw 49 - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25. Y gwreiddiau yw x = (-7 ± 5) / 6. Mae hyn yn rhoi x = -2/6 = -1/3 a x = -12/6 = -2. Gwirio eich rhifyddeg bob amser gydag arwyddion negyddol wrth werthuso b^2 - 4ac.

    Mewn iaith syml

    Mae datrys hafaliadau cwadratig yn golygu dod o hyd i'r gwerthoedd x sy'n gwneud yr hafaliad yn hafal i sero gan ddefnyddio fformiwla safonol.

    Hunanwirio

    Datryswch 4x^2 - 12x + 5 = 0 gan ddefnyddio'r fformiwla cwadratig.

    Dangos yr ateb

    a=4, b=-12, c=5. Y gwahaniaethydd yw (-12)^2 - 4(4)(5) = 144 - 80 = 64. x = (12 ± 8) / 8. Yr atebion yw x = 2.5 a x = 0.5.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §2.2.9 foundation. Tudalennau PDF 25: datrys amrywiaeth o hafaliadau ciwbig drwy ddulliau cynnig a gwella, gan gyfiawnhau cywirdeb y datrysiad

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae treial a gwella yn ddull rhifiadol a ddefnyddir i ddod o hyd i atebion ar gyfer hafaliadau cymhleth fel x^3 + x - 10 = 0, lle nad yw dulliau algebraidd uniongyrchol ar gael neu yn anodd. Dechreuwch drwy nodi dau gyfanrif sy'n ffinio'r ateb. Drwy amnewid y rhain i'r hafaliad, rydych yn sylwi lle mae'r canlyniad yn newid o bositif i negyddol, sy'n nodi bod gwreiddyn yn bodoli rhwng y ddau gyfanrif hwnnw. Mae'r broses ailadroddus hon yn mireinio'r amcangyfrif yn systematig.
    • Er mwyn gwella cywirdeb, edrychwn ar ganolbwyntiau. Os yw profi x = 2 yn rhoi canlyniad o 2^3 + 2 - 10 = 0 (rhy fach) ac x = 3 yn rhoi 3^3 + 3 - 10 = 20 (rhy fawr), mae'r gwreiddyn rhwng 2 a 3. Rydym yn ceisio x = 2.1, 2.2, ac ati. Wrth i ni symud yn agosach, mae gwerth y ffwythiant yn agosáu at sero. Mae'r dull hwn yn gofyn am gadw cofnodion clir o bob cam a gymerwyd er mwyn sicrhau bod y gwerth degol terfynol wedi'i wirio.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Gadewch i ni ddatrys x^3 + 4x - 20 = 0. Ceisiwch gyfanrifau: mae x=2 yn rhoi 8+8-20 = -4. Mae x=3 yn rhoi 27+12-20 = 19. Mae'r gwreiddyn rhwng 2 a 3. Nawr ceisiwch ganolbwyntiau: ceisiwch x=2.3. (2.3)^3 + 4(2.3) - 20 = 12.167 + 9.2 - 20 = 1.367 (rhy uchel). Mae'r gwreiddyn rhwng 2.2 a 2.3. Ceisiwch x=2.25. (2.25)^3 + 4(2.25) - 20 = 11.39 + 9 - 20 = 0.39 (dal yn uchel). Parhewch i fireinio nes cyrraedd y manwl gywirdeb gofynnol.
    • Mae cyfiawnhau'r ateb yn golygu dangos y gwerthoedd ar gyfer x ychydig uwch ac ychydig islaw'r gwerth targed. Os yw 2.24 yn cynhyrchu canlyniad negyddol ac mae 2.25 yn cynhyrchu canlyniad positif, rydym yn dod i'r casgliad bod y gwreiddyn yn gorwedd yn y cyfwng hwn. Mae hyn yn cadarnhau bod yr ateb yn gywir i le degol penodol. Cadwch fformat tabl bob amser i ddogfennu treialon yn glir: Colofn A ar gyfer x, Colofn B ar gyfer x^3 + 4x - 20, a Cholofn C ar gyfer Statws (Isel/Uchel).
    • Ar gyfer x³+x = 10 gyda gwreiddyn positif, mae treialon yn rhoi x=1.8 → 7.632, x=1.85 → 8.182125, x=1.9 → 8.759, x=1.95 → 9.364875, x=2 → 10. Er mwyn setlo ar dalfyriad ar gyfer gwreiddyn nad yw'n union, profwch y pwynt canol rhwng gwerthoedd talfyredig cyfagos, nid dim ond eu pwyntiau terfyn, a chadwch arwydd pob cymhariaeth â'r targed.

    Mewn iaith syml

    Mae treial a gwella yn ddull cam wrth gam i ddod o hyd i atebion bras i hafaliadau drwy brofi rhifau.

    Hunanwirio

    Defnyddiwch dreial a gwella i ddod o hyd i wreiddyn x^3 + x = 7 i 1 lle degol.

    Dangos yr ateb

    Mae x=1 yn rhoi 2, x=2 yn rhoi 10. Mae'r gwreiddyn rhwng 1 a 2. Mae profi 1.8 yn rhoi 7.632 (uchel), 1.7 yn rhoi 6.613 (isel). Mae 1.75 yn rhoi 7.109 (uchel). Yr ateb yw 1.7.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §2.2.10 higher. Tudalennau PDF 25: llunio a defnyddio hafaliadau sy'n disgrifio cyfrannedd union a chyfrannedd gwrthdro

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyfranedd yn disgrifio'r berthynas rhwng dau newidyn. Mae cyfranedd union yn golygu, wrth i un newidyn gynyddu, mae'r llall yn cynyddu ar gyfradd gyson, wedi'i gynrychioli fel y = kx, lle mae k yn gysonyn cyfranedd. Er enghraifft, os yw y yn union gyfrannol ag x ac y=10 pan mae x=2, yna 10 = k(2), felly k=5. Yr hafaliad yw y = 5x. Gyda hyn, gallwn ragweld gwerthoedd: os x=4, yna y=5(4)=20.
    • Mae cyfranedd anunion yn golygu, wrth i un newidyn gynyddu, mae'r llall yn lleihau, wedi'i gynrychioli fel y = k/x. Yma, mae lluoswm y newidynnau yn aros yn gyson (xy = k). Er enghraifft, os yw y yn anunion gyfrannol ag x ac y=4 pan mae x=3, yna 4 = k/3, sy'n awgrymu k=12. Yr hafaliad yw y = 12/x. Os oes angen inni ddod o hyd i y pan mae x=6, rydym yn cyfrifo y = 12/6 = 2. Mae'r perthnasoedd hyn yn sylfaenol ar gyfer modelu ffenomenau ffisegol fel cyflymder, amser, a phellter.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I lunio hafaliadau, darllenwch y broblem i bennu'r math o amrywiad. Os yw maint 'y' yn union gyfrannol â sgwâr 'x', ysgrifennwch y = kx^2. O ystyried y cyfesurynnau (2, 20), amnewidiwch i ddod o hyd i k: 20 = k(2^2) = 4k, felly k=5. Y model gorffenedig yw y = 5x^2. Gan ddefnyddio hwn, cyfrifwch gyfesurynnau newydd; yn x=3, y = 5(3^2) = 45. Y pwynt yw (3, 45). Nodwch werth k yn glir bob amser fel rhan o'ch proses datrys.
    • Ar gyfer amrywiad sgwâr anunion, y = k/x^2. Os yw y=2 pan mae x=4, yna 2 = k/16, felly k=32. Yr hafaliad yw y = 32/x^2. Profwch ef drwy ddod o hyd i y yn x=8: y = 32/64 = 0.5. Mae'r cyfrifiadau hyn yn eich galluogi i fapio cromliniau ar graff. Gwnewch yn siŵr eich bod yn defnyddio unedau priodol os cânt eu darparu yn y data, fel metrau yr eiliad neu gilogramau, a chynnal dimensiynau cyson trwy gydol eich triniaethau algebraidd.

    Mewn iaith syml

    Mae cyfranedd yn dweud wrthym sut mae dau werth yn newid mewn perthynas â'i gilydd, naill ai drwy dyfu gyda'i gilydd neu un yn tyfu wrth i'r llall grebachu.

    Hunanwirio

    Os yw y yn anunion gyfrannol ag x, ac y=6 pan mae x=2, dewch o hyd i y pan mae x=4.

    Dangos yr ateb

    y = k/x. 6 = k/2, felly k=12. Yr hafaliad yw y = 12/x. Pan mae x=4, y = 12/4 = 3.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.3.1 foundation. Tudalennau PDF 26: adnabod, disgrifio a pharhau patrymau rhif

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dilyniant rhif yn set drefnus o rifau a ddiffinnir gan reol benodol. Mae adnabod y patrymau hyn yn golygu edrych ar y gwahaniaeth rhwng termau dilynol. Mewn dilyniannau rhifyddol, mae'r newid yn gyson; er enghraifft, yn y set 4, 7, 10, 13, y gwahaniaeth yw +3. Mae nodi'r gwahaniaeth cyson hwn yn eich galluogi i ragweld termau'r dyfodol trwy gymhwyso'r un gweithrediad i'r rhif hysbys olaf.
    • Gall patrymau fod yn geometrig neu'n lluosog, lle mae pob term yn cael ei gynhyrchu trwy luosi'r term blaenorol â rhif sefydlog. Er enghraifft, yn 2, 6, 18, 54, y rheol yw lluosi â 3. Mae deall a yw dilyniant yn tyfu trwy adio neu luosi yn hanfodol. Trwy arsylwi ar y bylchau, rydych yn diffinio'r rhesymeg twf sy'n gweithredu fel y sylfaen ar gyfer pob dadansoddiad dilyniant, boed y dilyniant yn llinol neu'n anllinol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I barhau â dilyniant fel 5, 11, 17, 23, cyfrifwch y gwahaniaeth rhwng termau yn gyntaf: 11 - 5 = 6 a 17 - 11 = 6. Gan fod y gwahaniaeth yn +6 cyson, ychwanegwch 6 at y term olaf. Felly, mae 23 + 6 = 29, a 29 + 6 = 35. Gwiriwch y gwahaniaeth ar draws o leiaf tair term bob amser i sicrhau bod y patrwm yn sefydlog cyn cyfrifo gwerthoedd dilynol.
    • Ar gyfer dilyniannau lluosog fel 1, 4, 16, 64, cyfrifwch y gymhareb rhwng termau: 4 wedi'i rannu ag 1 yw 4, a 16 wedi'i rannu â 4 yw 4. Gan mai'r lluosydd yw 4, lluoswch y term olaf 64 â 4 i gael 256. Parhewch trwy luosi 256 â 4 i gynhyrchu 1024. Mae ysgrifennu'r camau canolradd ar gyfer pob naid yn atal camgymeriadau cyfrifo wrth ddelio â rhifau mwy neu ddilyniannau sy'n cynyddu'n gyflym.

    Mewn iaith syml

    Mae patrymau rhif yn rhestrau lle mae pob rhif newydd yn dilyn rheol benodol. Rydych yn dod o hyd i'r rheol trwy wirio faint rydych chi'n ei adio neu ei luosi i fynd o un rhif i'r nesaf.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i'r ddau derm nesaf yn y dilyniant: 7, 12, 17, 22.

    Dangos yr ateb

    Y rheol yw adio 5 bob tro. 22 + 5 = 27, a 27 + 5 = 32. Y termau yw 27 a 32.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.3.2 foundation. Tudalennau PDF 26: disgrifio, mewn geiriau a symbolau, y rheol ar gyfer y term nesaf mewn dilyniant

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae disgrifio rheol dilyniant yn cynnwys nodi'r berthynas rhwng safle term (n) a gwerth y term ei hun. Mae disgrifiad ar sail geiriau yn egluro'r rhesymeg, fel 'adio 4 at y term blaenorol'. Mae rheol symbolaidd yn darparu fformiwla lle mae 'n' yn cynrychioli'r safle yn y dilyniant (e.e., 1af, 2il, 3ydd term). Mae hyn yn caniatáu cyfrifo unrhyw derm heb restru'r holl werthoedd blaenorol.
    • Mae rheolau ar gyfer dilyniannau llinol fel arfer yn cymryd y ffurf an + b, lle mae 'a' yn wahaniaeth cyson rhwng termau a 'b' yw'r gwerth sy'n addasu'r term cyntaf. Os yw dilyniant yn 5, 8, 11, y gwahaniaeth yw 3, felly mae'r rheol yn dechrau gyda 3n. Gan fod y term cyntaf (n=1) yn 5, mae angen inni adio 2 at 3(1). Y rheol ganlyniadol yw 3n + 2. Mae symbolau yn darparu llaw-fer fathemategol fanwl gywir ar gyfer disgrifiadau llafar cymhleth.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddisgrifio'r rheol ar gyfer y dilyniant 7, 10, 13, 16, nodwch y gwahaniaeth rhwng termau yn gyntaf: 10 - 7 = 3. Mewn geiriau, y rheol yw dechrau gyda 7 ac adio 3 ar gyfer pob cam. Mewn symbolau, defnyddiwch y strwythur 3n + b. Ar gyfer n = 1, mae 3(1) + b = 7, sy'n golygu b = 4. Y rheol yw 3n + 4. Amnewidiwch n = 2 (3(2)+4 = 10) bob amser i gadarnhau bod y fformiwla yn cyd-fynd â'r dilyniant a roddwyd.
    • Wrth ddisgrifio dilyniant sy'n lleihau, fel 20, 17, 14, 11, nodwch y gwahaniaeth negatif: 17 - 20 = -3. Y rheol mewn geiriau yw dechrau gyda 20 a thynnu 3 bob tro. Mewn symbolau, y rheol yw -3n + b. Ar gyfer n = 1, mae -3(1) + b = 20, felly b = 23. Y rheol symbolaidd yw -3n + 23. Profi gydag n = 3: -3(3) + 23 = -9 + 23 = 14, sy'n cadarnhau bod y rheol yn gywir.

    Mewn iaith syml

    Gallwch egluro rheolau dilyniant gan ddefnyddio geiriau neu symbolau mathemategol. Mae rheol geiriau yn dweud wrthych beth i'w wneud i'r rhif olaf, tra bod rheol symbol yn eich galluogi i ddod o hyd i unrhyw rif yn y rhestr ar unwaith gan ddefnyddio ei rif safle (n).

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i'r rheol symbolaidd ar gyfer y dilyniant: 4, 9, 14, 19.

    Dangos yr ateb

    Y gwahaniaeth yw 5, felly mae'r rheol yn dechrau gyda 5n. Ar gyfer n = 1, mae 5(1) + b = 4, felly b = -1. Y rheol yw 5n - 1.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.3.3 foundation. Tudalennau PDF 26: cynhyrchu dilyniannau llinol ac aflinol o ystyried rheol yr n fed term

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cynhyrchu dilyniant yn golygu cyfrifo termau unigol gan ddefnyddio rheol nth term a ddarperir. O ystyried rheol fel 2n + 3, rydych yn amnewid gwerthoedd n gan ddechrau o n = 1 i ddod o hyd i dermau'r dilyniant. Mae'r broses hon yn trawsnewid fformiwla statig yn rhestr ddeinamig o werthoedd. Mae'n sgil sylfaenol sy'n cysylltu rheolau algebraidd â dilyniannau rhifol, gan helpu i ddychmygu sut mae newidynnau yn pennu twf.
    • Ar gyfer dilyniannau anllinol, bydd y rheol yn cynnwys n wedi'i godi i bŵer, fel n^2 + 1. Yn yr achosion hyn, nid yw'r gwahaniaeth rhwng termau olynol yn gyson, sy'n arwyddo twf cwadratig neu drefn uwch. Trwy amnewid gwerthoedd cyfanrif ar gyfer n, rydych yn cyfrifo'r dilyniant gam wrth gam. Mae sicrhau rhifyddeg gywir yn ystod yr amnewidiadau hyn yn hollbwysig, gan fod un gwall mewn un term yn effeithio ar y patrwm canfyddedig o'r dilyniant cyfan.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gynhyrchu pedwar term cyntaf y rheol 4n - 2, amnewidiwch n = 1, 2, 3, 4 yn olynol: Ar gyfer n=1: 4(1) - 2 = 2. Ar gyfer n=2: 4(2) - 2 = 6. Ar gyfer n=3: 4(3) - 2 = 10. Ar gyfer n=4: 4(4) - 2 = 14. Y dilyniant yw 2, 6, 10, 14. Defnyddiwch gromfachau bob amser yn ystod amnewidiad i gynnal eglurder ac osgoi gwallau cyfrifo, yn enwedig pan fo'r rheol yn cynnwys cyfernodau negatif.
    • Ar gyfer rheol anllinol fel n^2 + n, cynhyrchwch y tri therm cyntaf fel a ganlyn: Ar gyfer n=1: (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2. Ar gyfer n=2: (2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6. Ar gyfer n=3: (3)^2 + 3 = 9 + 3 = 12. Y dilyniant yw 2, 6, 12. Mae'r gwahaniaethau yma yn 4 a 6, gan ddangos y newid anghyson sy'n nodweddiadol o reolau cwadratig. Gwirio sgwariau ddwywaith cyn adio.

    Mewn iaith syml

    Mae cynhyrchu dilyniant yn golygu dod o hyd i'r rhestr o rifau a grëwyd gan reol fathemateg. Rydych yn rhoi'r rhif safle (n=1, 2, 3...) i mewn i'r rheol ac yn ei ddatrys ar gyfer pob cam.

    Hunanwirio

    Cynhyrchwch y tri therm cyntaf o'r dilyniant a roddir gan 3n^2 - 1.

    Dangos yr ateb

    n=1: 3(1)-1=2; n=2: 3(4)-1=11; n=3: 3(9)-1=26. Y termau yw 2, 11, 26.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.3.4 foundation. Tudalennau PDF 26: darganfod yr n fed term mewn dilyniant, sydd wedi'i roi yn rhifiadol neu'n ddiagramatig, lle mae'r rheol yn llinol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dod o hyd i reol nth term ar gyfer dilyniant llinol yn cynnwys dau gam: nodi'r gwahaniaeth cyffredin a dod o hyd i'r cysonyn addasu. Mae'r gwahaniaeth cyffredin yn cynrychioli'r 'a' yn y ffurf safonol an + b. Oherwydd ei fod yn ddilyniant llinol, mae'r gwahaniaeth rhwng unrhyw ddau derm olynol yn parhau'n gyson. Mae'r gwahaniaeth cyson hwn yn gweithredu fel y lluosydd ar gyfer y newidyn safle n.
    • Unwaith y pennir y gwahaniaeth 'a', rhaid i chi ddod o hyd i 'b', y gwerth sydd ei angen i gyrraedd y term cyntaf pan fo n = 1. Trwy sefydlu'r hafaliad a(1) + b = Term Cyntaf, rydych yn datrys ar gyfer b. Mae'r dull algebraidd hwn yn gweithio ar gyfer unrhyw ddilyniant llinol, boed wedi'i gyflwyno fel rhestr o rifau neu batrwm diagrammatig o wrthrychau fel sgwariau neu gylchoedd. Mae meistrolaeth ar hyn yn caniatáu ar gyfer rhagweld termau pellennig mewn dilyniant heb gyfrif â llaw.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • O ystyried y dilyniant 8, 13, 18, 23, dewch o hyd i'r gwahaniaeth: 13 - 8 = 5. Felly, y rheol yw 5n + b. Amnewidiwch n = 1 i ddod o hyd i b: 5(1) + b = 8, sy'n rhoi 5 + b = 8, felly b = 3. Y rheol derfynol yw 5n + 3. Gwirio'r rheol hon bob amser yn erbyn term arall, fel n = 3: 5(3) + 3 = 15 + 3 = 18. Mae hyn yn cyd-fynd â'r trydydd term yn y dilyniant, gan gadarnhau bod y rheol yn gywir.
    • Ar gyfer patrwm diagrammatig lle mae Ffigur 1 â 4 dot, Ffigur 2 â 7 dot, a Ffigur 3 â 10 dot: Y dilyniant yw 4, 7, 10. Y gwahaniaeth yw 3. Dechreuwch gyda 3n + b. Ar gyfer n = 1, 3(1) + b = 4, felly 3 + b = 4, b = 1. Y rheol nth term yw 3n + 1. Gwirio gydag n = 2: 3(2) + 1 = 7 dot, sy'n cyd-fynd â Ffigur 2.

    Mewn iaith syml

    I ddod o hyd i'r rheol ar gyfer dilyniant llinol, dewch o hyd i'r bwlch cyson rhwng rhifau (hwn yw'r rhif nesaf at n) ac yna dewch o hyd i'r cywiriad sydd ei angen i'w wneud yn cyd-fynd â'r rhif cyntaf pan fo n yn 1.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i'r nth term ar gyfer y dilyniant: 5, 8, 11, 14.

    Dangos yr ateb

    Y bwlch yw 3, felly mae'n dechrau gyda 3n. Ar gyfer n=1, 3(1)+b=5, felly b=2. Y rheol yw 3n + 2.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.3.5 higher. Tudalennau PDF 26: darganfod yr n fed term mewn dilyniant, sydd wedi'i roi yn rhifiadol neu'n ddiagramatig, lle mae'r rheol yn gwadratig

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dilyniant cwadratig yn dilyn rheol nth term ar ffurf an^2 + bn + c. Yn wahanol i ddilyniannau llinol lle mae'r gwahaniaeth cyntaf yn gyson, mae gan ddilyniannau cwadratig ail wahaniaeth cyson. I nodi'r rheol, dewch o hyd i'r gwahaniaethau rhwng termau yn gyntaf. Yna, cyfrifwch y gwahaniaethau rhwng y gwahaniaethau hynny (yr ail wahaniaethau). Mae cyfernod 'a' o n^2 bob amser yn hanner yr ail wahaniaeth.
    • Unwaith y nodir 'a', rydych yn tynnu'r dilyniant a gynhyrchir gan an^2 o'r dilyniant gwreiddiol. Mae'r rhifau sy'n weddill yn ffurfio dilyniant llinol newydd, yr ydych yn ei ddatrys ar gyfer rhan 'bn + c' y rheol. Mae'r dadelfeniad systematig hwn yn caniatáu ichi adeiladu'r fformiwla gwadratig gymhleth o'r rhifau a welwyd. Mae cywirdeb wrth gyfrifo'r ail wahaniaethau yn hanfodol, gan y bydd unrhyw gamgyfrifiad yn rhaeadru i ran linol y mynegiad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer y dilyniant 4, 11, 20, 31: Y gwahaniaethau yw 7, 9, 11. Yr ail wahaniaethau yw 9-7=2 a 11-9=2. Gan fod yr ail wahaniaeth yn 2, a = 2/2 = 1. Mae'r rheol yn dechrau gydag 1n^2. Tynnwch 1n^2 o'r dilyniant: n=1: 1^2=1 (4-1=3); n=2: 2^2=4 (11-4=7); n=3: 3^2=9 (20-9=11). Y dilyniant newydd yw 3, 7, 11, sydd â gwahaniaeth o 4. Felly mae bn+c yn 4n-1. Y rheol yw n^2 + 4n - 1.
    • Gwirio'r rheol n^2 + 4n - 1 ar gyfer n=4: (4)^2 + 4(4) - 1 = 16 + 16 - 1 = 31. Mae hyn yn cyd-fynd â'r pedwerydd term yn y dilyniant. Trwy ynysu'r rhan gwadratig yn gyntaf, rydym yn symleiddio'r broblem i dasg dilyniant llinol safonol, gan sicrhau canlyniadau cadarn ar gyfer pob term o fewn y patrwm cwadratig.

    Mewn iaith syml

    Mae dilyniannau cwadratig yn cael bwlch sy'n newid ac yn tyfu ar gyfradd gyson. Rydych yn dod o hyd i'r rheol trwy wirio'r 'ail wahaniaeth', sy'n helpu i ddiffinio rhan n^2 y fformiwla, yna datrys ar gyfer y rhan linol sy'n weddill.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i'r nth term ar gyfer 3, 8, 15, 24.

    Dangos yr ateb

    Diffs: 5, 7, 9. 2ail ddiff: 2. a=1. Dilyniant minws n^2: 3-1=2, 8-4=4, 15-9=6. Llinol yw 2n. Y rheol yw n^2 + 2n.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.1 foundation. Tudalennau PDF 26: defnyddio cyfesurynnau mewn 4 pedrant

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae'r plân cyfesurynnol Cartesaidd wedi'i rannu'n bedwar cwadrant gan yr echelin x llorweddol a'r echelin y fertigol, sy'n croesi yn y tarddiad (0, 0). Mynegir cyfesurynnau fel parau trefnus (x, y), lle mae'r gwerth x yn dangos y dadleoliad llorweddol o'r echelin y, ac mae'r gwerth y yn dangos y dadleoliad fertigol o'r echelin x. Mae symud i'r dde yn cynyddu x, ac mae symud i fyny yn cynyddu y.
    • Yng Nghwadrant I, mae x ac y yn bositif. Yng Nghwadrant II, mae x yn negatif ond mae y yn bositif. Yng Nghwadrant III, mae x ac y yn negatif. Yng Nghwadrant IV, mae x yn bositif ond mae y yn negatif. Mae lleoli pwyntiau'n gywir yn hanfodol ar gyfer gwaith graffigol, gan sicrhau bod gwerthoedd wedi'u harwyddo yn cael eu plotio'n gywir o gymharu â'r tarddiad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I blotio cyfesuryn, dechreuwch yn y tarddiad (0, 0). Ar gyfer pwynt (x, y), symudwch x uned yn llorweddol (i'r dde os yw'n bositif, i'r chwith os yw'n negatif) yna symudwch y uned yn fertigol (i fyny os yw'n bositif, i lawr os yw'n negatif). Er enghraifft, i blotio A(-2, 3), symudwch 2 uned i'r chwith o'r tarddiad a 3 uned i fyny.
    • I adnabod cyfesurynnau pwynt, penderfynwch faint o unedau ar hyd yr echelin llorweddol y mae'n rhaid i chi symud i alinio â'r pwynt, yna cyfrifwch yr unedau sydd eu hangen i'w cyrraedd yn fertigol. Ar gyfer pwynt yn y trydydd cwadrant, dyweder B(-4, -1), cadarnhewch fod y sefyllfa 4 uned i'r chwith o'r echelin y ac 1 uned o dan yr echelin x.

    Mewn iaith syml

    Mae system gyfesurynnol fel map grid. Rydych chi'n defnyddio parau o rifau (x, y) i ddod o hyd i fan penodol trwy symud i'r ochr yn gyntaf ac yna i fyny neu i lawr.

    Hunanwirio

    Blotiwch y pwynt P(3, -2) a nodwch ei gwadrant.

    Dangos yr ateb

    Dechreuwch yn (0,0), symudwch 3 uned i'r dde, yna 2 uned i lawr. Mae yn y Cwadrant IV.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.2 foundation. Tudalennau PDF 26: lluniadu, dehongli, adnabod a braslunio graffiau x = a, y = b, y = ax + b

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hafaliadau ar ffurf x = a yn cynrychioli llinellau fertigol sy'n mynd trwy a ar yr echelin x, lle mae gan bob pwynt ar y llinell yr un cyfesuryn x. Mae hafaliadau ar ffurf y = b yn cynrychioli llinellau llorweddol sy'n mynd trwy b ar yr echelin y, lle mae gan bob pwynt yr un cyfesuryn y. Mae'r llinellau hyn yn achosion arbennig o ffwythiannau llinol lle mae'r graddiant naill ai'n amhenodedig neu'n sero.
    • Mae graffiau ar ffurf y = ax + b yn llinol. Mae tynnu'r rhain yn golygu creu tabl o werthoedd ar gyfer x, cyfrifo gwerthoedd y cyfatebol, a'u plotio. Er enghraifft, y = 2x + 1: os yw x = 0, y = 1; os yw x = 1, y = 3; os yw x = 2, y = 5. Mae cysylltu'r pwyntiau hyn (0, 1), (1, 3), a (2, 5) yn cynhyrchu llinell syth.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I fraslunio x = a, tynnwch linell fertigol ar y marc 'a' ar yr echelin x. I fraslunio y = b, tynnwch linell lorweddol ar y marc 'b' ar yr echelin y. Gwnewch yn siŵr bod y llinell yn ymestyn y tu hwnt i'r pwyntiau wedi'u plotio i gynrychioli llinell ddiderfyn.
    • I fraslunio y = ax + b, dewiswch dri gwerth x (e.e., -1, 0, 1), amnewidiwch nhw yn yr hafaliad i ddod o hyd i y, a plotiwch y pwyntiau hyn. Defnyddiwch bren mesur i dynnu llinell syth drwyddynt. Os yw x = 2 a'r hafaliad yw y = 3x - 2, amnewidiwch 2 i ddod o hyd i y = 3(2) - 2 = 4. Rhaid i'r pwynt (2, 4) orwedd ar y llinell.

    Mewn iaith syml

    Mae llinellau fertigol a llorweddol yn llinellau syth syml. Ar gyfer llinellau mwy cymhleth (y = ax + b), dewiswch ychydig o rifau x, darganfyddwch eu cyfatebiaethau y, a thynnwch y llinell sy'n mynd drwyddynt.

    Hunanwirio

    Brasluniwch y llinell y = 2x - 1. Beth yw'r gwerth y pan mae x = 3?

    Dangos yr ateb

    Cyfrifwch y = 2(3) - 1 = 5. Mae'r llinell yn mynd trwy (0,-1), (1,1), a (2,3).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.3 foundation. Tudalennau PDF 26: adnabod a defnyddio'r ffurf y = mx + c i gynrychioli llinell syth lle mai m yw graddiant y llinell, a c yw gwerth rhyngdoriad y

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Yr hafaliad y = mx + c yw'r ffurf safonol ar gyfer llinell syth lle mae m yn cynrychioli'r graddiant (serthder) ac mae c yn cynrychioli'r rhyngdoriad-y (y pwynt lle mae'r llinell yn croesi'r echelin y). Diffinnir y graddiant m fel y newid yn y wedi'i rannu â'r newid yn x. Mae m positif yn golygu bod y llinell yn llethu i fyny i'r dde, tra bod m negatif yn golygu ei bod yn llethu i lawr i'r dde.
    • Gellir dod o hyd i'r rhyngdoriad-y c yn y cyfesuryn (0, c). Trwy wybod y ddau werth hyn, gall un ddiffinio unrhyw linell syth yn unigryw. Os yw llinell yn mynd trwy (1, 5) a (3, 11), y graddiant yw (11 - 5) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3. Gan ddefnyddio y = 3x + c a'r pwynt (1, 5), rydym yn datrys 5 = 3(1) + c, sy'n rhoi c = 2. Felly, yr hafaliad yw y = 3x + 2.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I adnabod m a c o hafaliad, sicrhewch ei fod wedi'i ysgrifennu ar ffurf y = mx + c. Er enghraifft, yn y = -4x + 7, m = -4 a c = 7. Os rhoddir 2y = 4x + 6, rhannwch yr hafaliad cyfan â 2 i gael y = 2x + 3, felly m = 2 a c = 3.
    • I ddod o hyd i'r hafaliad o graff, nodwch y rhyngdoriad-y (0, c) i bennu c. Yna dewiswch bwynt arall ar y llinell (x1, y1) a chyfrifwch y graddiant gan ddefnyddio m = (y1 - c) / (x1 - 0). Unwaith y bydd m a c yn hysbys, ysgrifennwch yr hafaliad llawn y = mx + c.

    Mewn iaith syml

    Mae'r hafaliad hwn yn dweud wrthych pa mor serth yw'r llinell (m) a ble mae'n taro'r echelin-y fertigol (c). Dyma'r ffordd hawsaf o ysgrifennu'r rheol ar gyfer llinell syth.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i m a c ar gyfer y llinell 3y = 9x - 12.

    Dangos yr ateb

    Rhannwch â 3: y = 3x - 4. Felly, m = 3 a c = -4.

    Gweld diagramau

    Dau hafaliad llinol cydamserol

    y = x + 1y = 5 − x(2, 3)xyEnghraifft: cyfanswm o 5 eitemCost: £8
    Allwedd a disgrifiad

    Enghraifft a luniwyd: x yw nifer yr eitemau £1 ac y yw nifer yr eitemau £2. Mae 5 eitem, felly x + y = 5 ac y = 5 − x. Mae un eitem £2 yn fwy nag eitemau £1, felly y = x + 1. Mae’r llinellau’n cyfarfod yn (2, 3): 2 eitem punt ac 3 eitem dwy bunt. Y berthynas gost yw C = x + 2y, felly C = 2 + 6 = £8.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.4 foundation. Tudalennau PDF 26: lluniadu a dehongli graffiau cwadratig yn y ffurf y = ax 2 + bx + c, a lluniadu'r llinell y = k er mwyn datrys ax 2 + bx + c = k

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gan graff cwadratig y ffurf y = ax² + bx + c. Yn wahanol i graffiau llinol, mae'r rhain yn grwm (parabolae). Os yw a yn bositif, mae gan y graff bwynt lleiafswm ac mae'n edrych fel siâp 'U'. Os yw a yn negatif, mae ganddo bwynt mwyafswm ac mae'n edrych fel 'U' gwrthdro. Y rhyngdoriad-y yw'r gwerth c, lle mae'r gromlin yn croesi'r echelin y (pan mae x = 0).
    • Mae datrys ax² + bx + c = k yn golygu dod o hyd i'r cyfesurynnau x lle mae'r gromlin gwadratig yn croesi'r llinell lorweddol y = k. Trwy dynnu'r gromlin gwadratig a'r llinell y = k ar yr un echelinau, mae'r pwyntiau croesi yn datgelu'r atebion. Os yw y = x² - 4, ac rydym yn datrys x² - 4 = 0, edrychwn am ble mae'r gromlin yn taro'r echelin x.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I dynnu y = ax² + bx + c, crëwch dabl o werthoedd x (e.e., o -3 i 3), cyfrifwch y gwerthoedd y cyfatebol trwy amnewid yn y gwadratig, a plotiwch y pwyntiau. Er enghraifft, os yw y = x² - 2: os yw x = 1, y = 1² - 2 = -1; os yw x = 2, y = 2² - 2 = 2. Cysylltwch y pwyntiau yn llyfn.
    • I ddatrys ax² + bx + c = k, tynnwch y gromlin y = ax² + bx + c yn gyntaf. Yna, tynnwch y llinell syth y = k ar draws y grid. Mae'r pwyntiau lle mae'r gromlin a'r llinell yn croesi yn darparu'r gwerthoedd x sy'n bodloni'r hafaliad. Os yw'r llinell yn y = 3 a'r gromlin yn y = x², gwelir yr atebion lle mae x² = 3, sy'n fras ±1.73.
    • Yn yr enghraifft wedi'i labelu y = x²−2x−3 = (x−3)(x+1), y gwreiddiau yw −1 a 3, y rhyng-gipiad-y yw −3, a'r pwynt troi yw (1,−4). Mae'r graff yn agor i fyny. Mae'r ffwythiant yn negatif rhwng ei wreiddiau, yn sero yn y gwreiddiau ac yn bositif y tu allan iddynt. Mae'r rhain yn ddehongliadau o'r graff wedi'i gwblhau, nid dim ond cyfarwyddiadau plotio.

    Mewn iaith syml

    Mae graffiau cwadratig yn gromlinau siâp U. I ddatrys hafaliad fel ax² + bx + c = k, rydych chi'n tynnu'r gromlin a llinell wastad ar uchder k. Lle maen nhw'n cwrdd, y gwerthoedd x yw eich atebion.

    Hunanwirio

    Ar gyfer y = x² - 1, cyfrifwch y pan mae x = 2.

    Dangos yr ateb

    y = 2² - 1 = 4 - 1 = 3. Y pwynt yw (2, 3).

    Gweld diagramau

    Gwreiddiau a phwynt troi cwadratig

    (−1, 0)(3, 0)(1, −4)y = x² − 2x − 3xy
    Allwedd a disgrifiad

    y = x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Gwreiddiau: (−1, 0) a (3, 0). Drwy gwblhau’r sgwâr ceir (x − 1)² − 4, felly (1, −4) yw’r pwynt troi.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.5 higher. Tudalennau PDF 27: defnyddio graffiau llinell syth i leoli rhanbarthau a roddir gan anhafaleddau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae graffiau llinell syth yn diffinio ffiniau ar blân cyfesurynnol. Mae anhafaledd fel y > 2x + 1 yn dynodi rhanbarth yn hytrach na dim ond llinell. Mae'r llinell y = 2x + 1 yn gweithredu fel ffin; mae pwyntiau uwchben y llinell yn bodloni'r amod 'mwy na'. Os yw'r anhafaledd yn cynnwys 'neu hafal i' (≥ neu ≤), mae'r llinell ffin yn gadarn; os yw'n llym (> neu <), mae'r llinell wedi'i thorri.
    • I adnabod rhanbarth, ystyriwch bwynt prawf nad yw ar y llinell, fel (0, 0). Os yw (0, 0) yn bodloni'r anhafaledd, y rhanbarth sy'n cynnwys y tarddiad yw'r ateb. Er enghraifft, mae profi 0 > 2(0) + 1 yn arwain at 0 > 1, sy'n ffals. Felly, y rhanbarth nad yw'n cynnwys y tarddiad yw'r gofod ateb cywir ar gyfer y > 2x + 1.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Yn gyntaf, tynnwch y llinell ffin trwy blotio y = mx + c. Defnyddiwch linell wedi'i thorri ar gyfer anhafaleddau llym a llinell gadarn ar gyfer rhai cynhwysol. Ar gyfer 3x + y < 4, tynnwch y llinell y = -3x + 4 fel llinell wedi'i thorri.
    • Yn ail, penderfynwch pa ochr i'w gysgodi. Dewiswch bwynt prawf fel (1, 1). Os yw 3(1) + 1 < 4, sy'n 4 < 4, mae'n ffals. Felly, nid yw (1, 1) yn y rhanbarth. Cysgodwch yr ochr o'r llinell nad yw'n cynnwys (1, 1). Gwnewch yn siŵr bob amser bod y rhanbarth wedi'i ddiffinio'n glir gan yr echelinau neu ffiniau eraill a roddwyd os oes angen.

    Mewn iaith syml

    Mae anhafaledd yn dangos ardal gyfan ar graff yn hytrach na dim ond llinell. Rydych chi'n tynnu'r llinell ffin ac yna'n cysgodi'r rhan o'r graff sy'n gwneud y datganiad yn wir.

    Hunanwirio

    Ar gyfer y < x, a yw'r pwynt (2, 1) yn y rhanbarth wedi'i gysgodi?

    Dangos yr ateb

    Ydy. Mae 1 < 2 yn wir. Mae'r pwynt (2, 1) yn y rhanbarth dilys.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.6 higher. Tudalennau PDF 27: nodi hafaliadau llinellau sy'n baralel neu'n berpendicwlar i linell benodol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae llinellau yn baralel os oes ganddynt yr un graddiant (m). Er enghraifft, mae y = 2x + 3 ac y = 2x - 5 yn baralel oherwydd bod gan y ddau m = 2. Waeth beth yw'r rhyngdoriad-y, ni fydd llinellau paralel byth yn croesi. Mae hwn yn briodwedd sylfaenol o hafaliadau llinol sy'n rhannu'r un llethr yn y plân Cartesaidd.
    • Mae llinellau yn perpendicwlar os yw lluoswm eu graddiannau yn -1. Os oes gan linell raddiant m, mae gan y llinell perpendicwlar raddiant o -1/m (y cilydd negatif). Er enghraifft, os yw llinell yn y = 3x + 1, byddai gan linell perpendicwlar raddiant o -1/3. Gallai'r hafaliad fod yn y = -1/3x + 4. Mae llinellau perpendicwlar yn cwrdd ar ongl sgwâr.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i hafaliad llinell baralel, cadwch y gwerth m yr un fath. Os oes angen llinell baralel â y = 4x + 2 sy'n mynd trwy (0, 5), mae'r graddiant yn aros yn 4 ac mae'r rhyngdoriad newydd yn 5, felly y = 4x + 5.
    • I ddod o hyd i linell perpendicwlar, dewch o hyd i gilydd negatif y graddiant. Ar gyfer y llinell y = -2x + 1, y graddiant yw -2, felly y graddiant perpendicwlar yw -1/(-2) = 0.5. I ddod o hyd i'r hafaliad llawn, defnyddiwch y = 0.5x + c ac amnewidiwch bwynt hysbys. Os oes rhaid iddo fynd trwy (2, 3), mae 3 = 0.5(2) + c yn rhoi 3 = 1 + c, felly c = 2. Yr hafaliad yw y = 0.5x + 2.

    Mewn iaith syml

    Mae llinellau paralel yr un mor serth (graddiant) felly dydyn nhw byth yn cyffwrdd. Mae llinellau perpendicwlar yn cwrdd ar ongl 90 gradd; mae eu gwerthoedd serthder yn gilyddion negatif i'w gilydd (fel 2 a -1/2).

    Hunanwirio

    Beth yw graddiant llinell sy'n perpendicwlar i y = 5x - 3?

    Dangos yr ateb

    Cilydd negatif 5 yw -1/5.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.7 higher. Tudalennau PDF 27: llunio, trin a datrys dau hafaliad cydamserol llinol gyda chyfernodau rhif cyfan drwy ddulliau graffigol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae hafaliadau cydamserol yn ddau neu fwy o hafaliadau algebraidd sy'n rhannu'r un newidynnau. Yn graffigol, mae datrys y rhain yn golygu dod o hyd i'r cyfesuryn (x, y) lle mae'r ddwy linell yn croesi. Gan fod yn rhaid i'r ddau hafaliad fod yn wir ar yr un pryd, y pwynt croesi yw'r ateb unigryw lle mae gwerthoedd x ac y yn bodloni'r ddau hafaliad llinol gwreiddiol.
    • I ddatrys 2x + y = 6 ac x - y = 3, rydym yn eu haildrefnu i ffurf y = mx + c: y = -2x + 6 ac y = x - 3. Gan blotio'r ddwy linell hyn, rydym yn arsylwi eu bod yn croesi ar bwynt. Mae cyfrifo'r croesffordd yn dangos y gwerthoedd x ac y sy'n datrys y system. Mae'r dull hwn yn cadarnhau'n weledol yr ateb ar gyfer hafaliadau llinol cyson.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Aildrefnwch y ddau hafaliad i fformat y = mx + c. Ar gyfer 2x + y = 6, tynnwch 2x i gael y = -2x + 6. Ar gyfer x - y = 3, ychwanegwch y yna tynnwch 3 i gael y = x - 3.
    • Plotiwch y ddwy linell ar yr un set o echelinau. Y pwynt croesi (x, y) yw'r ateb. Os ydyn nhw'n croesi yn (3, 0), yna x = 3 ac y = 0. Gwiriwch y canlyniad trwy amnewid y gwerthoedd hyn yn yr hafaliadau gwreiddiol: 2(3) + 0 = 6 a 3 - 0 = 3. Mae'r ddau yn wir, felly mae (3, 0) yn gywir.
    • Ffurfiwch yr hafaliadau o'r sefyllfa cyn lluniadu. Gadewch i x fod yn nifer yr eitemau £1 ac y yn nifer yr eitemau £2. Mae pum eitem yn rhoi x+y=5; mae un eitem £2 yn fwy nag eitem £1 yn rhoi y=x+1. Mae'r llinellau plotiedig y=5−x ac y=x+1 yn cwrdd ar (2,3), sy'n golygu dau eitem £1 a thair eitem £2. Eu cost yw 2+2×3 = £8.

    Mewn iaith syml

    I ddatrys dau hafaliad ar unwaith, tynnwch nhw ar yr un graff. Mae'r pwynt lle mae'r ddwy linell yn croesi yn rhoi'r gwerthoedd ar gyfer x ac y sy'n gweithio ar gyfer y ddau hafaliad.

    Hunanwirio

    Datryswch y = x + 1 ac y = -x + 3 yn graffigol.

    Dangos yr ateb

    Maen nhw'n croesi yn (1, 2). Gwirio: 2 = 1+1 a 2 = -1+3. Mae'r ddau yn wir.

    Gweld diagramau

    Dau hafaliad llinol cydamserol

    y = x + 1y = 5 − x(2, 3)xyEnghraifft: cyfanswm o 5 eitemCost: £8
    Allwedd a disgrifiad

    Enghraifft a luniwyd: x yw nifer yr eitemau £1 ac y yw nifer yr eitemau £2. Mae 5 eitem, felly x + y = 5 ac y = 5 − x. Mae un eitem £2 yn fwy nag eitemau £1, felly y = x + 1. Mae’r llinellau’n cyfarfod yn (2, 3): 2 eitem punt ac 3 eitem dwy bunt. Y berthynas gost yw C = x + 2y, felly C = 2 + 6 = £8.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.8 higher. Tudalennau PDF 27: lluniadu, dehongli, adnabod a braslunio graffiau y = ax 2 + b, y = (ax + b)(cx + d), y = a/x, y = ax 3

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae graffiau quadratig yn dilyn y ffurf y = ax^2 + b neu y = (ax + b)(cx + d). Ar gyfer y = 2x^2 + 3, mae'r graff yn barabola sy'n agor i fyny gyda'r fertig yn (0, 3). Ar gyfer ffurfiau wedi'u ffactorio fel y = (x - 2)(x + 4), mae'r gwreiddiau'n digwydd lle mae y = 0, yn benodol yn x = 2 ac x = -4. Mae'r gwreiddiau hyn yn diffinio rhyng-doriadau x y gromlin barabolaidd.
    • Mae graffiau chilyddol yn cymryd y ffurf y = a/x. Pan fo a yn bositif, mae'r canghennau'n meddiannu'r cwadrantau cyntaf a thrydydd. Ar gyfer y = 6/x, wrth i x agosáu at sero o'r dde, mae y yn cynyddu tuag at anfeidredd. Mae graffiau ciwbig y = ax^3 yn cynrychioli cromliniau llyfn sy'n pasio drwy'r tarddbwynt. Ar gyfer y = 2x^3, pan fo x = 1, y = 2; pan fo x = -1, y = -2, gan ddangos cymesuredd pwynt o amgylch y tarddbwynt (0, 0).

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I fraslunio y = 2x^2 - 8, cyfrifwch bwyntiau allweddol. Gadewch i x = 0, yna y = -8. Gosodwch y = 0 i ddod o hyd i wreiddiau: 2x^2 = 8, x^2 = 4, felly x = 2 ac x = -2. Plotio pwyntiau (-2, 0), (2, 0), a (0, -8). Lluniwch barabola llyfn sy'n cysylltu'r pwyntiau hyn drwy'r fertig yn (0, -8).
    • Ar gyfer y graff chilyddol y = 4/x, crëwch dabl o werthoedd: x = 1, y = 4; x = 2, y = 2; x = 4, y = 1; x = -1, y = -4; x = -2, y = -2; x = -4, y = -1. Plotio'r chwe phâr o gyfesurynnau hyn ar blân Cartesaidd. Lluniwch ddwy gromlin barhaus sy'n agosáu at yr echelin x a'r echelin y fel asymptotau heb eu cyffwrdd erioed.

    Mewn iaith syml

    Rydym yn dysgu tynnu a dehongli gwahanol fathau o gromliniau. Mae quadratigau yn creu parabolas siâp U, mae chilyddol yn creu cromliniau hollt sy'n dod yn agos at echelinau ond byth yn eu cyffwrdd, ac mae ciwbig yn ffurfio cromliniau siâp S.

    Hunanwirio

    Ar gyfer y graff y = x^2 - 9, beth yw'r gwreiddiau?

    Dangos yr ateb

    Gosodwch x^2 - 9 = 0. Yna x^2 = 9, felly x = 3 ac x = -3.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.9 higher. Tudalennau PDF 27: lluniadu a dehongli graffiau y = ax 3 + b ac y = ax 3 + bx 2 + cx + d

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae ffwythiannau ciwbig yn cymryd y ffurf gyffredinol y = ax^3 + b neu'r ffurf bolynomial estynedig y = ax^3 + bx^2 + cx + d. Mae'r term ax^3 yn pennu ymddygiad hirdymor y graff. Pan fo a yn bositif, mae'r graff yn dechrau yn y chwith isaf ac yn tueddu tuag at y dde uchaf, gan groesi'r echelin x o leiaf unwaith.
    • Mae'r cysonion b, c, a d yn dylanwadu ar y safle fertigol, crymedd, a rhyng-doriadau. Er enghraifft, yn y = x^3 - x, mae'r graff yn croesi'r echelin x yn x = 0, x = 1, ac x = -1. Yn wahanol i gromliniau quadratig, gall cromliniau ciwbig arddangos dau bwynt troi, uchafswm lleol ac isafswm lleol, gan greu siâp troell S nodweddiadol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I dynnu y = x^3 - 2x^2, dewch o hyd i'r gwreiddiau yn gyntaf drwy ffactorio: x^2(x - 2) = 0. Y gwreiddiau yw x = 0 (wedi'i ailadrodd) ac x = 2. Crëwch dabl cyfesurynnau: x = -1, y = -3; x = 0, y = 0; x = 1, y = -1; x = 2, y = 0; x = 3, y = 9. Cysylltwch y pwyntiau hyn â llinell llyfn, barhaus gan sicrhau bod y gromlin yn cyffwrdd yr echelin x yn y tarddbwynt.
    • Ar gyfer y = x^3 + 1, nodwch y rhyng-doriad y yn (0, 1) a'r gwreiddyn yn x = -1. Gwerthuswch bwyntiau: x = -2, y = -7; x = 0, y = 1; x = 1, y = 2. Mae plotio'r rhain yn cadarnhau twf serth y gromlin ar gyfer gwerthoedd x positif a disgyniad serth ar gyfer gwerthoedd x negatif. Sicrhewch fod y pwynt inflecsiwn yn cael ei dynnu'n glir.

    Mewn iaith syml

    Mae graffiau ciwbig yn cynnwys termau x^3. Maent yn creu cromliniau llyfn a all siglo. Cânt eu tynnu drwy blotio nifer o bwyntiau i benderfynu ar y siâp, yn enwedig gan ganolbwyntio ar ble maent yn croesi'r echelin x (gwreiddiau).

    Hunanwirio

    Ar gyfer y = x^3 - 8, dewch o hyd i'r gwreiddyn.

    Dangos yr ateb

    Gosodwch x^3 - 8 = 0, felly x^3 = 8. Ail isradd y ciwb o 8 yw 2, felly x = 2.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.10 higher. Tudalennau PDF 27: defnyddio dull graffigol i ddatrys ax 2 + bx + c = dx + e ac ax 3 + bx 2 + cx + d = ex + f

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae datrysiadau graffigol ar gyfer hafaliadau fel ax^2 + bx + c = dx + e yn cynnwys nodi pwyntiau croesi'r ddwy gromlin ar wahân y = ax^2 + bx + c a y = dx + e. Cyfesurynnau x y pwyntiau hyn yw'r datrysiadau i'r hafaliad. Gall graff quadratig a graff llinol groesi ar ddim, un, neu ddau bwynt.
    • Yn yr un modd, ar gyfer ax^3 + bx^2 + cx + d = ex + f, rydym yn plotio'r ciwbig y = ax^3 + bx^2 + cx + d a'r llinell y = ex + f. Mae'r pwyntiau croesi yn darparu'r gwerthoedd x sy'n bodloni'r cydraddoldeb. Os yw'r llinell yn ddatodol i'r gromlin, mae datrysiad wedi'i ailadrodd, sy'n golygu bod y graffiau'n cyffwrdd ar union un pwynt cyfesurynnol penodol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Datryswch x^2 - 4 = x - 2 yn graffigol. Plotio y = x^2 - 4 (parabola) a y = x - 2 (llinell). Ar gyfer y parabola, y pwyntiau yw (-2, 0), (0, -4), (2, 0). Ar gyfer y llinell, y pwyntiau yw (0, -2) a (2, 0). Mae'r graffiau'n croesi yn (2, 0) a (-1, -3). Y datrysiadau yw x = 2 ac x = -1.
    • Datryswch x^3 = 2x + 1 yn graffigol. Plotio y = x^3 a y = 2x + 1. Ar gyfer y = x^3, pwyntiau: (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8). Ar gyfer y = 2x + 1, pwyntiau: (-1, -1), (0, 1), (1, 3). Y pwynt (-1, -1) yw croesiad. Gan ddefnyddio graff, mae croesiad arall yn bodoli ger x = 1.6.

    Mewn iaith syml

    I ddatrys hafaliad yn graffigol, rydych chi'n tynnu dau graff ar wahân ac yn gweld ble maent yn croesi. Gwerth x ym mhob pwynt croesi yw'r ateb i'r hafaliad.

    Hunanwirio

    Os yw croesiad x^2 ac x + 2 yn (2, 4) a (-1, 1), beth yw'r datrysiadau?

    Dangos yr ateb

    Y datrysiadau yw'r cyfesurynnau x: x = 2 ac x = -1.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §2.4.11 higher. Tudalennau PDF 27: lluniadu a dehongli graffiau pan roddir y ymhlyg yn nhermau x

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae graffiau implisid yn digwydd pan nad yw y wedi'i ynysu, yn aml yn y ffurf f(x, y) = 0. Enghraifft glasurol yw hafaliad y cylch x^2 + y^2 = r^2, lle r yw'r radiws. Ar gyfer x^2 + y^2 = 25, mae'r graff yn cynrychioli cylch wedi'i ganoli yn (0, 0) gyda radiws o 5 uned.
    • Yn wahanol i ffwythiannau safonol lle mae pob x yn cynhyrchu un y, gall graffiau implisid gael gwerthoedd y lluosog ar gyfer un gwerth x. Er enghraifft, yn x^2 + y^2 = 25, os x = 3, y^2 = 16, gan arwain at y = 4 neu y = -4. Mae tynnu'r rhain yn gofyn am wirio gwreiddiau positif a negatif ar gyfer y ar draws yr ystod ddiffiniedig o x.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Tynnwch graff x^2 + y^2 = 16. Cydnabod hwn fel cylch wedi'i ganoli yn y tarddbwynt (0, 0) gyda radiws = 4. Plotio pwyntiau ar echelinau: (4, 0), (-4, 0), (0, 4), (0, -4). Defnyddiwch gwmpawd neu fraslunio gofalus i greu cylch sy'n pasio drwy'r pedwar pwynt cyfesurynnol hyn.
    • I fraslunio x^2 + y^2 = 9, nodwch y radiws fel 3. Gwerthuswch bwyntiau lle x=0, y=+/-3 a y=0, x=+/-3. Yn ogystal, ar gyfer x=2, y^2 = 9 - 4 = 5, felly y = +/-2.24. Plotio'r pwyntiau (0, 3), (0, -3), (3, 0), (-3, 0), (2, 2.24), a (2, -2.24) i adeiladu'r siâp cylchol.

    Mewn iaith syml

    Mae graffiau implisid yn dangos perthnasoedd lle mae x ac y wedi'u cymysgu gyda'i gilydd. Enghraifft yw cylch, lle mae'r gwerthoedd x a gwerthoedd y wedi'u sgwario yn adio at rif sefydlog. Gallant gael gwerthoedd y lluosog ar gyfer un gwerth x.

    Hunanwirio

    Beth yw radiws x^2 + y^2 = 100?

    Dangos yr ateb

    Mae'r hafaliad yn x^2 + y^2 = r^2. Gan fod r^2 = 100, r = 10 uned.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §2.5.1 foundation. Tudalennau PDF 28: lluniadu a dehongli'r graffiau canlynol: Graffiau trawsnewid Graffiau teithio Graffiau eraill sy'n disgrifio sefyllfaoedd mewn bywyd go iawn.

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae graffiau trosi yn cynrychioli'r berthynas uniongyrchol rhwng dwy uned wahanol. Er enghraifft, i drosi milltiroedd i gilometrau, rydym yn defnyddio ffactor trosi lle mae 5 milltir yn hafal i 8 cilomedr. Mae graff trosi yn graff llinell syth sy'n pasio drwy'r tarddbwynt, sy'n ein galluogi i ddod o hyd i werthoedd trwy ddarllen ar draws o un echelin ac i lawr i un arall. Os yw 10 milltir yn 16 cilomedr, mae'r pwynt (10, 16) ar y llinell sy'n dechrau yn (0, 0).
    • Mae graffiau teithio, a elwir yn aml yn graffiau pellter-amser, yn dangos sut mae pellter o bwynt cychwyn yn newid dros amser. Mae llethr y llinell yn cynrychioli cyflymder, wedi'i gyfrifo fel newid mewn pellter wedi'i rannu â newid mewn amser. Er enghraifft, os yw car yn teithio 60 cilomedr mewn 1.5 awr, mae ei gyflymder cyfartalog yn 60 wedi'i rannu â 1.5, sy'n rhoi 40 cilomedr yr awr. Cynrychiolir cyfnodau llonydd gan linellau llorweddol lle mae'r pellter yn aros yn gyson.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I lunio graff trosi, crëwch dabl o werthoedd. Os yw 1 Punt Prydeinig yn hafal i 1.25 Ewro, marciwch (0, 0), (10, 12.5), a (20, 25) ar blân cyfesurynnol gyda Phunt ar yr echelin-x ac Ewro ar yr echelin-y. Tynnwch linell syth drwy'r pwyntiau hyn. I'w ddefnyddio, dewch o hyd i 15 ar yr echelin-x, symudwch yn fertigol i'r llinell, yna'n llorweddol i'r echelin-y i ddarllen tua 18.75 Ewro.
    • I ddehongli graff teithio, nodwch segmentau. Tybiwch fod person yn cerdded 4 cilomedr mewn 1 awr (segment A), yn gorffwys am 0.5 awr (segment B, llorweddol), ac yn cerdded yn ôl 4 cilomedr mewn 1 awr (segment C). Mae graddiant segment A yn 4/1 = 4 km/a. Mae graddiant segment C yn -4/1 = -4 km/a, sy'n cynrychioli cyflymder y daith yn ôl. Cyfanswm y pellter a deithiwyd yw 8 cilomedr dros 2.5 awr.

    Mewn iaith syml

    Mae graffiau yn ein helpu i ddelweddu perthnasoedd fel trosi arian cyfred neu gynnydd taith trwy fapio gwerthoedd fel cyfesurynnau ar grid a defnyddio llethrau i egluro cyfraddau newid.

    Hunanwirio

    Mae car yn teithio ar gyflymder cyson o 30 metr yr eiliad am 10 eiliad. Beth yw cyfanswm y pellter a gwmpesir?

    Dangos yr ateb

    Pellter = cyflymder wedi'i luosi ag amser. Mae 30 metr yr eiliad wedi'i luosi â 10 eiliad yn hafal i 300 metr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §2.5.2 foundation. Tudalennau PDF 28: dehongli cynrychioliadau graffigol sy'n cael eu defnyddio yn y cyfryngau, gan gydnabod y gall rhai graffiau fod yn gamarweiniol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae graffiau yn y cyfryngau wedi'u cynllunio i gyfleu gwybodaeth yn gyflym, ond gallant fod yn gamarweiniol. Un tric cyffredin yw trin graddfa'r echelin fertigol. Os nad yw echelin yn dechrau ar sero, mae gwahaniaethau bach rhwng pwyntiau data yn ymddangos yn llawer mwy nag ydynt mewn gwirionedd. Mae hyn yn gor-ddweud effaith weledol tueddiadau data, a allai achosi i wylwyr dynnu casgliadau anghywir am raddfa'r newid.
    • Dull arall a ddefnyddir i gamarwain yw defnyddio gwrthrychau 3D i gynrychioli data 1D. Pan gaiff gwrthrych fel bar ei ddisodli â chyfaint 3D, mae dyblu uchder y gwrthrych hefyd yn lluosi ei led a'i ddyfnder. O ganlyniad, mae'r cyfaint yn cynyddu o ffactor o 8 yn hytrach na 2, gan wneud i'r data ymddangos yn llawer mwy arwyddocaol nag y mae'r gwerthoedd gwirioneddol yn ei awgrymu. Gwiriwch y raddfa, y labeli, a'r llinell sylfaen o bob siart bob amser.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Wrth ddadansoddi graffiau'r cyfryngau, gwiriwch yr echelin fertigol yn gyntaf. Os yw siart bar yn cymharu gwerthiannau yn dangos 100 o unedau yn erbyn 110 o unedau ond yn dechrau'r echelin-y ar 90, mae'r gwahaniaeth yn edrych yn enfawr, ond dim ond cynnydd o 10 y cant ydyw. Archwiliwch y cynyddiadau graddfa. A ydynt yn unffurf? Os yw'r bylchau rhwng marciau yn anghyson, mae'r cynrychioliad wedi'i ystumio. Chwiliwch am y rhifau gwirioneddol wedi'u hysgrifennu ar y graff bob amser.
    • Gwiriwch am anghysondebau gweledol. Os yw pictogram yn defnyddio eiconau o wahanol feintiau i ddangos twf, byddwch yn ymwybodol bod arwynebedd neu gyfaint yn newid yn esbonyddol o'i gymharu ag uchder. Ar gyfer set ddata lle mae Blwyddyn 1 yn 5 uned a Blwyddyn 2 yn 10 uned, mae graffig sy'n cynrychioli Blwyddyn 2 sydd ddwywaith mor dal a dwywaith mor llydan yn edrych bedair gwaith yn fwy mewn gwirionedd. Dibynnwch ar y data rhifiadol crai yn hytrach na'r maint gweledol bob amser.

    Mewn iaith syml

    Gall graffiau cyfryngau weithiau ystumio ffeithiau trwy newid graddfeydd neu ddefnyddio delweddau camarweiniol. Edrychwch ar rifau'r echelin a'r gwerthoedd sylfaen bob amser yn hytrach na dim ond y siâp gweledol.

    Hunanwirio

    Mae siart bar yn dangos dau far. Mae Bar A yn 2cm o daldra yn cynrychioli 50 o ymwelwyr. Mae Bar B yn 4cm o daldra yn cynrychioli 55 o ymwelwyr. Pam y gallai'r siart hwn gael ei ystyried yn gamarweiniol?

    Dangos yr ateb

    Mae'r siart yn dyblu'r uchder ar gyfer cynnydd rhifiadol bach iawn o 5 ymwelydd. Oherwydd nad yw'r echelin yn dechrau ar 0, mae'n creu synnwyr ffug o wahaniaeth mawr.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §2.5.3 higher. Tudalennau PDF 28: llunio a defnyddio tangiadau i gromliniau i amcangyfrif cyfraddau newid ar gyfer ffwythiannau aflinol, a defnyddio mesurau cyfansawdd priodol i fynegi’r canlyniadau, gan gynnwys darganfod y felosedd mewn graffiau pellter- amser a chyflymiad mewn graffiau felosedd-amser

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae graddiant tangiad yn rhoi cyfradd newid ar unwaith ar ei bwynt cyswllt â chromlin. Mae secant trwy ddau bwynt ar y gromlin yn rhoi'r gyfradd gyfartalog ar draws y cyfwng hwnnw yn lle hynny. Tynnwch dangiad sy'n dilyn cyfeiriad lleol y gromlin; nid yw o reidrwydd yn llinell nad yw byth yn croesi'r gromlin yn rhywle arall.
    • Ar graff pellter-amser, graddiant y tangiad yw’r buanedd ar y foment honno. Ar graff dadleoliad-amser, cyflymder yw’r graddiant, ac ar graff cyflymder-amser, cyflymiad yw’r graddiant. Defnyddiwch y labeli echelin a’r unedau i nodi’r gyfradd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae tangiad ar t=5 s ar gromlin pellter-amser yn pasio trwy (4,10) a (6,20), gyda phellter mewn metrau. Defnyddiwch y ddau bwynt hyn ar y tangiad, nid dau bwynt cromlin fympwyol: graddiant = (20−10)/(6−4) = 5 m/s.
    • Ar gyfer v=t², mae gan dangiad ar (2,4) hafaliad v=4t−4. Dau bwynt ar y tangiad hwn yw (1,0) a (3,8), felly cyflymiad ar unwaith = (8−0)/(3−1) = 4 m/s². Mewn cyferbyniad, mae'r secant trwy bwyntiau cromlin (2,4) a (4,16) yn rhoi cyflymiad cyfartalog (16−4)/(4−2) = 6 m/s² ar draws y cyfwng hwnnw.

    Mewn iaith syml

    Ar gyfer cyfradd ar un eiliad, darllenwch ddau bwynt clir ar y tangiad. Ar gyfer cyfradd gyfartalog, defnyddiwch ddau bwynt ar y gromlin.

    Hunanwirio

    Mae tangiad ar graff cyflymder-amser yn mynd trwy (2 eiliad, 6 m/s) a (5 eiliad, 12 m/s). Pa gyflymiad y mae hyn yn ei gynrychioli?

    Dangos yr ateb

    (12−6)/(5−2) = 6/3 = 2 m/s².

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §2.5.4 higher. Tudalennau PDF 28: dehongli ystyr yr arwynebedd o dan graff, gan gynnwys yr arwynebedd o dan graff felosedd-amser a graffiau mewn cyd-destunau ymarferol eraill

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae arwynebedd o dan graff cyfradd yn rhoi’r swm cronedig: mae llif mewn litrau yr eiliad × amser mewn eiliadau yn rhoi litrau. Ar gyfer graff cyflymder-amser, mae arwynebedd ag arwydd yn rhoi dadleoliad. Os yw cyflymder yn an-negyddol trwy’r amser, mae hyn hefyd yn hafal i bellter a deithiwyd. Ar gyfer cyflymder negyddol, adiwch faint yr arwynebeddau i ddod o hyd i gyfanswm y pellter yn lle hynny.
    • Rhannwch graff sy’n cynnwys llinellau syth sy’n cysylltu i mewn i betryalau, trionglau a thrapesoidau. Arwynebedd petryal = sylfaen × uchder; arwynebedd triongl = ½ × sylfaen × uchder; arwynebedd trapesoid = ½ × (swm yr ochrau cyfochrog) × pellter perpendicwlar rhyngddynt. Gwiriwch yr unedau drwy luosi’r unedau ar y ddwy echel.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae cyflymder yn codi’n unffurf o 0 i 10 m/s mewn 5 eiliad. Mae’r graff yn ffurfio triongl gyda sylfaen 5 eiliad ac uchder 10 m/s. Dadleoliad = ½ × 5 × 10 = 25 m. Mae cyflymder yn parhau’n an-negyddol, felly mae’r pellter hefyd yn 25 m.
    • Mae cyflymder yn gostwng yn unffurf o 8 i 4 m/s dros 4 eiliad. Mae’r arwynebedd yn drapesoid: ½ × (8 + 4) × 4 = 24 m. Mae pwmp yn cyflenwi 3 litr/eiliad am 20 eiliad: mae gan y petryal o dan ei graff cyfradd-amser arwynebedd o 3 × 20 = 60 litr.

    Mewn iaith syml

    Mae’r arwynebedd yn cyfuno cyfradd â pha mor hir y mae’n gweithredu. Penderfynwch pa faint ac unedau y mae’r arwynebedd yn eu cynrychioli cyn cyfrifo.

    Hunanwirio

    Mae cerbyd yn teithio ar +10 m/s am 6 eiliad, yna −5 m/s am 2 eiliad. Dewch o hyd i’w ddadleoliad a’i gyfanswm pellter.

    Dangos yr ateb

    Dadleoliad = 10 × 6 + (−5) × 2 = 50 m. Cyfanswm pellter = 60 + 10 = 70 m.

    Gweld diagramau

    Arwynebedd o dan graff cyflymder-amser

    1005Amser (s)Cyflymder (m/s)25 m
    Allwedd a disgrifiad

    Mae cyflymder yn cynyddu’n unffurf o 0 i 10 m/s dros 5 s. Mae gan y triongl wedi’i liwio sylfaen 5 s ac uchder 10 m/s: dadleoliad = ½ × 5 × 10 = 25 m. Gan fod y cyflymder yn annegyddol, mae’r pellter a deithiwyd hefyd yn 25 m.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §2.5.5 higher. Tudalennau PDF 28: defnyddio'r rheol trapesiwm i amcangyfrif yr arwynebedd o dan gromlin

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Rhannwch gyfwng yn stribedi o led cyfartal. Amnewidiwch bob rhan o’r gromlin â segment syth, fel bod yr arwynebedd oddi tano yn drapesoid. Adiwch yr arwynebeddau hyn i amcangyfrif y cyfanswm. Mae’r canlyniad yn fras, nid yr arwynebedd crwm union.
    • Ar gyfer n o stribedi o led h ac ordinadau y₀, y₁, …, yₙ, amcangyfrifwch yr arwynebedd trwy ½h[y₀ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁) + yₙ]. Mae’r ddau werth terfynol yn ymddangos unwaith; mae pob gwerth mewnol yn ymddangos ddwywaith. Fel arfer, mae stribedi llai yn gwella’r amcangyfrif ar gyfer cromlin esmwyth.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer y = x² o x = 0 i 2 gan ddefnyddio pedwar stribed, h = 0.5. Mae’r gwerthoedd yn x = 0, 0.5, 1, 1.5, 2 yn 0, 0.25, 1, 2.25, 4. Yr amcangyfrif yw 0.25[0 + 2(0.25 + 1 + 2.25) + 4] = 0.25 × 11 = 2.75 uned sgwâr.
    • Gan ddefnyddio wyth stribed, h = 0.25 ac mae’r gwerthoedd mewnol yn 0.0625, 0.25, 0.5625, 1, 1.5625, 2.25, 3.0625. Eu swm yw 8.75. Yr amcangyfrif yw 0.125[0 + 2 × 8.75 + 4] = 2.6875 uned sgwâr. Mae hyn yn agosach i’r arwynebedd union o 8/3 ≈ 2.6667 na’r amcangyfrif pedwar stribed.

    Mewn iaith syml

    Cyfrifwch bob ordinad, dyblwch y rhai mewnol, a chadwch y ddau bwynt terfyn unwaith.

    Hunanwirio

    Amcangyfrifwch yr arwynebedd o dan y = x² o x = 0 i 1 gan ddefnyddio dau stribed.

    Dangos yr ateb

    h = 0.5; y gwerthoedd yw 0, 0.25, 1. Amcangyfrif = 0.25[0 + 2 × 0.25 + 1] = 0.375 uned sgwâr.

    Gweld diagramau

    Pedwar stribed trapesiwm o dan y = x²

    00.511.524xyy = x²h = 0.5
    Allwedd a disgrifiad

    O x=0 i 2 y lled yw h=0.5 a’r cyfesurynnau y yw 0, 0.25, 1, 2.25, 4. Mae topiau syth y pedwar stribed yn amcangyfrif y gromlin. Cyfanswm yr arwynebedd amcangyfrifedig = ½ × 0.5[0 + 2(0.25+1+2.25) + 4] = 2.75 uned sgwâr.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.

Grŵp testun

Geometreg a mesur

53 pwyntiau adolygu
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.1.1 foundation; Unit 2 §3.1.1 foundation; Unit 3 §3.1.1 foundation. Tudalennau PDF 29: Termau geometrig, gan gynnwys: pwynt, llinell a phlân llorweddol, fertigol, croeslin canolbwynt paralel a pherpendicwlar troadau clocwedd a gwrthglocwedd onglau llym, aflym, atblyg, onglau sgwâr, onglau syth, tro llawn onglau allanol, mewnol wynebau, ymylon a fertigau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Diffinnir priodweddau geometrig gan berthnasoedd penodol rhwng pwyntiau, llinellau, ac awyrennau. Mae pwynt yn cynrychioli lleoliad manwl, tra bod llinell yn ymestyn yn anfeidrol i ddau gyfeiriad. Mae awyren yn arwyneb gwastad dwy-ddimensiwn. Mae onglau yn diffinio'r cylchdro rhwng dau belydryn sy'n croesi, wedi'u mesur mewn graddau. Er enghraifft, mae ongl sgwâr yn union 90 gradd, mae ongl lem yn llai na 90 gradd, ac mae ongl aflem rhwng 90 a 180 gradd. Mae onglau atblygol yn mesur rhwng 180 a 360 gradd.
    • Disgrifir perthnasoedd gofodol gan ddefnyddio termau fel paralel, lle nad yw llinellau byth yn cyfarfod, a pherpendicwlar, lle mae llinellau yn cyfarfod ar 90 gradd. Mae pwynt canol yn rhannu segment llinell yn ddwy hyd gyfartal. Mae troi yn golygu cylchdro, lle mae tro clocwedd yn mynd i gyfeiriad dwylo'r cloc a gwrthglocwedd i'r cyfeiriad arall. Mae gan wrthrychau tri-ddimensiwn wynebau (arwynebau gwastad), ymylon (llinellau lle mae wynebau yn cyfarfod), a fertigau (pwyntiau lle mae ymylon yn cyfarfod). Mae onglau mewnol yn gorwedd o fewn ffin siâp, tra bod onglau allanol yn cael eu ffurfio trwy ymestyn ochr.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i bwynt canol, cyfrifwch gyfartaledd y cyfesurynnau. O ystyried pwyntiau A yn (2, 4) a B yn (6, 8), y pwynt canol M yw ((2+6)/2, (4+8)/2) = (4, 6). Mae'r pellter o A i M yn ail isradd o ((4-2) wedi'i sgwario + (6-4) wedi'i sgwario) = ail isradd o 8, sy'n fras 2.83 o unedau. Mae hyn yn dangos cymhwyso geometreg cyfesurynnau i ddod o hyd i bwynt canol segment ar blân Cartesaidd.
    • I fesur onglau mewn siâp, defnyddiwch brotracter i ddod o hyd i raddau'r cylchdro. Ar gyfer triongl gyda fertigau yn (0, 0), (4, 0), a (0, 3), mae'r ongl fewnol yn (0, 0) yn 90 gradd. Mae symudiad clocwedd o (0, 3) o amgylch y tarddiad o 90 gradd yn mapio i (3, 0). Rhaid i'r onglau mewnol swmio i 180 gradd. Mae tro llawn yn cynrychioli 360 gradd, sy'n hafal i bedwar ongl sgwâr.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn ymdrin â'r eirfa a'r priodweddau sylfaenol a ddefnyddir i ddisgrifio geometreg, megis llinellau, onglau, a rhannau o wrthrychau 3D fel wynebau a fertigau.

    Hunanwirio

    Beth yw pwynt canol segment llinell sy'n cysylltu (1, 2) a (5, 6)?

    Dangos yr ateb

    Y pwynt canol yw (3, 4) wedi'i gyfrifo fel ((1+5)/2, (2+6)/2).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.1.2 foundation; Unit 2 §3.1.2 foundation; Unit 3 §3.1.2 foundation. Tudalennau PDF 30: Geirfa a phriodweddau hanfodol siapiau 2 ddimensiwn, gan gynnwys: trionglau – anghyfochrog, isosgeles, hafalochrog, ongl sgwâr pedrochrau – sgwâr, petryal, paralelogram, rhombws, barcud, trapesiwm polygonau – gan gynnwys pentagon, hecsagon, octagon, rheolaidd ac afreolaidd cylchoedd – radiws, diamedr, tangiad, cylchedd, cylchyn, cord, arc, sector, segment.

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae siapiau dwy-ddimensiwn yn cael eu categoreiddio yn ôl eu hochr, onglau, a chymesuredd cylchdro. Mae trionglau yn cael eu dosbarthu fel sgalen (dim ochrau cyfartal), isosceles (dwy ochr gyfartal), hafalochrog (tair ochr gyfartal), neu ongl sgwâr. Mae cwadri-ochrau yn cynnwys sgwariau, petryalau, paralelogramau, rhombi, barcudiaid, a thrapesiwmydd, pob un yn meddu ar briodweddau penodol ynghylch ochrau paralel a swm onglau. Mae polygonau yn ffigurau aml-ochrog; mae gan bolygonau rheolaidd ochrau ac onglau cyfartal, tra nad oes gan bolygonau afreolaidd.
    • Mae cylchoedd yn gofyn am eirfa benodol: y radiws yw'r pellter o'r canol i'r ymyl, y diamedr yw dwywaith y radiws, y gylchedd yw'r perimedr, ac mae cord yn cysylltu dau bwynt ar y gylchedd. Mae tangiadau yn cyffwrdd â'r cylch ar union un pwynt, tra bod arcau yn segmentau o'r gylchedd. Mae sectorau yn rhanbarthau tebyg i dafell wedi'u cyfyngu gan ddau radiws ac arc, ac mae segmentau yn rhanbarthau wedi'u cyfyngu gan gord ac arc. Mae'r diffiniadau hyn yn hanfodol ar gyfer cyfrifo ardaloedd a pherimedrau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddosbarthu triongl gydag ochrau 3 cm, 4 cm, a 5 cm, defnyddiwch theorem Pythagoras: 3 wedi'i sgwario + 4 wedi'i sgwario = 9 + 16 = 25. Gan fod 5 wedi'i sgwario = 25, mae hyn yn cadarnhau triongl ongl sgwâr. Mae cyfrifo'r perimedr yn 3 + 4 + 5 = 12 cm. Ar gyfer cylch gyda radiws o 7 cm, mae'r diamedr yn 2 waith 7 = 14 cm, ac mae'r gylchedd yn 2 waith pi waith 7 = 43.98 cm, gan ddefnyddio pi fel 3.14159.
    • Ar gyfer cwadri-ochr gyda fertigau A(0,0), B(4,0), C(6,3), a D(2,3), gwerthuswch ochrau paralel. Mae llethr AB yn 0. Mae llethr DC yn (3-3)/(6-2) = 0. Gan fod llethrau yn cyfateb, mae AB yn baralel i DC. Mae llethr AD yn (3-0)/(2-0) = 1.5. Mae llethr BC yn (3-0)/(6-4) = 1.5. Gan fod y ddau bâr o ochrau gyferbyn yn baralel, mae hwn yn baralelogram. Ardal yw sylfaen (4 cm) waith uchder (3 cm) = 12 cm sgwâr.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn manylu ar enwau a phriodweddau geometrig unigryw siapiau dwy-ddimensiwn gwahanol gan gynnwys trionglau, cwadri-ochrau, polygonau, a chylchoedd.

    Hunanwirio

    Pa fath o gwadri-ochr sydd â fertigau (0,0), (4,0), (5,2), a (1,2)?

    Dangos yr ateb

    Mae'n baralelogram oherwydd bod ochrau gyferbyn yn baralel gyda llethrau o 0 a 2.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.1.3 foundation; Unit 2 §3.1.3 foundation; Unit 3 §3.1.3 foundation. Tudalennau PDF 30: Geirfa a phriodweddau hanfodol siapiau 3 dimensiwn gan gynnwys ciwb, ciwboid, silindr, prism, pyramid, côn, sffêr, tetrahedron

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae siapiau tri-ddimensiwn yn bodoli mewn gofod ac yn meddu ar gyfaint, ardal arwyneb, a nodweddion geometrig penodol fel wynebau, ymylon, a fertigau. Mae gan giwb chwe wyneb sgwâr, wyth fertig, a deuddeg ymyl gyfartal. Mae gan giwboyd wynebau petryalog. Mae silindr yn cynnwys dau wyneb crwn ac arwyneb crwm. Mae gan brismau drawstoriad cyson trwy eu hyd, tra bod pyramidau yn culhau i un pwynt brig. Mae gan gonau un sylfaen grwn ac arwyneb crwm sy'n cyfarfod ar bwynt, mae sffêr yn hollol grwn, ac mae tetraedrau yn pyramidau wedi'u seilio ar driongl.
    • Mae deall y siapiau hyn yn golygu dadansoddi eu rhwydi, sef patrymau 2D sy'n plygu i wrthrychau 3D, a chyfrifo eu priodweddau gan ddefnyddio dimensiynau. Er enghraifft, mae cyfaint ciwboid yn cael ei ddarganfod trwy luosi ei hyd, ei led, a'i uchder. Mae cyfeiriadedd a phriodweddau'r siapiau hyn yn sylfaenol ar gyfer datrys problemau gofodol. Mae gan bob siâp briodweddau cymesuredd unigryw sy'n diffinio sut y gellir eu cylchdroi neu eu hadlewyrchu heb newid eu hymddangosiad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch gyfaint ciwboid gyda hyd 5 cm, lled 3 cm, ac uchder 4 cm. Cyfaint = hyd waith lled waith uchder = 5 waith 3 waith 4 = 60 cm ciwbig. I ddod o hyd i'r ardal arwyneb, cyfrifwch ardal yr holl wynebau: 2 waith (5 waith 3) + 2 waith (5 waith 4) + 2 waith (3 waith 4) = 30 + 40 + 24 = 94 cm sgwâr.
    • Ar gyfer silindr gyda radiws 2 cm ac uchder 10 cm, mae'r cyfaint yn pi waith radiws wedi'i sgwario waith uchder = 3.14159 waith 4 waith 10 = 125.66 cm ciwbig. Mae'r ardal arwyneb yn cynnwys dwy sylfaen grwn ac arwyneb ochr petryalog. Ardal gyfanswm = (2 waith pi waith radiws wedi'i sgwario) + (2 waith pi waith radiws waith uchder) = (2 waith 3.14159 waith 4) + (2 waith 3.14159 waith 2 waith 10) = 25.13 + 125.66 = 150.79 cm sgwâr.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn esbonio nodweddion gwrthrychau 3D fel ciwbiau, silindrau, a pyramidau, a sut i ddefnyddio eu dimensiynau i gyfrifo cyfaint ac ardal arwyneb.

    Hunanwirio

    Beth yw cyfaint ciwb gyda hyd ymyl o 3 cm?

    Dangos yr ateb

    Y cyfaint yw 3 wedi'i giwbio = 27 cm ciwbig.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.2.1 foundation; Unit 3 §3.2.1 foundation. Tudalennau PDF 31: mesur a lluniadu'n fanwl gywir: llinell syth cylch neu arc cylch ongl o unrhyw faint.

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I fesur a lluniadu llinell syth, defnyddiwch bren mesur tryloyw. Alinio'r marciau sero ar y pwynt cychwyn a darllen y raddfa i'r hyd dymunol mewn centimetrau neu filimetrau. Er enghraifft, i dynnu llinell 7.5 cm, marciwch bwynt ar 0, rhowch ymyl y pren mesur yn union yn erbyn y papur, a marciwch bwynt arall ar 7.5. Cysylltwch y rhain â strôc pensil gadarn.
    • Mesurir onglau gan ddefnyddio protractor. Rhowch ganol y protractor ar y fertig ac alinio'r llinell sylfaen gydag un o'r pelydrau. Darllenwch y raddfa gan ddechrau o sero i'r pwynt lle mae'r ail belydryn yn croesi'r arc. Wrth dynnu ongl o 55 gradd, marciwch y fertig, tynnwch belydryn llinell sylfaen, alinio canol y protractor, marciwch 55 gradd ar y raddfa, a thynnwch yr ail belydryn trwy'r marc hwnnw.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I dynnu cylch gyda radiws o 4 cm, gosodwch eich cwmpawd i 4 cm trwy fesur yn erbyn pren mesur. Rhowch bwynt y cwmpawd ar y papur ar bwynt canol, cadwch y cwmpawd yn llonydd, a chylchdroi pen y pensil o gwmpas i ffurfio'r perimedr. Ar gyfer arc, dilynwch yr un camau ond tynnwch ran angenrheidiol y cylchedd yn unig.
    • Ymarferwch fesur ongl rhwng dau segment AB ac AC. Rhowch ganol y protractor yn A. Aliniwch 0 gradd gydag AB. Os yw'r ongl yn 110 gradd, lleolwch 110 ar y raddfa fewnol neu allanol yn ôl yr angen. Tynnwch y pelydryn AC. Gwirio cywirdeb trwy sicrhau bod y siâp yn adlewyrchu'r mesuriad arfaethedig, gan sicrhau bod y llinell bensil yn denau ar gyfer cywirdeb.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn ymdrin â defnyddio offer sylfaenol i greu a mesur llinellau, siapiau, ac onglau yn gywir.

    Hunanwirio

    Tynnwch linell o 5.2 cm ac ongl o 40 gradd. Beth yw'r hyd a'r ongl?

    Dangos yr ateb

    Mae'r llinell yn mesur 5.2 cm gyda phren mesur. Mae'r ongl yn mesur 40 gradd gan ddefnyddio protractor.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.2.2 foundation. Tudalennau PDF 31: defnyddio pren mesur ac onglydd i luniadu'n fanwl gywir: hanerydd ongl hanerydd llinell berpendicwlar siapiau 2 ddimensiwn o wybodaeth a roddir am hyd ochrau ac, os yw'n briodol, yr onglau (bydd angen cwmpawdau i luniadu trionglau pan fydd tri hyd ochr yn hysbys) locws pwynt sy'n symud fel ei fod yn bodloni amodau penodol, gan gynnwys: pellter penodol o bwynt neu linell sefydlog (bydd angen cwmpawdau) cytbell o ddau bwynt neu ddwy linell sefydlog.

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae haner-lein berpendicwlar yn mynd trwy ganolbwynt segment ar 90°. Mae pob pwynt arno yr un pellter oddi wrth y ddau ben. Defnyddiwch yr un radiws cwmpawd, sy’n fwy na hanner hyd y segment, i dynnu arcau o bob pen uwchben ac islaw’r segment; ymunwch â’u croestoriadau.
    • I haneru ongl, tynnwch arc wedi’i ganoli ar ei fertig sy’n torri’r ddwy fraich. O’r ddau groestoriad hynny, tynnwch arcau croestoriadol o radiws cyfartal. Ymunwch â’u croestoriad i’r fertig gwreiddiol. Ar gyfer llinell berpendicwlar ar bwynt ar linell, marciwch bellteroedd cyfartal ar y llinell naill ochr i’r pwynt a hanerwch y segment newydd hwnnw. Gadewch yr arcau adeiladu yn weladwy.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Adeiladwch haner-lein berpendicwlar PQ gyda P(0,0) a Q(4,0), gan ddefnyddio agoriadau cwmpawd cyfartal sy’n fwy na 2 uned. Mae gan y ddau groestoriad arc x = 2 ond mae eu gwerthoedd y yn dibynnu ar agoriad y cwmpawd. Mae eu huno yn rhoi x = 2. Os yw’r agoriad yn √8 uned, y croestoriadau yn benodol yw (2,2) a (2,−2).
    • Ar gyfer ongl 60° yn A, tynnwch gylch wedi’i ganoli yn A a marciwch B arno. Gyda’r un agoriad cwmpawd tynnwch gylch wedi’i ganoli yn B a dewiswch groestoriad C. Mae triongl ABC yn hafalochrog, felly ∠BAC = 60°. Hanerwch yr ongl honno i adeiladu 30°. Peidiwch â gosod radiws cwmpawd trwy ddyfalu cyfesurynnau’r croestoriad terfynol.

    Mewn iaith syml

    Mae arcau o radiws cyfartal yn gorfodi bellteroedd cyfartal. Mae eu croestoriadau yn pennu’r adeiladwaith yn hytrach na bod yn bwyntiau mympwyol.

    Hunanwirio

    Pam mae’n rhaid i radiws y cwmpawd fod yn fwy na hanner hyd segment wrth adeiladu ei haner-lein berpendicwlar?

    Dangos yr ateb

    Rhaid i’r cylchoedd o radiws cyfartal gwrdd mewn dau bwynt gwahanol ar ochrau croes y segment. Nid yw radiws llai yn rhoi croestoriad; mae union hanner yn rhoi’r canolbwynt yn unig.

    Gweld diagramau

    Lluniadau â chwmpawd a phren mesur

    Biser perpendicwlarABCDMBiser onglOPQRArcau cyfartal yn marcio’r croestoriadau
    Allwedd a disgrifiad

    Biser y berpendicwlar: mae arcau o radiws cyfartal o A a B yn cyfarfod yn C a D; mae CD yn croesi AB yn ei ganolbwynt M ar 90°. Biser ongl: mae arc o O yn croesi’r ddwy fraich yn P a Q; mae arcau o radiws cyfartal o P a Q yn cyfarfod yn R; mae OR yn haneru’r ongl.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.2.3 foundation. Tudalennau PDF 31: datrys problemau sy'n ymwneud â loci croestoriadol mewn dau ddimensiwn – bydd hyn yn cynnwys nodi rhanbarthau sy'n bodloni amodau penodol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae problemau loci croestoriadol yn golygu dod o hyd i ranbarthau penodol sy'n bodloni amodau lluosog ar yr un pryd. Er enghraifft, efallai y gofynnir i chi gysgodi'r rhanbarth lle mae pwynt llai na 3 cm o bwynt A(0,0) A yn nes at linell L1 na llinell L2. Datryswyd y problemau hyn trwy fraslunio'r ddau locws unigol ar yr un set o echelinau a nodi'r ardal sy'n gorgyffwrdd.
    • Mae amodau'n aml yn cynnwys anhafaleddau. Mae rhanbarth 'llai na phellter d' y tu mewn i gylch neu ofod rhwng llinellau. Y croestoriad yw'r set o bwyntiau sy'n perthyn i'r ddwy set resymegol. Gwiriwch amodau ffin bob amser; os yw'r amod yn 'llai na', mae'r ffin fel arfer wedi'i heithrio, sy'n cael ei gynrychioli gan linell ddotiog ar eich braslun.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ystyriwch bwyntiau P(0,0) a Q(4,0). Nodi'r rhanbarth lle mae pwyntiau o fewn 2 cm o P ac o fewn 3 cm o Q. Yn gyntaf, tynnwch gylch gyda radiws 2 wedi'i ganoli yn (0,0). Yn ail, tynnwch gylch gyda radiws 3 wedi'i ganoli yn (4,0). Y rhanbarth sy'n bodloni'r ddau amod yw'r gorgyffwrdd o'r ddau ddisg crwn hyn.
    • Cyfrifwch ffin y croestoriad. Mae gan y cylchoedd hafaliadau x^2 + y^2 = 4 a (x-4)^2 + y^2 = 9. Datryswch ar gyfer pwyntiau croestoriad: x^2 - (x-4)^2 = 4 - 9, sy'n symleiddio i 8x - 16 = -5, felly 8x = 11, x = 1.375. Amnewidiwch x yn ôl i ddod o hyd i y: y^2 = 4 - (1.375)^2 = 4 - 1.890625 = 2.109375, felly y = +/- 1.45. Diffinnir y gorgyffwrdd rhwng y cyfesurynnau hyn.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dysgu sut i ddod o hyd i ardaloedd ar fap neu graff sy'n bodloni dau neu ragor o reolau pellter ar yr un pryd.

    Hunanwirio

    Os rhaid i bwynt fod o fewn 2 uned o (0,0) ac o fewn 2 uned o (2,0), a yw'r pwynt (1, 1.5) yn bodloni hyn?

    Dangos yr ateb

    Mae'r pellter i (0,0) yn sqrt(1^2+1.5^2) = 1.8 < 2. Mae'r pellter i (2,0) yn sqrt((1-2)^2+1.5^2) = 1.8 < 2. Ydy, mae'n bodloni'r ddau.

    Gweld diagramau

    Croestoriad locws llinol a chylchol

    AB(2, √5)(2, −√5)x = 2x > 2xy
    Allwedd a disgrifiad

    A = (0, 0), B = (4, 0). Mae’r locws llinell x = 2 yn croestorri’r cylch â chanol A a radiws 3 yn (2, √5) ac (2, −√5). Yr ateb wedi’i liwio yw’r rhan y tu mewn i’r cylch ac i’r dde o x = 2: x > 2.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.3.1 foundation; Unit 3 §3.3.1 foundation. Tudalennau PDF 32: darllen a dehongli graddfeydd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Er mwyn darllen a dehongli graddfeydd llinol neu an-linol, rhaid nodi gwerth pob isaf-ran ar y raddfa yn gyntaf. Trwy dynnu dau werth mawr olynol (e.e., 10 a 20) a rhannu â nifer yr isaf-rannau rhyngddynt, byddwch yn pennu'r gwerth uned fesul graddiant. Ar gyfer pren mesur neu fesurydd cyflymder, sicrhewch fod yr uned fesur yn gyson â'r cyd-destun, megis milimetrau, centimetrau, neu gilometrau yr awr.
    • Wrth ymdrin ag offeryn mesuryddion, rhowch sylw i'r man cychwyn sero. Os yw nodwydd yn pwyntio rhwng 40 a 50 ar fesurydd gyda phedwar isaf-ran cyfartal, mae pob isaf-ran yn hafal i 2.5 uned. Felly, mae darlleniad ar yr ail farc yn 40 + (2 * 2.5) = 45 uned. Mae dehongliad cywir yn dibynnu ar arsylwi gofalus ar fan cychwyn y raddfa a gwerth cynyddol pob marc, gan sicrhau bod unedau yn cael eu hychwanegu'n glir at y canlyniad sgalar terfynol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Archwiliwch raddfa dymheredd llinol lle mae 0 gradd Celsius a 10 gradd Celsius yn cael pum isaf-ran rhyngddynt. Cyfrifwch werth un isaf-ran: (10 - 0) / 5 = 2 radd Celsius fesul marc. Os yw'r hylif yn y thermomedr yn gorffwys ar y trydydd marc, y darlleniad yw 0 + (3 * 2) = 6 gradd Celsius. Gwnewch y prawf rhannu bob amser i osgoi tybio bod pob graddfa wedi'i marcio mewn unedau sengl.
    • Ystyriwch raddfa bwysau wedi'i marcio yn 0 kg, 5 kg, a 10 kg gyda deg isaf-ran rhwng 0 a 5. Cyfrifwch: (5 - 0) / 10 = 0.5 kg fesul isaf-ran. Os yw'r pwyntydd yn gorffwys ar y 7fed marc, y pwysau cyfanswm yw 7 * 0.5 = 3.5 kg. Defnyddiwch y rhesymeg hon i unrhyw fesurydd ansafonol trwy wirio'r ystod gyfanswm (max - min) a rhannu â chyfrif y bylchau rhwng y marciau.

    Mewn iaith syml

    Mae darllen graddfa yn ymwneud â darganfod beth mae pob dash bach yn werth. Rydych chi'n dod o hyd i'r bwlch rhwng dau rif ar y raddfa, yn cyfrif faint o linellau bach sydd rhyngddynt, ac yn rhannu'r bwlch â'r nifer hwnnw.

    Hunanwirio

    Mae graddfa yn mynd o 0 i 20 cm gyda 8 isaf-ran cyfartal. Beth yw gwerth 5 isaf-ran?

    Dangos yr ateb

    Mae pob isaf-ran yn 2.5 cm (20 / 8 = 2.5). Felly, mae 5 isaf-ran yn hafal i 5 * 2.5 = 12.5 cm.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.3.2 foundation; Unit 3 §3.3.2 foundation. Tudalennau PDF 32: defnyddio a dehongli mapiau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae mapiau yn defnyddio graddfeydd i gynrychioli pellteroedd byd go iawn ar arwyneb y gellir ei reoli. Mae graddfa gymhareb, megis 1:50000, yn nodi bod 1 uned ar y map yn hafal i 50,000 o'r un unedau mewn gwirionedd. I drosi pellter map i bellter go iawn, lluoswch y pellter a fesurwyd mewn centimetrau â'r ffactor graddfa. Os yw graddfa'r map yn 1 cm i 2 km, mae llinell 5 cm ar y map yn cynrychioli 10 km yn y byd go iawn (5 * 2 = 10).
    • Wrth ddehongli data mapiau, rhaid cyfrif am unedau mesur yn ofalus. Trosi centimetrau map i fetrau neu gilometrau trwy rannu â 100 ar gyfer metrau neu 100,000 ar gyfer cilometrau. Er enghraifft, mae graddfa 1:100000 yn golygu bod 1 cm yn cynrychioli 1 km. Mesurwch bob amser gan ddefnyddio ymyl syth a chyd-fynd yn fanwl â'r raddfa a ddarperir ar chwedl y map i sicrhau cywirdeb.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Nodwch y ffactor graddfa ar fap penodol, er enghraifft 1:25000. Mesurwch lwybr rhwng dau gyfesuryn, e.e., Pwynt A (x=2, y=3) a Phwynt B (x=6, y=6). Cyfrifir pellter y map gan ddefnyddio'r fformiwla pellter: sqrt((6-2)^2 + (6-3)^2) = sqrt(4^2 + 3^2) = 5 cm. Trosi hwn i fywyd go iawn: 5 cm * 25000 = 125,000 cm. Rhannwch â 100,000 i gael 1.25 km.
    • Ymarferwch drosi cymarebau i raddfeydd llafar. O ystyried cymhareb o 1:10000, mynegwch hyn fel 'mae 1 cm yn cynrychioli 100 metr' trwy rannu 10,000 cm â 100. Defnyddiwch hwn i bennu bod llinell 4.5 cm ar y map yn cyfateb i 450 metr (4.5 * 100). Defnyddiwch unedau cyson drwyddo i osgoi gwallau wrth drosi, yn enwedig wrth newid rhwng centimetrau, metrau, a chilometrau.

    Mewn iaith syml

    Mae mapiau yn defnyddio graddfeydd i ddangos ardaloedd mawr ar ddarn bach o bapur. Os yw'r map yn dweud 1:10000, mae'n golygu bod pob centimetr ar y map yn hafal i 10,000 centimetr mewn bywyd go iawn. Rydych chi'n mesur gyda phren mesur ac yna'n lluosi â'r rhif graddfa.

    Hunanwirio

    Graddfa'r map yw 1:5000. Pa mor bell yw llinell 3 cm ar y map mewn metrau?

    Dangos yr ateb

    3 * 5000 = 15,000 cm. Gan fod 100 cm = 1 metr, 15000 / 100 = 150 metr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.3.3 foundation; Unit 3 §3.3.3 foundation. Tudalennau PDF 32: dehongli a chynhyrchu lluniadau wrth raddfa; gellir ysgrifennu graddfeydd yn y ffurf mae 1 cm yn cynrychioli 5 m, neu 1:500

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae darluniau graddfa angen perthynas gyson rhwng y darlun a'r gwrthrych. Cyflwynir graddfeydd fel datganiadau llafar (mae 1 cm yn cynrychioli 5 m) neu gymarebau (1:500). I drosi rhwng y rhain, pennwch nifer y centimetrau yn yr uned darged. Os yw 1 cm yn cynrychioli 5 m, y gymhareb yw 1:500 oherwydd bod 5 m = 500 cm. Mae trosi cyson yn hanfodol ar gyfer cywirdeb.
    • I gynhyrchu darlun, diffiniwch raddfa sy'n ffitio'ch papur, mesurwch y gwrthrych, a rhannwch â'r ffactor graddfa. Ar gyfer adeilad 10 m wrth 20 m, mae graddfa 1:200 yn golygu lluniadu ochrau o 5 cm (1000 cm / 200 = 5 cm) a 10 cm (2000 cm / 200 = 10 cm). Sicrhewch fod onglau yn parhau i fod yn union yr un fath â'r gwrthrych gwreiddiol yn ystod y broses lluniadu.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Creu darlun graddfa ar gyfer ystafell betryal yn mesur 4 m wrth 6 m gan ddefnyddio graddfa 1:100. Trosi hydoedd gwirioneddol i cm: 4 m = 400 cm, 6 m = 600 cm. Rhannwch â 100 i gael hydoedd lluniadu: 400 / 100 = 4 cm a 600 / 100 = 6 cm. Tynnwch y petryal gydag ochrau o 4 cm a 6 cm. Labelwch yr holl ochrau yn glir gyda dimensiynau gwreiddiol.
    • Dehonglwch ddarlun gyda graddfa 1 cm yn cynrychioli 2 m. Os yw wal yn y darlun yn 3.5 cm o hyd, darganfyddwch yr hyd go iawn: 3.5 cm * 2 m/cm = 7 m. Defnyddiwch y dull hwn ar gyfer siapiau cyfansawdd trwy eu torri i mewn i betryalau neu drionglau. Os oes gan siâp ochr o 2.5 cm, lluoswch â'r raddfa 2 i gael y mesuriad 5 m gwirioneddol.

    Mewn iaith syml

    Mae darlun graddfa yn fersiwn fach o wrthrych go iawn. Rydych chi'n cadw'r holl siapiau'r un fath ond yn crebachu'r maint gan ddefnyddio graddfa. Os yw'r raddfa'n 1:100, mae popeth go iawn 100 gwaith yn fwy nag ar y papur.

    Hunanwirio

    Mae darlun yn defnyddio graddfa 1:200. Mae wal ar y darlun yn 5 cm. Pa mor hir yw'r wal go iawn mewn metrau?

    Dangos yr ateb

    5 * 200 = 1000 cm. Gan fod 100 cm = 1 m, mae'r wal go iawn yn 10 metr o hyd.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.3.4 foundation; Unit 3 §3.3.4 foundation. Tudalennau PDF 32: deall cyfeiriannau 3 ffigur a defnyddio'r wybodaeth hon i ddehongli a lluniadu cyfeiriannau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Defnyddir dwyn i lywio neu leoli safleoedd yn gywir. Mae dwyn 3-ffigur yn cael ei fesur yn glocwedd o'r Gogledd ac mae bob amser yn cael ei fynegi fel tri digid (e.e., 045 gradd yn lle 45 gradd). Os yw cyfeiriad yn union i'r Dwyrain, y dwyn yw 090 gradd. Os yw'n Ne-Orllewin, y dwyn yw 225 gradd, wedi'i gyfrifo trwy ychwanegu 180 gradd at ddwyn y De o 180 gradd.
    • I dynnu dwyn, tynnwch linell Gogledd yn eich man cychwyn. Defnyddiwch brotractwr i fesur yr ongl yn glocwedd o'r Gogledd. Cysylltwch y pwyntiau i ffurfio'r llinell gyfeiriad. Wrth ddehongli dwyn, cydnabyddwch fod y Gogledd yn 000 gradd/360 gradd, y Dwyrain yn 090 gradd, y De yn 180 gradd, a'r Gorllewin yn 270 gradd. Mae pob pwynt wedi'i osod o ran y Gogledd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ymarferwch gyfrifo dwyn. Mae Pwynt A i'r Gogledd o Bwynt B. Os ydych chi yn B ac yn symud tuag at A, y dwyn yw 000 gradd. Os ydych chi yn A ac yn symud tuag at B, y dwyn yw 180 gradd. Os ydych chi'n symud ar ongl 45 gradd i'r Gogledd-Dwyrain, y dwyn yw 045 gradd. Defnyddiwch brotractwr i farcio 45 gradd yn glocwedd o linell fertigol sy'n cynrychioli'r Gogledd.
    • Datrys ar gyfer dwyn gwrthdro. Os yw Pwynt B ar ddwyn 060 gradd o A, darganfyddwch ddwyn A o B. Tynnwch linellau Gogledd yn y ddau bwynt. Mae'r ongl yn A yn 60 gradd. Mae'r ongl fewnol amgen yn B yn gwneud ongl 60 gradd gyda llinell y De, felly mae dwyn A o B yn 180 + 60 = 240 gradd. Tynnwch linellau Gogledd bob amser i ddelweddu'r geometreg.

    Mewn iaith syml

    Mae dwyn yn dweud wrthych i ba gyfeiriad i fynd, wedi'i fesur yn glocwedd o'r Gogledd. Rydym bob amser yn eu hysgrifennu fel tri rhif, fel 030 gradd, i fod yn glir. Mae'r Gogledd bob amser yn 000.

    Hunanwirio

    Beth yw dwyn pwynt sydd yn y Gorllewin yn union?

    Dangos yr ateb

    Mae'r Gorllewin yn 90 gradd i'r chwith o'r Gogledd, sef 360 - 90 = 270 gradd.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.3.5 foundation. Tudalennau PDF 32: dehongli cynlluniau a golygon gwedd siapiau 3 dimensiwn

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cynlluniau a chodiadau yn darparu cynrychiolaeth 2-D o wrthrych 3-D. Y 'cynllun' yw'r olygfa o'r uchod yn union. 'Codiad blaen' yw'r olygfa o'r blaen, a 'codiad ochr' yw'r olygfa o'r ochr. Mae pob golygfa yn cael ei dynnu fel siâp gwastad. Er enghraifft, mae cynllun silindr yn gylch, ei godiad blaen yn betryal, a'i godiad ochr yn betryal.
    • Wrth edrych ar siâp 3-D fel ciwboid yn mesur 5 cm wrth 3 cm wrth 2 cm, mae'r cynllun yn betryal 5 cm wrth 3 cm. Mae'r codiad blaen yn betryal 5 cm wrth 2 cm, ac mae'r codiad ochr yn betryal 3 cm wrth 2 cm. Trwy gyfuno'r tair persbectif hyn, gallwch ail-greu dimensiynau'r siâp 3-D a'i gyfeiriadedd gofodol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Tynnwch y codiadau ar gyfer pentwr bloc. Dychmygwch siâp wedi'i adeiladu o 3 chiwb. O'r blaen, rydych chi'n gweld 3 sgwâr. O'r ochr, rydych chi'n gweld 1 sgwâr. O'r top (cynllun), rydych chi'n gweld 2 sgwâr. Brasluniwch y gridiau hyn gan ddefnyddio graddfa o 1 sgwâr = 1 cm. Sicrhewch fod yr uchderau yn cyd-fynd ar draws y codiadau; er enghraifft, rhaid i'r uchder ar y codiad blaen gyd-fynd â'r uchder ar y codiad ochr.
    • Dadansoddwch y codiadau a ddarparwyd i bennu'r siâp gwreiddiol. Blaen: petryal 4 cm wrth 3 cm. Ochr: petryal 4 cm wrth 2 cm. Cynllun: petryal 3 cm wrth 2 cm. Mae hyn yn disgrifio ciwboid o ddimensiynau 4 cm, 3 cm, a 2 cm. Defnyddiwch bapur isometrig neu bapur sgwâr bob amser i sicrhau bod llinellau cyfochrog yn aros yn gyfochrog wrth fraslunio'r darluniau aml-olygfa hyn.

    Mewn iaith syml

    Mae cynlluniau a chodiadau yn olygfa o wrthrych o wahanol ochrau. Mae cynllun o'r uchod, codiad blaen o'r blaen, a chodiad ochr o'r ochr.

    Hunanwirio

    Os yw codiad blaen siâp yn betryal 5 cm wrth 4 cm a'r ochr yn 2 cm wrth 4 cm, beth yw uchder y siâp?

    Dangos yr ateb

    Yr uchder yw 4 cm, gan ei fod yn ymddangos yn y codiadau blaen ac ochr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.3.6 foundation. Tudalennau PDF 32: dehongli cynrychioliadau 2 ddimensiwn o siapiau 3 dimensiwn ar bapur isometrig

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae papur isometrig yn cynnwys grid o drionglau hafalochrog wedi'u trefnu i gynrychioli siapiau 3-D. Tynnir llinellau ar onglau 30 gradd i'r llorweddol i ddarparu dyfnder. Mae ymyl 1 cm ar giwb yn cael ei gynrychioli gan linell sy'n ymestyn dros ddau ddot neu ochr triongl isometrig. Mae hyn yn caniatáu persbectif clir, heb ei ystumio o wrthrychau 3-D.
    • Wrth gynrychioli gwrthrych 3-D fel ciwb 2cm x 2cm x 2cm, tynnir pob ymyl i'r un raddfa. Mae'r llinellau fertigol yn parhau i fod yn fertigol, ond tynnir yr ymylon 'llorweddol' ar onglau 30 gradd ar hyd llinellau'r grid. Mae'r dechneg hon yn helpu i ddelweddu sut mae gwahanol wynebau yn cysylltu yn y gofod heb yr angen am luniadu persbectif cymhleth.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Tynnwch giwboid 3-D o ddimensiynau 3 cm wrth 2 cm wrth 4 cm. Dechreuwch â fertig gornel. Tynnwch yr ymyl fertigol sy'n wynebu'r blaen fel 4 cm (4 uned i lawr). O'r gwaelod, tynnwch y lled (3 uned) a'r hyd (2 uned) ar hyd llinellau'r grid isometrig. Cysylltwch yr holl gorneli i gwblhau'r ciwboid. Rhaid i bob ochr ddilyn llinellau'r grid yn union.
    • Dehonglwch ddarlun ar bapur isometrig. Nodwch siâp gyda sylfaen o 3 uned wrth 2 uned ac uchder o 1 uned. Trwy gyfrif yr unedau grid ar hyd pob echelin (fertigol, chwith 30 gradd, dde 30 gradd), gallwch ddiffinio'r cyfaint neu'r arwynebedd. Os yw un uned = 1 cm, y cyfaint yw 3 * 2 * 1 = 6 centimetr ciwbig.

    Mewn iaith syml

    Mae papur isometrig â thrionglau sy'n eich helpu i dynnu siapiau 3-D fel ciwbiau fel eu bod yn edrych yn real. Rydych chi'n defnyddio llinellau'r grid i ddangos uchder, lled, a dyfnder y siâp.

    Hunanwirio

    Mae gan siâp ar bapur isometrig uchder o 2 uned, lled o 2 uned, a dyfnder o 2 uned. Os yw pob uned yn 1 cm, beth yw'r siâp?

    Dangos yr ateb

    Mae'n giwb gydag ochrau o 2 cm.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.3.7 foundation. Tudalennau PDF 32: dehongli rhwydi o siapiau 3 dimensiwn

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae rhwyd yn siâp 2-D y gellir ei blygu i ffurfio gwrthrych 3-D. Wrth ddehongli rhwyd, dychmygwch sut y bydd yr ymylon yn cwrdd i ffurfio fertigau ac wynebau. Ar gyfer ciwb, mae'r rhwyd yn cynnwys 6 sgwâr wedi'u trefnu mewn siâp croes neu T. Rhaid i bob ymyl sgwâr gyd-fynd ag ymyl sgwâr cyfagos yn y ffurf blygu derfynol.
    • Mae rhwydi cyffredin yn cynnwys y ciwb (6 sgwâr), prism trionglog (2 driongl a 3 betryal), a pyramid sylfaen sgwâr (1 sgwâr a 4 triongl). I wirio rhwyd, sicrhewch fod yr holl wynebau yn bresennol a'u bod wedi'u trefnu fel y gallant blygu'n gywir heb orgyffwrdd neu adael bylchau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Dyluniwch rwyd ar gyfer ciwboid yn mesur 3 cm wrth 2 cm wrth 1 cm. Mae angen 6 betryal arnoch: 2 o 3x2, 2 o 3x1, a 2 o 2x1. Trefnwch nhw ar grid: dechreuwch â'r sylfaen 3x2, cysylltwch y betryalau 3x1 â'r ochrau, y betryalau 2x1 â'r pennau, a'r betryal 3x2 uchaf i un o'r darnau ochr. Gwiriwch y blygu yn feddyliol i sicrhau bod yr holl ochrau yn cau.
    • Nodwch y siâp o rwyd sy'n cynnwys triongl canolog wedi'i amgylchynu gan dri thriongl union yr un fath. Mae'r rhwyd hon yn plygu i mewn i tetraedron. Mesurwch ochrau'r trionglau yn y rhwyd. Os yw pob ochr yn 4 cm, mae cyfanswm arwynebedd y tetraedron wedi'i blygu yn 4 * (sqrt(3)/4 * 4^2) = 27.71 centimetr sgwâr.

    Mewn iaith syml

    Mae rhwyd yn batrwm gwastad y gallwch ei blygu i mewn i siâp 3-D. Os torrwch y rhwyd allan a phlygu'r llinellau, bydd yr wynebau'n cwrdd i greu'r gwrthrych.

    Hunanwirio

    Mae rhwyd ciwb wedi'i gwneud o 6 sgwâr. Os yw pob sgwâr ag ochr o 3 cm, beth yw arwynebedd y ciwb?

    Dangos yr ateb

    Mae gan un sgwâr arwynebedd o 3 * 3 = 9 cm sgwâr. Mae gan 6 sgwâr arwynebedd cyfanswm o 6 * 9 = 54 cm sgwâr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.4.1 foundation; Unit 2 §3.4.1 foundation; Unit 3 §3.4.1 foundation. Tudalennau PDF 32: galw i gof a defnyddio'r priodweddau onglau canlynol: Swm onglau ar bwynt Swm onglau ar linell syth Onglau croesfertigol Onglau eiledol, cyfatebol a mewnol rhwng llinellau paralel Swm onglau mewn triongl

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae onglau o amgylch pwynt yn swmio i 360 gradd, tra bod onglau ar linell syth yn swmio i 180 gradd. Mae'r priodweddau hyn yn galluogi datrys onglau anhysbys mewn ffigurau geometrig trwy greu hafaliadau llinol syml. Er enghraifft, os yw tair ongl mewn pwynt yn x, 2x, a 90 gradd, yna x + 2x + 90 = 360, sy'n arwain at 3x = 270 ac x = 90 gradd.
    • Mae llinellau cyfochrog sy'n cael eu croesi gan draws-linell yn creu perthnasoedd ongl penodol. Mae onglau bob yn ail yn hafal, mae onglau cyfatebol yn hafal, ac mae onglau mewnol yn swmio i 180 gradd. Pan fo dwy linell yn croesi, mae onglau croes-gyferbyn yn y fertig yn unfath. Mewn triongl, mae'r onglau mewnol bob amser yn swmio i 180 gradd, gan ganiatáu cyfrifo ongl goll os gwyddys dau arall, megis 180 - (50 + 60) = 70 gradd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i ongl goll ar linell syth, tynnwch swm yr onglau hysbys o 180. Gyda llinell sy'n cynnwys onglau 45 gradd ac y, cyfrifwch y = 180 - 45 = 135 gradd. Ar gyfer llinellau cyfochrog, nodwch siapiau Z, F, neu C. Mewn siâp Z gydag ongl 75 gradd yn un gornel, mae'r ongl bob yn ail yn 75 gradd.
    • Defnyddiwch briodwedd swm triongl i set o onglau (a, b, c). Os yw a=40 a b=80, cyfrifwch c = 180 - 40 - 80 = 60 gradd. Defnyddiwch onglau croes-gyferbyn: os yw dwy linell yn croesi ac mae un ongl yn 110 gradd, mae'r ongl gyferbyn yn union hefyd yn 110 gradd. Defnyddiwch y ffeithiau hyn gyda'i gilydd i ddatrys diagramau cymhleth trwy ynysu trionglau neu linellau croesi.
    • Mae onglau o gwmpas pwynt yn swmio i 360°. Os yw tair ongl gyfagos o gwmpas pwynt yn 95°, 125° ac x, yna x = 360−95−125 = 140°. Gwiriwch fod yr holl sectorau gyda'i gilydd yn cwblhau un tro, heb unrhyw orgyffwrdd neu fwlch.

    Mewn iaith syml

    Mae'r pwnc hwn yn dysgu sut i ddod o hyd i onglau coll gan ddefnyddio rheolau geometrig safonol fel symiau llinell, symiau triongl, a phatrymau llinell gyfochrog.

    Hunanwirio

    Mewn triongl gydag onglau 2x, 3x, a 40 gradd, dewch o hyd i x.

    Dangos yr ateb

    Mae 2x + 3x + 40 = 180 yn dod yn 5x = 140, felly x = 28 gradd.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 2 §3.4.2 foundation; Unit 3 §3.4.2 foundation. Tudalennau PDF 33: galw i gof a defnyddio'r priodweddau onglau canlynol: Priodweddau onglau trionglau ongl sgwâr, isosgeles a hafalochrog Mae ongl allanol triongl yn hafal i swm onglau mewnol y ddau fertig arall Swm yr onglau mewn pedrochr Priodweddau onglau pedrochrau arbennig, gan gynnwys petryalau, paralelogramau a barcutiaid

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gan drionglau briodweddau penodol yn seiliedig ar eu math. Mewn triongl isosgeles, mae dwy ochr a dwy ongl sylfaen yn hafal. Mewn triongl hafalochrog, mae pob un o'r tair ochr ac ongl yn 60 gradd. Mae ongl allanol unrhyw driongl yn hafal i swm y ddwy ongl fewnol gyferbyn. Mae hyn yn helpu i ddatrys problemau lle mae ochr triongl yn cael ei ymestyn i greu ongl allanol, megis ongl allanol o 120 gradd a grëwyd gan onglau mewnol o 50 a 70 gradd.
    • Mae gan bedrochrnau, gan gynnwys petryalau, paralelogramau, a barcudiaid, reolau ongl penodol. Swm yr onglau mewnol mewn unrhyw bedrochr yw 360 gradd. Mewn paralelogram, mae onglau croes-gyferbyn yn hafal ac mae onglau cyfagos yn swmio i 180 gradd. Ar gyfer barcud, mae un pâr o onglau croes-gyferbyn yn hafal. Mae gwybod y siapiau hyn yn caniatáu cyfrifo onglau coll gan ddefnyddio amnewidiad algebraidd syml pan fydd newidynnau'n cynrychioli gwerthoedd anhysbys.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i ongl goll mewn triongl isosgeles gydag ongl fertig o 40 gradd, cyfrifwch yr onglau sylfaen fel (180 - 40) / 2 = 70 gradd. I gyfrifo ongl allanol triongl gydag onglau mewnol 55 a 65, ychwanegwch nhw i gael 120 gradd. Sicrhewch fod y rheolau hyn yn cael eu cymhwyso'n llym i briodweddau'r siâp a nodwyd yn ystod y cyfrifiad.
    • Cyfrifwch onglau anhysbys mewn paralelogram trwy osod hafaliadau. Os yw un ongl yn 2x a'r ongl gyfagos yn x + 30, defnyddiwch y briodwedd 2x + x + 30 = 180 i ddatrys ar gyfer x, sy'n arwain at 3x = 150 ac x = 50. Felly, yr onglau yw 100 gradd ac 80 gradd. Gwiriwch y symiau yn erbyn y cyfanswm o 360 gradd ar gyfer y pedrochr.

    Mewn iaith syml

    Dysgwch sut i ddefnyddio priodweddau trionglau penodol a siapiau pedair ochr fel paralelogramau i gyfrifo onglau mewnol ac allanol anhysbys.

    Hunanwirio

    Mewn paralelogram, mae un ongl yn 3x a'r gyfagos yn x + 20. Dewch o hyd i werth x.

    Dangos yr ateb

    Mae 3x + x + 20 = 180 yn golygu 4x = 160, felly x = 40.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.4.3 foundation. Tudalennau PDF 33: Polygonau: Polygonau rheolaidd ac afreolaidd Swm onglau allanol polygon Swm onglau mewnol ac onglau allanol polygon Swm onglau mewnol polygon

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae polygon yn siâp caeedig gydag ochrau syth. Mae gan bolygonau rheolaidd ochrau hafal ac onglau hafal. Mae swm onglau allanol unrhyw bolygon confecs bob amser yn 360 gradd, waeth beth yw nifer yr ochrau. Mae'r ongl fewnol a'r ongl allanol yn unrhyw fertig o bolygon yn swmio i 180 gradd oherwydd eu bod yn eistedd ar linell syth. Mae'r berthynas sylfaenol hon yn caniatáu cyfrifo un os gwyddys y llall.
    • I ddod o hyd i swm yr onglau mewnol o bolygon gydag n ochr, defnyddiwch y fformiwla (n - 2) * 180 gradd. Mae hyn yn gweithio oherwydd gellir rhannu unrhyw bolygon yn (n - 2) o drionglau. Ar gyfer polygon rheolaidd, gallwch rannu cyfanswm y swm mewnol â nifer yr ochrau i ddod o hyd i werth pob ongl fewnol unigol. Er enghraifft, mae gan bentagon 5 ochr, felly (5 - 2) * 180 = 540 gradd cyfanswm y swm mewnol, ac mae pob ongl fewnol yn 540 / 5 = 108 gradd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Defnyddiwch briodwedd ongl allanol i bennu nifer ochrau polygon rheolaidd. Os yw ongl allanol yn 36 gradd, yna mae nifer yr ochrau n = 360 / 36 = 10. I ddod o hyd i ongl fewnol y degagon hwn, cyfrifwch 180 - 36 = 144 gradd.
    • Cyfrifwch swm yr onglau mewnol ar gyfer octagon (8 ochr) fel (8 - 2) * 180 = 1080 gradd. I ddod o hyd i werth un ongl fewnol o hecsagon rheolaidd (6 ochr), defnyddiwch (6 - 2) * 180 = 720 gradd yn gyfan gwbl, yna rhannwch â 6 ochr i gael 120 gradd fesul ongl fewnol. Sicrhewch fod unedau'n cael eu cofnodi mewn graddau.
    • Mae onglau allanol, gan gymryd un tro cyson ym mhob fertig o bolyagon amgrwm, yn swmio i 360°. Mae gan bentagôn rheolaidd bob ongl allanol o 360/5 = 72°, felly pob ongl fewnol o 180−72 = 108°. Ei swm onglau mewnol yw (5−2)×180 = 540°, sy'n cytuno â 5×108.

    Mewn iaith syml

    Deallwch sut i ddod o hyd i gyfanswm swm yr onglau y tu mewn i unrhyw bolygon a sut i gyfrifo onglau unigol ar gyfer siapiau rheolaidd gan ddefnyddio cyfrifon ochr.

    Hunanwirio

    Beth yw ongl fewnol polygon rheolaidd gyda 9 ochr?

    Dangos yr ateb

    (9 - 2) * 180 / 9 = 7 * 180 / 9 = 1260 / 9 = 140 gradd.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.4.4 higher. Tudalennau PDF 34: Theoremau'r cylch: Mae'r tangiad ar unrhyw bwynt ar gylch yn berpendicwlar i'r radiws ar y pwynt hwnnw Mae'r ongl a gynhelir gan arc yng nghanol cylch ddwywaith maint yr ongl a gynhelir ar unrhyw bwynt ar y cylchyn Mae'r ongl a gynhelir ar y cylchyn gan hanner cylch yn ongl sgwâr Mae onglau yn yr un segment yn hafal Mae onglau cyferbyn pedrochr cylchol yn adio i 180° Theorem y segment eiledol Mae hyd tangiadau o bwynt allanol yn gyfartal

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae theoremau cylch yn disgrifio perthnasoedd geometrig penodol o fewn cylch. Mae priodweddau allweddol yn cynnwys: mae'r tangiad ar unrhyw bwynt yn berpendicwlar (90 gradd) i'r radiws; mae ongl yn y canol ddwywaith yr ongl yn y cylchedd; mae'r ongl mewn hanner cylch yn 90 gradd; mae onglau yn yr un segment yn hafal; mae onglau croes-gyferbyn pedrochr cylchol yn swmio i 180 gradd; ac mae'r theorem segment bob yn ail yn nodi bod yr ongl rhwng tangiad a chord yn hafal i'r ongl yn y segment arall.
    • Mae'r theoremau hyn yn deillio o egwyddorion geometreg cylch. Er enghraifft, mae berpendicwlarrwydd tangiad-radiws yn dal oherwydd y pellter byrraf o bwynt i linell yw'r segment berpendicwlar. Mae gan bedrochrnau cylchol fertigau i gyd yn cyffwrdd â chylchedd y cylch. Gan ddefnyddio'r rhain, gall un ddod o hyd i onglau coll mewn diagramau cylch cymhleth trwy nodi'r theorem berthnasol ar gyfer y ffurfweddiad arc, tangiad, neu gord penodedig.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gymhwyso theorem y canol/cylchedd: os yw arc yn tanlinellu 40 gradd yn y cylchedd, mae'r ongl yn y canol yn 80 gradd. Ar gyfer pedrochr cylchol gydag un ongl o 105 gradd, cyfrifwch yr ongl gyferbyn fel 180 - 105 = 75 gradd. Labelwch fertigau (e.e., A, B, C) bob amser i olrhain onglau yn glir.
    • Nodwch segmentau i ddefnyddio'r theorem 'un segment'. Os yw ongl ACB = 30 gradd ac ongl ADB = 30 gradd, maent yn hafal. Ar gyfer tangiadau o bwynt allanol P yn cwrdd â'r cylch yn A a B, cofiwch PA = PB. Cyfunwch y rheolau hyn i ddatrys problemau geometreg sy'n cynnwys pwyntiau cyfesurynnol ar gylch, megis (0, 5) a (5, 0) ar gylch o radiws 5, gan gyfrifo llethrau i wirio berpendicwlarrwydd.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn ymdrin â'r rheolau sy'n llywodraethu onglau a llinellau o fewn cylchoedd, fel priodweddau tangiadau a pherthnasoedd segmentau, sy'n hanfodol ar gyfer datrys problemau geometreg.

    Hunanwirio

    Mae gan bedrochr cylchol ongl fewnol o 85 gradd. Beth yw'r ongl gyferbyn?

    Dangos yr ateb

    180 - 85 = 95 gradd.

    Gweld diagramau

    Tangiad a radiws wrth y pwynt cyffwrdd

    rtangiad90°
    Allwedd a disgrifiad

    Mae’r radiws i’r pwynt cyffwrdd yn berpendicwlar i’r tangiad.

    Ongl mewn hanner cylch: prawf wedi’i labelu

    ABOCαβαβ
    Allwedd a disgrifiad

    Diamedr yw AB ac O yw’r canol. Mae C ar yr hanner cylch. OA = OC = OB, felly mae’r ddau driongl bach yn isosgeles. Rhowch α yn A a rhwng CA a CO; rhowch β yn B a rhwng CB a CO. Mae swm onglau ABC yn rhoi 2(α + β) = 180°, felly ∠ACB = α + β = 90°.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.4.5 higher. Tudalennau PDF 34: llunio profion geometrig gan ddefnyddio ffeithiau a phriodweddau onglau, gan gynnwys theoremau’r cylch

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae prawf yn ddilyniant o gamau cyfiawn, nid mesuriad neu ddarlun sy’n edrych yn gywir. Enwch yr onglau a’r llinellau, nodwch theorem berthnasol ar gyfer pob cam, a dangoswch fod y casgliad yn dilyn o’r wybodaeth a roddwyd.
    • Mewn cwadrilater cylchol ABCD, ∠ABC + ∠ADC = 180°. Os yw CB yn cael ei estyn y tu hwnt i B i E, mae ∠ABC + ∠ABE = 180° oherwydd bod C, B ac E ar yr un llinell. Mae tynnu’r ongl gyffredin yn rhoi ∠ABE = ∠ADC: mae ongl allanol yn hafal i’r ongl fewnol gyferbyn.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Profwch fod yr ongl mewn hanner cylch yn ongl sgwâr. Gadewch i AB fod yn ddiamedr, O yn ganolbwynt iddo a C yn bwynt arall ar y cylch. Ymunwch ag OC. Gosodwch ∠OAC = α a ∠OBC = β. Gan fod OA = OC a OB = OC, mae’r trionglau hafalgoes yn rhoi ∠ACO = α a ∠OCB = β. Mae gan driongl ABC swm onglau α + β + (α + β) = 180°, felly α + β = 90° a ∠ACB = 90°.
    • Profwch fod radiws yn berpendicwlar i dangiad yn ei bwynt cyswllt T. Mae pob pwynt ar y tangiad ar wahân i T yn gorwedd y tu allan i'r cylch ac mae'n bellach o'r canol O na'r radiws OT. Felly OT yw'r pellter byrraf o O i'r llinell honno. Mae'r pellter byrraf o bwynt i linell yn berpendicwlar, felly mae OT yn cwrdd â'r tangiad ar 90°. Nodwch y rhagdybiaeth bod y pwynt y tu allan i'r cylch yn hytrach na darllen marc ongl sgwâr yn unig.

    Mewn iaith syml

    Dechreuwch gyda'r hyn a roddir, defnyddiwch reol wedi'i henwi ar bob cam, a pheidiwch â thybio'r ffaith yr ydych yn ceisio ei brofi.

    Hunanwirio

    Mewn pedrochr cylchol ABCD, mae AB yn cael ei ymestyn y tu hwnt i B i E. Profwch fod ∠CBE yn hafal i ∠CDA.

    Dangos yr ateb

    ∠ABC + ∠CBE = 180° (llinell syth ABE). ∠ABC + ∠CDA = 180° (onglau cyferbyn pedrochr cylchol). Tynnwch ∠ABC i gael ∠CBE = ∠CDA.

    Gweld diagramau

    Ongl mewn hanner cylch: prawf wedi’i labelu

    ABOCαβαβ
    Allwedd a disgrifiad

    Diamedr yw AB ac O yw’r canol. Mae C ar yr hanner cylch. OA = OC = OB, felly mae’r ddau driongl bach yn isosgeles. Rhowch α yn A a rhwng CA a CO; rhowch β yn B a rhwng CB a CO. Mae swm onglau ABC yn rhoi 2(α + β) = 180°, felly ∠ACB = α + β = 90°.

    Tangiad a radiws wrth y pwynt cyffwrdd

    rtangiad90°
    Allwedd a disgrifiad

    Mae’r radiws i’r pwynt cyffwrdd yn berpendicwlar i’r tangiad.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.5.1 foundation; Unit 2 §3.5.1 foundation; Unit 3 §3.5.1 foundation. Tudalennau PDF 35: Amser: Y nodiant ar gyfer cloc 12 a 24 awr Eiliadau mewn munud, munudau mewn awr, oriau mewn diwrnod, diwrnodau mewn wythnos a misoedd mewn blwyddyn

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae nodiant amser yn defnyddio systemau cloc 12-awr a 24-awr. Mae'r cloc 12-awr yn dibynnu ar ddynodiadau am a pm i wahaniaethu rhwng y bore a'r prynhawn, tra bod y cloc 24-awr yn defnyddio fformat pedwar digid o 00:00 i 23:59. Er enghraifft, mae 2:30 pm yn y cloc 12-awr yn cyfateb i 14:30 yn y fformat cloc 24-awr.
    • Mae unedau amser safonol yn sylfaenol ar gyfer mesuriadau. Mae 60 eiliad mewn un funud a 60 munud mewn un awr. Gan symud i raddfeydd mwy, mae 24 awr mewn un diwrnod, 7 diwrnod mewn un wythnos, a nifer amrywiol o ddyddiau mewn misoedd, er ein bod ar gyfer cyfrifiadau yn tybio bod blwyddyn safonol yn cynnwys 365 diwrnod neu 12 mis.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I drosi amseroedd 12-awr i amseroedd 24-awr, ychwanegwch 12 at unrhyw werth awr o 1 pm i 11 pm. Ar gyfer 12 am, defnyddiwch 00:00. I drosi amseroedd 24-awr yn ôl, tynnwch 12 o oriau sy'n fwy na 12. Er enghraifft, trowch 16:45 i fformat 12-awr: mae 16 tynnu 12 yn hafal i 4, felly yr amser yw 4:45 pm.
    • Gwnewch gyfrifiadau sy'n cynnwys cyfnodau. Os yw digwyddiad yn dechrau am 08:45 ac yn gorffen am 10:15, cyfrifwch y cyfnod drwy gyfrif i'r awr nesaf (15 munud i 09:00) yna ychwanegu'r 1 awr a 15 munud sy'n weddill. Cyfanswm yr amser yw 1 awr a 30 munud, sy'n 90 munud.

    Mewn iaith syml

    Mae deall sut i ddarllen ac ysgrifennu amser mewn gwahanol fformatau yn hanfodol ar gyfer trefnu a chyfrifo cyfnodau rhwng digwyddiadau gan ddefnyddio cylchoedd dydd a mis safonol.

    Hunanwirio

    Trowch 19:20 i amser 12-awr a chyfrifwch y cyfnod rhwng 19:20 a 21:05.

    Dangos yr ateb

    Mae 19:20 yn 7:20 pm. Y cyfnod yw 1 awr 45 munud neu 105 munud.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.5.2 foundation; Unit 2 §3.5.2 foundation; Unit 3 §3.5.2 foundation. Tudalennau PDF 35: Unedau Metrig: Unedau metrig safonol hyd, màs a chynhwysedd a'r berthynas rhyngddynt

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae unedau metrig yn darparu system safonol ar gyfer mesur hyd, màs, a chynhwysedd. Mae unedau sylfaenol yn cynnwys y metr (m) ar gyfer hyd, y gram (g) neu cilogram (kg) ar gyfer màs, a'r litr (l) neu fililitr (ml) ar gyfer cynhwysedd. Mae deall y rhagddodiaid hyn yn allweddol: mae cilogram yn golygu 1000 gwaith, ac mae milli yn golygu 1/1000fed.
    • Mae'r perthnasoedd yn gyson: 1 cilomedr = 1000 metr, 1 metr = 100 centimetr, 1 centimetr = 10 milimetr. Ar gyfer màs, 1 cilogram = 1000 gram. Ar gyfer cynhwysedd, 1 litr = 1000 mililitr. Mae'r graddfeydd hyn yn sicrhau y gellir trosi mesuriadau yn fanwl gywir trwy luosi neu rannu â ffactorau o 10, 100, neu 1000.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Troswch rhwng unedau gan ddefnyddio lluosi neu rannu. I drosi 2.5 cilogram i gram, lluoswch â 1000: 2.5 * 1000 = 2500 gram. I drosi 450 centimetr i fetr, rhannwch â 100: 450 / 100 = 4.5 metr. Defnyddiwch y rhain yn gyson ar draws pob dimensiwn metrig.
    • Gweithiwch gyda phroblemau mesur cyfun. Os yw cynhwysydd yn dal 1.5 litr o ddŵr ac rydych chi'n ychwanegu 250 mililitr, trowch yr unedau i fod yn unfath yn gyntaf. Trowch 1.5 litr i 1500 mililitr, yna ychwanegwch 250 mililitr i gael 1750 mililitr neu 1.75 litr. Mae hyn yn sicrhau cywirdeb mewn adio cyfaint.

    Mewn iaith syml

    Mae'r system fetrig yn defnyddio pwerau o ddeg i gysylltu unedau, gan ei gwneud yn syml i raddio mesuriadau ar gyfer hyd, màs, a chynhwysedd trwy addasu degolion.

    Hunanwirio

    Trowch 3.2 metr i filimetr a 750 gram i gilogram.

    Dangos yr ateb

    3.2 metr = 3200 milimetr. 750 gram = 0.75 cilogram.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 2 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.5.3 foundation; Unit 2 §3.5.3 foundation; Unit 3 §3.5.3 foundation. Tudalennau PDF 35: gwneud cyfrifiadau'n ymwneud ag amser

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyfrifiadau amser yn wahanol i fathemateg degol oherwydd eu bod yn sylfaen-60. Wrth adio neu dynnu amser, unwaith y bydd y munudau yn cyrraedd 60, rhaid eu trosi i awr ychwanegol. Er enghraifft, mae 40 munud a 30 munud yn 70 munud, sy'n 1 awr a 10 munud.
    • Wrth gyfrifo ar draws oriau, trinwch y cydrannau awr a munud ar wahân. Tynnwch neu ychwanegwch funudau yn gyntaf, gan drin unrhyw fenthyca neu gario ar draws y trothwy 60-munud. Wrth gyfrifo cyfnod rhwng dau amser gwahanol, defnyddiwch linell amser neu cyfrifwch i'r awr agosaf i sicrhau cywirdeb.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ychwanegu 1 awr 50 munud at 2 awr 30 munud, ychwanegwch yr oriau (1 + 2 = 3) a'r munudau (50 + 30 = 80). Gan fod 80 munud yn hafal i 1 awr a 20 munud, cyfunwch y rhain i gael cyfanswm o 4 awr a 20 munud.
    • I dynnu, e.e., 45 munud o 3:15, nodwch na allwch dynnu 45 o 15. Benthycwch 1 awr (60 munud) o'r 3, gan ei wneud yn 2 awr a (60 + 15) = 75 munud. Nawr, mae 75 - 45 = 30. Y canlyniad yw 2:30.

    Mewn iaith syml

    Mae gweithio gydag amser yn gofyn am reoli'r cylch 60-munud, gan sicrhau bod cyfansymiau sy'n fwy na 60 munud yn cael eu trosi'n ôl i oriau yn gywir.

    Hunanwirio

    Ychwanegwch 2 awr 40 munud at 3 awr 30 munud. Tynnwch 50 munud o 4:20.

    Dangos yr ateb

    Adio: 6 awr 10 munud. Tynnu: 3:30.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.5.4 foundation; Unit 3 §3.5.4 foundation. Tudalennau PDF 35: trawsnewid rhwng unedau amser

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae trosi amser yn golygu defnyddio ffactorau sy'n seiliedig ar y perthnasoedd rhwng unedau. Mae 60 eiliad mewn munud a 60 munud mewn awr. Wrth drosi unedau llai i rai mwy, rhannwch â'r ffactorau hyn. Wrth drosi unedau mwy i rai llai, lluoswch â'r ffactorau hyn.
    • Er enghraifft, i drosi 120 munud i oriau, rydym yn rhannu 120 â 60 i gael 2 awr. I drosi 3 awr i funudau, rydym yn lluosi 3 â 60 i gael 180 munud. Mae'r trosiadau hyn yn llinol ac yn berthnasol ar draws pob cyfrifiad amser sylfaenol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Gwnewch drosi unedau gan ddefnyddio'r ffactor graddfa. I drosi 450 munud yn oriau: 450 / 60 = 7.5 awr. Gan fod 0.5 awr yn 30 munud, mae hyn yn 7 awr a 30 munud. Gwiriwch yr uned derfynol a ofynnwyd amdani bob amser i sicrhau bod y trosiad yn gywir.
    • Triniwch drosi sy'n cynnwys eiliadau. I drosi 2 funud 15 eiliad i gyfanswm eiliadau: (2 * 60) + 15. Yn gyntaf, 120 + 15 = 135 eiliad. I'r gwrthwyneb, ar gyfer 200 eiliad i funudau: 200 / 60 = 3 gweddill 20, sy'n 3 munud 20 eiliad.

    Mewn iaith syml

    Mae trosi amser yn fater o luosi neu rannu â 60, yn dibynnu ar a ydych yn symud i uned amser fwy neu lai.

    Hunanwirio

    Trowch 300 munud i oriau. Trowch 4 munud 20 eiliad i eiliadau.

    Dangos yr ateb

    300 munud = 5 awr. 4 munud 20 eiliad = 260 eiliad.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §3.5.5 foundation. Tudalennau PDF 35: gwneud cyfrifiadau'n ymwneud â gwahanol gylchfaoedd amser

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae parthau amser yn bodoli oherwydd bod y Ddaear yn cylchdroi. Mae'r byd wedi'i rannu'n barthau yn berthnasol i Amser Cyffredinol Cydlynol (UTC). Mae lleoliadau i'r dwyrain o'r prif meridian fel arfer ar y blaen i UTC, tra bod y rhai i'r gorllewin ar ôl. Mae cyfrifiadau yn gofyn am ddod o hyd i'r gwahaniaeth mewn oriau rhwng dau leoliad penodol.
    • Wrth gyfrifo gwahaniaethau parth amser, defnyddiwch y gwrthbwyso a ddarperir. Os yw Dinas A yn UTC+1 a Dinas B yn UTC-5, y gwahaniaeth yw 6 awr. Wrth symud o Ddinas B i Dinas A, rydych chi'n ychwanegu 6 awr. Wrth symud o Ddinas A i Ddinas B, rydych chi'n tynnu 6 awr o'r amser lleol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch amseroedd cyrraedd. Os yw hediad yn gadael Dinas A (UTC+2) am 09:00 ac yn cymryd 5 awr i gyrraedd Dinas B (UTC-1), pennwch y gwahaniaeth amser yn gyntaf: 2 - (-1) = 3 awr ar y blaen. I ddod o hyd i amser cyrraedd lleol, trowch yr ymadawiad i amser Dinas B (09:00 - 3 = 06:00) yna ychwanegwch hyd yr hediad (06:00 + 5 = 11:00).
    • Gwiriwch gyfeiriad yr addasiad. Os ydych chi'n croesi parthau lle mae'r amser yn hwyrach, ychwanegwch y gwahaniaeth. Os ydych chi'n croesi parthau lle mae'r amser yn gynharach, tynnwch y gwahaniaeth. Sicrhewch fod y dyddiad yn gyson, yn enwedig pan fydd y cyfrifiad yn croesi hanner nos, sy'n newid y diwrnod.

    Mewn iaith syml

    Mae parthau amser yn wrthbwyso o gyfeirnod amser canolog; cyfrifwch y gwahaniaethau trwy gymharu gwrthbwyso ac addasu eich amser cychwyn yn unol â hynny.

    Hunanwirio

    Os yw hi'n 10:00 yn Llundain (UTC+0) a bod y gwahaniaeth amser i Efrog Newydd yn 5 awr ar ôl, faint o'r gloch yw hi yn Efrog Newydd?

    Dangos yr ateb

    10:00 - 5 awr = 05:00.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.5.6 foundation; Unit 3 §3.5.6 foundation. Tudalennau PDF 35: gwneud amcangyfrifon synhwyrol o fesuriadau metrig mewn sefyllfaoedd bob dydd, gan gydnabod priodoldeb unedau mewn gwahanol gyd- destunau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae amcangyfrif yn gofyn am gydnabod graddfa gorfforol unedau metrig safonol. Er enghraifft, mae drws safonol tua 2 fetr o uchder; mae clip papur tua 1 centimetr o led. Mae deall y meincnodau byd-go iawn hyn yn helpu i benderfynu pa unedau sy'n briodol ar gyfer gwahanol gyd-destunau.
    • Dewiswch unedau yn seiliedig ar faint. Defnyddiwch filimetrau ar gyfer eitemau bach fel trwch darn arian, centimetrau ar gyfer llyfrau, metrau ar gyfer dodrefn neu ddimensiynau ystafell, a chilomedrau ar gyfer pellteroedd teithio. Ar gyfer màs, mae gramau ar gyfer eitemau a ddelir mewn un llaw, tra bod cilogramau ar gyfer eitemau trymach fel bodau dynol neu offer.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ymarferwch amcangyfrif trwy gymharu gwrthrychau. I amcangyfrif hyd desg, nodwch wrthrych o hyd hysbys, fel dalen A4 (tua 30 cm) a gweld faint sy'n ffitio ar hyd ymyl y ddesg. Os yw 4 dalen yn ffitio, amcangyfrifwch 4 * 30 = 120 cm neu 1.2 metr.
    • Dewiswch yr uned gywir ar gyfer y cyd-destun. Os ydych yn mesur uchder tŷ, mae metrau yn briodol (e.e., 6 metr). Os ydych yn mesur cynhwysedd llwy feddyginiaeth, mae mililitrau yn briodol (e.e., 5 mililitr). Ceisiwch osgoi unedau sy'n arwain at rifau rhy fawr neu fach pan fo uned fwy safonol yn bodoli.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch feincnodau gwrthrych byd-go i amcangyfrif hydoedd, màsau, a chynhwysedd, gan sicrhau bod yr uned a ddewiswyd yn ymarferol ar gyfer maint yr eitem a fesurir.

    Hunanwirio

    Pa uned sydd orau ar gyfer llwy o feddyginiaeth peswch: mililitrau, litrau, neu gramau? Amcangyfrifwch hyd car.

    Dangos yr ateb

    Mililitrau. Mae car fel arfer yn 4 i 5 metr o hyd.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §3.5.7 foundation. Tudalennau PDF 36: trawsnewid rhwng yr unedau metrig ac imperial canlynol: km – milltiroedd; cm, m – modfeddi, troedfeddi; kg – pwys; gramau – ownsys; litrau – peintiau, galwyni – bydd y cywerthoedd metrig i imperial priodol yn cael eu rhoi i ddysgwyr

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae trosi rhwng systemau metrig ac imperial yn dibynnu ar gywertheddau bras. Gan fod gan y systemau hyn darddiad gwahanol, mae trosiadau yn brin o fod yn gywir ac fel arfer yn cael eu darparu mewn cwestiynau arholiad. Mae cywertheddau cyffredin yn cynnwys 1 milltir sy'n tua 1.6 cilomedr, 1 modfedd sy'n hafal i 2.54 centimetr, ac 1 cilogram sy'n tua 2.2 pwys (lb).
    • Mae trosiadau cynhwysedd hefyd yn gyffredin, fel 1 galwyn sy'n tua 4.5 litr neu 1 peint sy'n hafal i tua 568 mililitr. Mae'r gwerthoedd hyn yn gysonion rydych chi'n eu defnyddio i ddatrys problemau pan gânt eu rhoi yn ysgogiad y cwestiwn.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Defnyddiwch y ffactor trosi a ddarperir i ddatrys problemau geiriau. Os yw 1 modfedd = 2.5 cm, faint o gentimetrau sydd mewn 12 modfedd? Cyfrifwch 12 * 2.5 = 30 cm. Os yw 1 kg = 2.2 lb, faint o kg yw 11 lb? Cyfrifwch 11 / 2.2 = 5 kg. Gwiriwch bob amser a oes angen i chi luosi neu rannu yn seiliedig ar yr uned darged.
    • Cymhwyswch drosi i unedau cyfansawdd neu deithio. Os ydych yn teithio 50 milltir a gwybod bod 1 milltir = 1.6 km, cyfrifwch 50 * 1.6 = 80 km. Os yw defnydd tanwydd yn 5 milltir y litr, ac rydych chi'n trosi i gilomedrau, gwiriwch y cyd-destun o ran a yw'r trosiad yn digwydd cyn neu ar ôl y cyfrifiad.

    Mewn iaith syml

    Wrth drosi rhwng unedau metrig ac imperial, defnyddiwch y ffactorau trosi a ddarperir i raddio'r mesuriadau yn briodol, gan wybod mai gwerthoedd bras yw'r rhain.

    Hunanwirio

    O wybod bod 1 modfedd = 2.5 cm a 1 kg = 2.2 lb, trowch 20 modfedd i gentimetrau a 4.4 lb i gilogramau.

    Dangos yr ateb

    20 modfedd = 50 cm. 4.4 lb = 2 kg.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.5.8 foundation; Unit 3 §3.5.8 foundation. Tudalennau PDF 36: galw i gof a defnyddio mesurau cyfansawdd ar gyfer cyflymder a defnydd o danwydd. Mae'r unedau'n cynnwys: m/s, km/h, mya a myg

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae mesurau cyfansawdd yn cynnwys cyfuno dau faint ffisegol gwahanol i ddisgrifio cyfradd. Diffinnir cyflymder fel pellter wedi ei rannu ag amser. Os yw cerbyd yn teithio 150 km mewn 2 awr, y cyflymder yw 150 km / 2 a = 75 km/a. Wrth gyfrifo, gwnewch yn siŵr bod yr unedau amser yn cyfateb i'r uned gyflymder a ddarperir. Er enghraifft, i ddod o hyd i bellter gan ddefnyddio m/e, rhaid i'r amser fod mewn eiliadau: os yw gwrthrych yn symud ar 10 m/e am 60 eiliad, y pellter yw 10 m/e * 60 e = 600 m.
    • Mae defnydd tanwydd yn aml yn cael ei fesur mewn milltiroedd y galwyn (mpg). Mae hyn yn cynrychioli'r pellter y gall cerbyd ei deithio fesul uned o danwydd a ddefnyddir. Os yw car yn defnyddio 5 galwyn o danwydd i deithio 200 milltir, y defnydd yw 200 milltir / 5 galwyn = 40 mpg. I bennu'r tanwydd sydd ei angen ar gyfer taith, ail-drefnwch y fformiwla: Tanwydd = Pellter / Defnydd. Ar gyfer taith o 300 milltir ar 40 mpg, y tanwydd sydd ei angen yw 300 / 40 = 7.5 galwyn.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I gyfrifo cyflymder, defnyddiwch y fformiwla S = P / A. Dychmygwch feiciwr yn teithio 45 cilomedr mewn 3 awr. Rhannwch y pellter (45 km) â'r amser (3 a) i ddod o hyd i'r cyflymder: 45 / 3 = 15 km/a. I gyfrifo'r pellter o gyflymder ac amser, defnyddiwch P = S * A. Os yw trên yn teithio ar 80 km/a am 2.5 awr, y pellter yw 80 * 2.5 = 200 km. Cadarnhewch bob amser bod yr unedau'n gyson drwy eich cyfrifiadau cyn datrys.
    • I bennu defnydd tanwydd, defnyddiwch y berthynas T = P / D. Tybiwch fod car yn teithio 480 milltir gydag effeithlonrwydd o 32 mpg. Yn gyntaf, perfformiwch y rhaniad 480 / 32. Y canlyniad yw 15 galwyn o danwydd wedi ei ddefnyddio. Os oes angen i chi ddod o hyd i ba mor bell y gall cerbyd deithio gyda swm penodol o danwydd, defnyddiwch P = D * T. Os oes gennych 12 galwyn o danwydd ac mae'r car yn cael 35 mpg, y potensial pellter yw 35 * 12 = 420 milltir. Gwiriwch eich rhifyddeg trwy luosi'r canlyniad yn ôl i sicrhau ei fod yn cyfateb i'r cyfansymiau gwreiddiol.

    Mewn iaith syml

    Mae mesurau cyfansawdd yn cysylltu dwy uned fel pellter ac amser i ffurfio mesuriad newydd fel cyflymder. Rydych chi'n dod o hyd i gyflymder trwy rannu'r pellter a deithiwyd â'r amser a gymerwyd, ac effeithlonrwydd tanwydd trwy rannu'r pellter â swm y tanwydd a ddefnyddiwyd.

    Hunanwirio

    Mae car yn teithio 240 milltir gan ddefnyddio 8 galwyn o danwydd. Beth yw ei ddefnydd tanwydd mewn mpg?

    Dangos yr ateb

    240 milltir / 8 galwyn = 30 mpg. Y cyfrifiad yw 240 wedi ei rannu ag 8.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.5.9 foundation. Tudalennau PDF 36: galw i gof a defnyddio mesurau cyfansawdd eraill, gan gynnwys dwysedd, dwysedd poblogaeth a chyfraddau llif. Mae'r unedau'n cynnwys kg/m 3 , g/cm 3 , poblogaeth y km 2 , m 3 yr awr, litrau yr eiliad

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Diffinnir dwysedd fel màs fesul uned gyfaint. Mae'n dangos pa mor dynn y mae'r mater wedi ei bacio o fewn gwrthrych. Y fformiwla yw Dwysedd = Màs / Cyfaint. Er enghraifft, os oes gan floc o fetel fàs o 500 g ac yn meddiannu cyfaint o 25 cm ciwbig, ei ddwysedd yw 500 / 25 = 20 g/cm ciwbig. Mae unedau yn gyffredin yn kg/m ciwbig neu g/cm ciwbig. Wrth ddelio â chyfraddau llif hylif, mae'r egwyddor yn aros yn debyg: Cyfradd Llif = Cyfaint / Amser. Os yw 120 metr ciwbig o ddŵr yn llifo drwy bibell mewn 2 awr, y gyfradd llif yw 60 m ciwbig yr awr.
    • Mae dwysedd poblogaeth yn mesur crynodiad pobl mewn ardal benodol. Y fformiwla yw Dwysedd Poblogaeth = Cyfanswm y Boblogaeth / Arwynebedd. Os oes gan dref gydag arwynebedd o 50 km sgwâr boblogaeth o 10,000 o bobl, y dwysedd poblogaeth yw 10,000 / 50 = 200 o bobl y km sgwâr. Mae hyn yn helpu i gymharu lefelau poblogaeth ar draws gwahanol ranbarthau daearyddol waeth beth fo'u cyfanswm maint. Gwirio bob amser bod unedau yn cyd-fynd â gofynion y fformiwla cyn rhannu.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i ddwysedd, rhannwch y màs â'r cyfaint. Mae gan ddarn o haearn fàs o 15.7 kg a chyfaint o 0.002 m ciwbig. Y dwysedd yw 15.7 / 0.002 = 7850 kg/m ciwbig. Os oes angen i chi ddod o hyd i'r màs, lluoswch ddwysedd â chyfaint: Màs = Dwysedd * Cyfaint. Ar gyfer bloc gyda chyfaint o 0.5 m ciwbig a dwysedd o 7000 kg/m ciwbig, y màs yw 7000 * 0.5 = 3500 kg. Wrth fesur cyfraddau llif, os yw pwmp yn symud 20 litr yr eiliad, i ddod o hyd i'r cyfaint a symudwyd mewn 60 eiliad, cyfrifwch 20 * 60 = 1200 litr.
    • I gyfrifo dwysedd poblogaeth, rhannwch gyfanswm nifer y bobl â'r arwynebedd. Mae gan ranbarth boblogaeth o 45,000 o bobl wedi eu gwasgaru dros 150 km sgwâr. Y cyfrifiad yw 45,000 / 150 = 300 o bobl y km sgwâr. I ddod o hyd i boblogaeth ardal, defnyddiwch Boblogaeth = Dwysedd * Arwynebedd. Os oes gan ranbarth ddwysedd o 50 o bobl y km sgwâr ac mae'n cwmpasu arwynebedd o 1200 km sgwâr, y boblogaeth gyfan yw 50 * 1200 = 60,000 o bobl. Rhestrwch unedau yn glir yn eich ateb terfynol i sicrhau cywirdeb.

    Mewn iaith syml

    Mae'r mesurau hyn yn disgrifio cyfraddau fel màs fesul cyfaint, pobl fesul arwynebedd, neu gyfaint fesul amser. Rydych chi'n dod o hyd iddynt trwy rannu'r cyfanswm â'r cyfanswm gofod neu amser.

    Hunanwirio

    Mae gan bentref 1200 o bobl yn byw mewn ardal o 3 km sgwâr. Beth yw'r dwysedd poblogaeth?

    Dangos yr ateb

    1200 o bobl / 3 km sgwâr = 400 o bobl y km sgwâr.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.5.10 higher; Unit 3 §3.5.10 higher. Tudalennau PDF 36: trawsnewid rhwng unedau arwynebedd a chyfaint

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Wrth drosi unedau arwynebedd, rhaid i chi sgwario'r ffactor trosi. Er enghraifft, gan fod 1 m = 100 cm, mae gan sgwâr o 1 m wrth 1 m arwynebedd o 10,000 cm sgwâr (100 * 100 = 10,000). Gwnewch gais i'r sgwâr ar y ffactor graddfa bob amser, nid dim ond yr unedau sylfaenol. Os ydych chi'n trosi o cm sgwâr i m sgwâr, rhannwch â 10,000. Er enghraifft, mae 50,000 cm sgwâr yn cyfateb i 50,000 / 10,000 = 5 m sgwâr. Mae deall y berthynas hon yn atal gwallau wrth raddio dimensiynau.
    • Mae trosi cyfaint yn gofyn am giwbio'r ffactor trosi. Oherwydd bod 1 m = 100 cm, mae 1 metr ciwbig yn 100 * 100 * 100 = 1,000,000 cm ciwbig. I drosi o m ciwbig i cm ciwbig, lluoswch â 1,000,000. I'r gwrthwyneb, i drosi cm ciwbig i m ciwbig, rhannwch â 1,000,000. Ystyriwch gynhwysydd gyda chyfaint o 2,500,000 cm ciwbig. I drosi hwn i fetrau ciwbig, rhannwch â 1,000,000 i gael 2.5 m ciwbig. Mae'r egwyddor hon yn berthnasol i bob ffactor graddfa llinol waeth beth fo'r unedau dan sylw.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I drosi arwynebedd, nodwch y ffactor graddfa llinol a'i sgwario. Gadewch i ni drosi 4.5 metr sgwâr i gentimetrau sgwâr. Y ffactor graddfa ar gyfer hyd yw 100. Y ffactor graddfa sgwâr yw 100 * 100 = 10,000. Lluoswch yr arwynebedd â'r ffactor sgwâr: 4.5 * 10,000 = 45,000 cm sgwâr. Os oes angen i chi drosi 750,000 mm sgwâr i m sgwâr, nodwch y ffactor 1 m = 1000 mm. Y ffactor sgwâr yw 1,000,000. Rhannwch yr arwynebedd: 750,000 / 1,000,000 = 0.75 m sgwâr.
    • I drosi cyfaint, ciwbiwch y ffactor graddfa llinol. Trosi 0.003 m ciwbig i cm ciwbig. Y ffactor llinol yw 100, felly y ffactor ciwbig yw 100 * 100 * 100 = 1,000,000. Lluoswch: 0.003 * 1,000,000 = 3000 cm ciwbig. I'r gwrthwyneb, trosi 450,000,000 mm ciwbig i fetrau ciwbig. Y ffactor llinol yw 1000, felly y ffactor ciwbig yw 1,000,000,000 (1000 wedi ei giwbio). Rhannwch y cyfaint: 450,000,000 / 1,000,000,000 = 0.45 m ciwbig. Gwirio bob amser bod yr esbonydd yn cyfateb i ddimensiwn yr unedau.

    Mewn iaith syml

    I drosi arwynebedd, sgwariwch y ffactor trosi ar gyfer hyd. I drosi cyfaint, ciwbiwch y ffactor trosi ar gyfer hyd. Lluoswch wrth symud i unedau llai a rhannwch wrth symud i unedau mwy.

    Hunanwirio

    Trosi 12,000,000 cm ciwbig i fetrau ciwbig.

    Dangos yr ateb

    12,000,000 / 1,000,000 = 12 m ciwbig. Y ffactor trosi ciwbig yw 1,000,000.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.6.1 foundation; Unit 3 §3.6.1 foundation. Tudalennau PDF 37: Siapiau 2 ddimensiwn: Amcangyfrif arwynebedd siâp afreolaidd sydd wedi'i luniadu ar grid sgwariau Perimedr ac arwynebedd sgwâr, petryal, triongl, paralelogram, trapesiwm, cylch, hanner cylch a siâp cyfansawdd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Er mwyn dod o hyd i arwynebedd siap afreolaidd ar grid, cyfrifwch nifer y sgwariau llawn sydd y tu mewn i'r ffin ac yna amcangyfrifwch gyfraniad y sgwariau rhannol. Mae sgwâr rhannol sy'n gorchuddio mwy na hanner uned fel arfer yn cael ei gyfrif fel un, tra bod y rhai sy'n gorchuddio llai yn cael eu hanwybyddu. Mae adio'r rhain yn darparu amcangyfrif rhesymol o'r cyfanswm arwynebedd mewn unedau sgwâr.
    • Ar gyfer polygonau safonol, cyfrifir yr arwynebedd gan ddefnyddio fformiwlâu geometrig penodol. Mae gan betryal gydag ochrau 5 cm a 3 cm arwynebedd o 5 gwaith 3, sy'n hafal i 15 cm sgwâr. Mae triongl gyda sylfaen 6 cm ac uchder 4 cm yn defnyddio'r fformiwla 0.5 gwaith sylfaen gwaith uchder, sy'n arwain at 12 cm sgwâr. Mae trapesiwm gydag ochrau cyfochrog 4 cm a 6 cm ac uchder 3 cm yn defnyddio'r fformiwla 0.5 gwaith swm yr ochrau cyfochrog gwaith uchder, sef 0.5 gwaith 10 gwaith 3, sy'n hafal i 15 cm sgwâr.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch berimedr ac arwynebedd siap cyfansawdd wedi'i wneud o betryal (8 cm gan 4 cm) a thriongl (sylfaen 8 cm, uchder 3 cm) wedi'i atodi i'r brig. Mae perimedr yn cynnwys adio'r ymylon allanol: 8 plws 4 plws 4 plws 5 (hypotenws) plws 5, sy'n rhoi cyfanswm o 26 cm. Mae'r arwynebedd yn swm y ddwy ran: 32 cm sgwâr ar gyfer y petryal a 12 cm sgwâr ar gyfer y triongl, am gyfanswm o 44 cm sgwâr.
    • Er mwyn dod o hyd i arwynebedd cylch gyda radiws 7 cm, defnyddiwch pi gwaith radiws sgwâr. Gan ddefnyddio pi fel 3.14, y cyfrifiad yw 3.14 gwaith 49, sy'n arwain at 153.86 cm sgwâr. Ar gyfer hanner cylch, rhannwch y canlyniad hwn â 2 i gael 76.93 cm sgwâr. Sicrhewch bob amser bod unedau wedi'u sgwario ar gyfer arwynebedd ac unedau llinol ar gyfer mesuriadau perimedr.

    Mewn iaith syml

    Mae mesur siapiau 2D yn cynnwys cyfrif sgwariau ar gyfer amlinelliadau afreolaidd neu ddefnyddio fformiwlâu mathemategol penodol ar gyfer rhai rheolaidd. Trwy rannu siapiau cymhleth yn rai symlach fel petryalau neu drionglau, gallwch adio eu hardaloedd unigol at ei gilydd i ddod o hyd i'r maint cyfanswm.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch arwynebedd petryal 6 cm gan 4 cm wedi'i ymuno â thriongl gyda sylfaen 6 cm ac uchder 3 cm.

    Dangos yr ateb

    Arwynebedd = (6 gwaith 4) + (0.5 gwaith 6 gwaith 3) = 24 + 9 = 33 cm sgwâr.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.6.2 higher. Tudalennau PDF 37: Siapiau 2 ddimensiwn: Hyd arcau crwn Arwynebedd sectorau a segmentau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae arc yn rhan o gylchedd cylch. Cyfrifir ei hyd gan ddefnyddio'r ffracsiwn o'r cylch a gynrychiolir gan yr ongl ganolog mewn graddau: (ongl/360) gwaith 2 gwaith pi gwaith radiws. Ar gyfer cylch gyda radiws 10 cm ac ongl o 90 gradd, mae hyd yr arc yn (90/360) gwaith 2 gwaith 3.14 gwaith 10 = 0.25 gwaith 62.8 = 15.7 cm.
    • Mae sector yn dafell o gylch, tra bod segment yn arwynebedd rhwng arc a chord. Cyfrifir arwynebedd sector fel (ongl/360) gwaith pi gwaith radiws sgwâr. Gan ddefnyddio'r un cylch, mae'r arwynebedd yn 0.25 gwaith 3.14 gwaith 100 = 78.5 cm sgwâr. I ddod o hyd i arwynebedd y segment, tynnwch arwynebedd y rhan driongli (a ffurfiwyd gan y ddau radiws a'r chord) o arwynebedd y sector.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ystyriwch sector gyda radiws 6 cm ac ongl 60 gradd. Yn gyntaf, dewch o hyd i arwynebedd y sector: (60/360) gwaith 3.14 gwaith 36 = 1/6 gwaith 113.04 = 18.84 cm sgwâr. Nesaf, cyfrifwch arwynebedd y triongl gan ddefnyddio 0.5 gwaith r sgwâr gwaith sin(theta). Gan ddefnyddio 60 gradd: 0.5 gwaith 36 gwaith sin(60) = 18 gwaith 0.866 = 15.588 cm sgwâr.
    • Tynnwch arwynebedd y triongl o arwynebedd y sector i ynysu arwynebedd y segment: 18.84 - 15.588 = 3.252 cm sgwâr. Sicrhewch fod y cyfrifiannell wedi'i osod i fodd gradd ar gyfer gweithrediadau trigonometrig. Mae'r dulliau hyn yn caniatáu ar gyfer mesur manwl o segmentau geometrig crwm sy'n hanfodol ar gyfer cymwysiadau peirianneg a dylunio sy'n cynnwys cymesuredd cylchdro.

    Mewn iaith syml

    Mae'r cyfrifiadau hyn yn mesur rhannau o gylch. Arciau yw'r ymylon, sectorau yw'r tafelli fel pitsa, ac mae segmentau yn ardaloedd llai a dorrir i ffwrdd gan linell syth rhwng dau bwynt ar ymyl y cylch.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i arwynebedd sector gyda radiws 4 cm ac ongl 90 gradd (pi = 3.14).

    Dangos yr ateb

    Arwynebedd = (90/360) gwaith 3.14 gwaith 16 = 0.25 gwaith 50.24 = 12.56 cm sgwâr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.6.3 foundation; Unit 3 §3.6.3 foundation. Tudalennau PDF 37: Siapiau 3 dimensiwn: Arwynebedd arwyneb, arwynebedd trawstoriadol, cyfaint a chynhwysedd ciwb, ciwboid, prism, a solid cyfansawdd Arwynebedd trawstoriadol, cyfaint a chynhwysedd silindr

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Ar gyfer prism gyda thrawsdoriad cyson, cyfaint = arwynebedd trawstoriadol × hyd. Mae ciwboid yn brism hirsgwar; mae gan silindr drawstoriad cylchol, felly ei gyfaint yw πr²h. Mae'r uchder h yn berpendicwlar i'r gwaelod. Nid yw'r fformiwlâu hyn yn berthnasol heb eu newid i gôn neu byramid.
    • Arwynebedd arwyneb yw swm arwynebeddau pob wyneb agored. Mae gan giwboid o ddimensiynau l,w,h arwynebedd arwyneb 2(lw+lh+wh); mae gan giwb o ochr a arwynebedd arwyneb 6a². Ar solid cyfansawdd, peidiwch â chyfrif wynebau mewnol sydd wedi'u huno. Cynhwysedd yw cyfaint mewnol: 1 cm³ = 1 ml, 1000 cm³ = 1 litr, a 1 m³ = 1000 litr.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae ciwboid yn mesur 5 cm × 4 cm × 3 cm. Cyfaint = 5×4×3 = 60 cm³. Arwynebedd arwyneb = 2(5×4 + 5×3 + 4×3) = 94 cm². Mae gan brism trionglog gyda gwaelod trawstoriad 4 cm ac uchder berpendicwlar 5 cm arwynebedd trawstoriadol ½×4×5 = 10 cm². Gyda hyd 6 cm, ei gyfaint yw 60 cm³.
    • Mae silindr o radiws 2 cm ac uchder 10 cm ag arwynebedd trawstoriadol 4π cm² a chyfaint 40π ≈ 125.66 cm³, neu tua 125.66 ml. Ar gyfer dau giwboid nad ydynt yn gorgyffwrdd wedi'u huno at ei gilydd, adiwch eu cyfaint. Os oes ganddynt ddimensiynau 4×3×2 a 2×3×2 cm ac yn rhannu wyneb 3×2, cyfaint = 24+12 = 36 cm³; arwynebedd arwyneb agored = 52+32−2×6 = 72 cm².

    Mewn iaith syml

    Gweithiwch allan drawstoriad y prism yn gyntaf. Cyfrifwch wynebau agored yn unig ar gyfer arwynebedd arwyneb a throsi unedau ciwbig yn ofalus.

    Hunanwirio

    Mae tanc hirsgwar â dimensiynau mewnol 50 cm × 40 cm × 30 cm. Beth yw ei gynhwysedd mewn litrau?

    Dangos yr ateb

    Cyfaint = 50×40×30 = 60000 cm³. Rhannwch â 1000 i gael 60 litr.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §3.6.3 higher; Unit 3 §3.6.3 higher. Tudalennau PDF 37: Arwynebedd arwyneb silindr Arwynebedd arwyneb, cyfaint a chynhwysedd sffêr, côn, pyramid a solid cyfansawdd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gan silindr caeedig arwynebedd arwyneb 2πr² + 2πrh. Mae gan sffêr arwynebedd arwyneb 4πr² a chyfaint (4/3)πr³. Mae gan gôn arwynebedd arwyneb crwm πrl, cyfanswm arwynebedd arwyneb πrl + πr², a chyfaint (1/3)πr²h. Mewn côn, mae l yn uchder gogwydd ac h yn uchder berpendicwlar.
    • Mae gan byramid gyfaint (1/3) × arwynebedd gwaelod × uchder berpendicwlar. Ei gyfanswm arwynebedd arwyneb yw'r gwaelod ynghyd â phob arwynebedd wyneb trionglog, gan ddefnyddio uchder berpendicwlar pob wyneb o fewn yr wyneb hwnnw. Mae hynny'n gyffredinol yn uchder gogwydd, nid uchder fertigol y pyramid. Gall solidau cyfansawdd olygu adio cyfaint neu dynnu rhan sydd wedi'i dynnu; rhaid i arwynebeddau arwyneb agored hepgor wynebau mewnol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae gan silindr caeedig o radiws 3 cm ac uchder 5 cm arwynebedd arwyneb 2π×9 + 2π×3×5 = 48π ≈ 150.80 cm². Mae gan sffêr o radiws 3 cm gyfaint (4/3)π×27 = 36π ≈ 113.10 cm³ ac arwynebedd 36π ≈ 113.10 cm²: mae gan y mynegiadau rhifiadol cyfartal yma unedau gwahanol.
    • Mae gan gôn radiws 4 cm ac uchder fertigol 3 cm. Trwy Pythagoras, uchder gogwydd = √(4²+3²) = 5 cm. Cyfaint = (1/3)π×16×3 = 16π ≈ 50.27 cm³; cyfanswm arwynebedd = π×4×5 + π×16 = 36π ≈ 113.10 cm². Mae gan byramid sgwâr gydag ochr gwaelod 6 cm ac uchder fertigol 4 cm uchder gogwydd wyneb √(3²+4²) = 5 cm, cyfaint 36×4/3 = 48 cm³, ac arwynebedd 36 + 4(½×6×5) = 96 cm².
    • Mae hemisffer o radiws 3 cm yn cael ei osod ar silindr o'r un radiws ac uchder 5 cm. Cyfaint = 45π + 18π = 63π ≈ 197.92 cm³. Mae'r arwynebedd allanol yn cynnwys arwyneb crwm y silindr, ei waelod ac arwyneb crwm yr hemisffer, ond nid eu hwyneb cylchol cyffredin: 30π + 9π + 18π = 57π ≈ 179.07 cm².

    Mewn iaith syml

    Dewiswch y fformiwla ar gyfer y solid, gwahaniaethwch rhwng uchderau fertigol a gogwydd, a hepgorwch wynebau mewnol sydd wedi'u huno.

    Hunanwirio

    Mae gan byramid â gwaelod sgwâr ochr gwaelod 10 cm ac uchder fertigol 12 cm. Darganfyddwch ei gyfaint a'i gyfanswm arwynebedd arwyneb.

    Dangos yr ateb

    Cyfaint = (1/3)×100×12 = 400 cm³. Uchder gogwydd wyneb = √(5²+12²) = 13 cm. Cyfanswm arwynebedd arwyneb = 100 + 4(½×10×13) = 360 cm².

    Gweld diagramau

    Uchder fertigol ac uchder goleddol wyneb

    4 cm5 cm3 cm6 cmBrig
    Allwedd a disgrifiad

    Mae gan byramid sgwâr ochr sylfaen 6 cm ac uchder fertigol 4 cm. Cysylltwch y brig â chanolbwynt ochr y sylfaen: yr uchder goleddol hwn yw √(4² + 3²) = 5 cm. Cyfaint = ⅓ × 36 × 4 = 48 cm³; arwynebedd cyfan = 36 + 4 × ½ × 6 × 5 = 96 cm². Llun sgematig mewn persbectif yw hwn.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.7.1 foundation. Tudalennau PDF 38: defnyddio theorem Pythagoras mewn: 2 ddimensiwn, gan gynnwys problemau cildro

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae theorem Pythagoras yn nodi bod perthynas rhwng ochrau triongl ongl sgwâr lle mae a wedi ei sgwario ynghyd â b wedi ei sgwario yn hafal i c wedi ei sgwario. Mae'r rheol hon yn caniatáu cyfrifo hydoedd ochrau coll mewn dau ddimensiwn pryd bynnag y gwyddys am ddwy ochr, neu wirio os yw triongl yn ongl sgwâr gan ddefnyddio ei hydoedd ochr.
    • Mae problemau gwrthdro yn cynnwys dod o hyd i hyd ochr pan wyddys yr hypotenws a'r ochr arall. Trwy aildrefnu'r fformiwla i a wedi ei sgwario yn hafal i c wedi ei sgwario tynnu b wedi ei sgwario, gallwch gyfrifo'r ochr anhysbys. Sicrhewch fod yr holl ddimensiynau mewn unedau cyson, fel centimetrau neu fetrau, cyn cyflawni'r cyfrifiad er mwyn osgoi gwallau yn y canlyniad terfynol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i hypotenws triongl gydag ochrau 3cm a 4cm, cyfrifwch 3 wedi ei sgwario ynghyd â 4 wedi ei sgwario sy'n 9 ynghyd â 16, gan arwain at 25. Mae cymryd gwreiddyn sgwâr 25 yn rhoi 5cm fel yr hypotenws. Cyflawnwch y cam sgwario bob amser yn gyntaf a'r gweithrediad gwreiddyn sgwâr fel y cam olaf yn y dilyniant.
    • Ar gyfer problem wrthdro lle mae'r hypotenws yn 13cm ac un ochr yn 5cm, cyfrifwch 13 wedi ei sgwario tynnu 5 wedi ei sgwario, sy'n 169 tynnu 25, gan arwain at 144. Mae gwreiddyn sgwâr 144 yn 12cm. Mae hyn yn cadarnhau bod yr ail ochr yn 12cm, gan ddarparu datrysiad cyflawn ar gyfer dimensiynau'r triongl.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch y berthynas rhwng ochrau triongl ongl sgwâr i ddod o hyd i hydoedd coll gan ddefnyddio sgwariau a gwreiddiau sgwâr.

    Hunanwirio

    Mae gan driongl ongl sgwâr hypotenws o 10m ac un ochr o 6m. Beth yw hyd yr ochr arall?

    Dangos yr ateb

    8m. Wedi ei gyfrifo gan wreiddyn sgwâr (10 wedi ei sgwario tynnu 6 wedi ei sgwario) sy'n gwreiddyn sgwâr (100 tynnu 36) yn hafal i wreiddyn sgwâr 64.

    Gweld diagramau

    Triongl ongl sgwâr ag ochrau wedi’u labelu

    435θ90°
    Allwedd a disgrifiad

    O ran yr ongl θ, yr ochr gyferbyn yw 3, yr ochr gyfagos yw 4 a’r hypotenws yw 5.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.7.2 higher. Tudalennau PDF 38: defnyddio theorem Pythagoras mewn 3 dimensiwn, gan gynnwys problemau cildro

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mewn tri dimensiwn, defnyddir theorem Pythagoras i bennu'r croeslin gofod o fewn ciwboid neu brism. Ar gyfer ciwboid gyda dimensiynau hyd L, lled W, ac uchder H, canfyddir y croeslin gofod D gan yr hafaliad D wedi ei sgwario yn hafal i L wedi ei sgwario ynghyd â W wedi ei sgwario ynghyd â H wedi ei sgwario.
    • Mae problemau gwrthdro yn 3D yn gofyn am ddod o hyd i un dimensiwn coll pan wyddys y croeslin gofod a dwy ddimensiwn arall. Trwy dynnu sgwariau ochrau hysbys o sgwâr y croeslin, canfyddir y dimensiwn coll. Gwirio cyfeiriadedd y siâp bob amser i sicrhau bod yr ochrau cywir yn cael eu sgwario.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ystyriwch giwboid gyda hyd 4m, lled 3m, ac uchder 12m. Mae croeslin y gofod D wedi ei sgwario yn 4 wedi ei sgwario ynghyd â 3 wedi ei sgwario ynghyd â 12 wedi ei sgwario, sef 16 ynghyd â 9 ynghyd â 144 sy'n hafal i 169. Felly, D yw gwreiddyn sgwâr 169, sef 13m. Crynhowch sgwariau'r holl dri dimensiwn bob amser cyn cymryd y gwreiddyn sgwâr.
    • I ddatrys ar gyfer uchder coll lle mae'r croeslin yn 15cm, y hyd yn 9cm, a'r lled yn 8cm, aildrefnwch i H wedi ei sgwario yn hafal i 15 wedi ei sgwario tynnu 9 wedi ei sgwario tynnu 8 wedi ei sgwario. Mae hyn yn hafal i 225 tynnu 81 tynnu 64, gan arwain at 80. Felly, H yw gwreiddyn sgwâr 80, sef tua 8.94cm.

    Mewn iaith syml

    Dewch o hyd i'r llinell fewnol hiraf mewn blwch 3D trwy sgwario'r tair ochr, eu hadio, a chymryd y gwreiddyn sgwâr.

    Hunanwirio

    Mae gan giwboid hyd 2cm, lled 2cm, ac uchder 1cm. Darganfyddwch y croeslin gofod.

    Dangos yr ateb

    3cm. Wedi ei gyfrifo gan wreiddyn sgwâr (2 wedi ei sgwario ynghyd â 2 wedi ei sgwario ynghyd â 1 wedi ei sgwario) yn hafal i wreiddyn sgwâr (4 ynghyd â 4 ynghyd â 1) yn hafal i wreiddyn sgwâr 9.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.7.3 higher. Tudalennau PDF 38: defnyddio perthnasoedd trigonometrig mewn trionglau ongl sgwâr i ddatrys problemau, gan gynnwys y rhai â chyfeiriannau ac onglau codi a gostwng

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mewn perthynas â'r ongl ddewisol θ, sin θ = croes/hypotenws, cos θ = gyfagos/hypotenws a tan θ = croes/gyfagos. Mae'r hypotenws gyferbyn â'r ongl sgwâr. Gosodwch y cyfrifiannell i raddau. I ddod o hyd i ongl, defnyddiwch y ffwythiant gwrthdro cyfatebol.
    • Onglau tri ffigwr yw cwmpasau sy'n cael eu mesur yn glocwedd o'r Gogledd, er enghraifft 053°. Mae ongl dyrchafiad yn cael ei mesur i fyny o linell lorweddol; mae isafiad i lawr o linell lorweddol. Mewn problem uchder, dylech gynnwys unrhyw uchder llygaid a nodwyd yn hytrach na thybio bod y sylwebydd ar lefel y ddaear.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae ysgol 5 m o hyd yn gwneud 60° gyda'r ddaear wastad. Dyma'r hypotenws a'r uchder yw'r ochr groes: uchder = 5 sin 60° ≈ 4.33 m. Mae llygaid sylwebydd 1.5 m uwchben y ddaear, 20 m yn lorweddol o dŵr, gydag ongl dyrchafiad o 40°. Uchder uwchben y llygaid = 20 tan 40° ≈ 16.78 m, felly uchder y dŵr ≈ 18.28 m.
    • Mae cwch yn gorffen 3 km i'r gogledd a 4 km i'r dwyrain o'i bwynt cychwyn. Tynnwch y Gogledd yn fertigol a'r Dwyrain yn lorweddol. Mae gan yr ongl glocwedd o'r Gogledd ochr groes 4 ac ochr gyfagos 3, felly θ = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.13°. Ei gwmpas yw 053° i'r radd agosaf a'i bellter yw √(3² + 4²) = 5 km. O'r cyrchfan yn ôl i'r man cychwyn, ychwanegwch 180°: 233°.

    Mewn iaith syml

    Tynnwch a labelwch y triongl sgwâr, yna dewiswch y cymhareb gan ddefnyddio'r ochrau mewn perthynas â'r ongl ofynnol.

    Hunanwirio

    Mae pwynt 8 km i'r gogledd a 6 km i'r dwyrain o A. Darganfyddwch ei gwmpas o A i'r radd agosaf.

    Dangos yr ateb

    θ = tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87° clocwedd o'r Gogledd, felly y cwmpas tri ffigwr yw 037°.

    Gweld diagramau

    Triongl ongl sgwâr ag ochrau wedi’u labelu

    435θ90°
    Allwedd a disgrifiad

    O ran yr ongl θ, yr ochr gyferbyn yw 3, yr ochr gyfagos yw 4 a’r hypotenws yw 5.

    Cyfeiriant a phellteroedd cydrannau

    GD030°10 km5√3 km i’r gogledd5 km i’r dwyrain
    Allwedd a disgrifiad

    Teithio 10 km ar gyfeiriant 030° (30° yn glocwedd o’r gogledd). Cydran ogleddol = 10 cos 30° = 5√3 km (tua 8.66 km); cydran ddwyreiniol = 10 sin 30° = 5 km.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.7.4 higher. Tudalennau PDF 38: cyfrifo ochr neu ongl triongl ongl sgwâr mewn 2 ddimensiwn a 3 dimensiwn

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyfrifo ochrau ac onglau mewn 3D yn aml yn cynnwys nodi trionglau ongl sgwâr 2D cudd o fewn y siâp. Er enghraifft, efallai y bydd prism hirsgwar yn gofyn am ddod o hyd i groeslin sylfaen cyn cyfrifo ongl y croeslin gofod gan ddefnyddio trigonometreg.
    • Wrth ddatrys ar gyfer onglau, defnyddiwch y swyddogaethau trigonometrig gwrthdro ar eich cyfrifiannell, a ddynodir fel sin-1, cos-1, neu tan-1. Mae'r swyddogaethau hyn yn cymryd cymhareb ochrau ac yn dychwelyd yr ongl gyfatebol mewn graddau. Sicrhewch nodi'r hypotenws, yr ochr gyferbyn, a'r ochr gyfagos yn gyson mewn perthynas â'r ongl sy'n cael ei chyfrifo.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i ongl drychiad mewn 3D ar gyfer pyramid gyda sylfaen sgwâr ochr 10m ac uchder 12m, darganfyddwch hanner croeslin y sylfaen yn gyntaf. Hanner croeslin yw gwreiddyn sgwâr (5 wedi ei sgwario ynghyd â 5 wedi ei sgwario) sy'n 7.07m. Nawr defnyddiwch Tan ongl yn hafal i Uchder / hanner croeslin: Tan ongl yn hafal i 12 / 7.07 yn hafal i 1.697.
    • Cyfrifwch y tangent gwrthdro o 1.697. Tan-1(1.697) yn hafal i 59.5 gradd. Mae'r ongl hon yn cynrychioli gogwydd yr ymyl tuag at y canol. Dychmygwch y plân 2D sy'n torri trwy'r gwrthrych 3D bob amser i ddiffinio'r triongl angenrheidiol yn glir.

    Mewn iaith syml

    Darganfyddwch onglau ac ochrau mewn siapiau 3D cymhleth trwy ynysu'r trionglau ongl sgwâr 2D cywir y tu mewn iddynt.

    Hunanwirio

    Mewn ciwb o ochr 5cm, beth yw'r ongl rhwng croeslin y sylfaen a chroeslin gofod y ciwb?

    Dangos yr ateb

    35.3 gradd. Wedi ei gyfrifo gan ddefnyddio Tan ongl yn hafal i 5 / (5 * gwreiddyn sgwâr 2), sy'n 1 / 1.414 yn hafal i 0.707. Tan-1(0.707) yn hafal i 35.3 gradd.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.7.5 higher. Tudalennau PDF 38: ymestyn trigonometreg i onglau o unrhyw faint

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae swyddogaethau trigonometrig yn cael eu hestyn y tu hwnt i 90 gradd gan ddefnyddio'r cylch uned. Mae onglau yn cael eu mesur o'r echel x bositif. Mae Sine yn gysylltiedig â'r cyfesuryn y, Cosine â'r cyfesuryn x, a Tangent yw'r gymhareb y/x. Mae priodweddau cymesuredd yn caniatáu dod o hyd i werthoedd ar gyfer onglau mawr ac atblygol.
    • Mae'r pedwar cwadran yn pennu arwyddion y swyddogaethau. Yn y cwadran gyntaf, mae pob un yn bositif. Yn yr ail, dim ond Sine sy'n bositif. Yn y trydydd, dim ond Tangent sy'n bositif. Yn y pedwerydd, dim ond Cosine sy'n bositif. Mae hyn yn cael ei gofio fel CAST. Ar gyfer ongl fawr x, mae Sin(x) yn hafal i Sin(180-x).

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i Cosine 150 gradd, nodwch ei fod yn yr ail gwadran lle mae Cosine yn negatif. Yr ongl gyfeirio yw 180 tynnu 150 sy'n 30 gradd. Felly, mae Cos 150 yn hafal i -Cos 30. Gan fod Cos 30 yn 0.866, mae Cos 150 yn hafal i -0.866.
    • Ar gyfer Tangent 210 gradd, mae hyn yn y trydydd gwadran lle mae Tangent yn bositif. Yr ongl gyfeirio yw 210 tynnu 180 sy'n 30 gradd. Felly, mae Tan 210 yn hafal i Tan 30. Gan fod Tan 30 tua 0.577, mae Tan 210 yn hafal i 0.577. Defnyddiwch yr ongl gyfeirio bob amser mewn perthynas â'r echel x.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch y cylch uned a rheolau cwadran i ddod o hyd i werthoedd ar gyfer onglau sy'n fwy na 90 gradd.

    Hunanwirio

    Beth yw gwerth Sine 120 gradd?

    Dangos yr ateb

    0.866. Gan ei fod yn yr ail gwadran, mae Sine 120 yn hafal i Sine 60, sy'n tua 0.866.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.7.6 higher. Tudalennau PDF 38: cymhwyso gwybodaeth am drigonometreg gydag onglau o unrhyw faint i ddatrys problemau mewn 2 neu 3 dimensiwn, gan gynnwys defnydd priodol o’r rheolau sin a chosin

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Labelwch ochrau a,b,c gyferbyn ag onglau A,B,C. Mae'r rheol sin a/sin A = b/sin B = c/sin C yn ddefnyddiol pan wyddys pâr o ochr ac ongl cyfatebol. Mae'r rheol cosin c² = a²+b²−2ab cos C yn canfod ochr o ddwy ochr a'u hongl gynwysedig, neu ongl o dair ochr.
    • Cadwch werthoedd canolradd heb eu talgrynnu. Mewn problem rheol sin ochr-ochr-ongl, gall sin gwrthdro roi ongl lem hyd yn oed pan fo dewis arall aflem yn bosibl. Ystyriwch θ a 180°−θ, a gwrthodwch ymgeisydd dim ond trwy ddefnyddio'r wybodaeth arall neu swm yr onglau. Mae defnyddio'r rheol cosin gyda thair ochr hysbys yn osgoi'r amwysedd hwnnw.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer a=10 cm, b=12 cm a C gynwysedig=60°, c² = 100+144−240×0.5 = 124, felly c=√124 ≈ 11.14 cm. I ganfod B defnyddiwch cos B = (a²+c²−b²)/(2ac) = (100+124−144)/(20√124). Felly B ≈ 68.95° ac A ≈ 51.05°. Mae'r rheol sin yn cytuno pan ddewisir yr ongl gywir.
    • Ar gyfer a=5, b=6 a C=70°, c² = 25+36−60 cos70° ≈ 40.47879. Felly c ≈ 6.36, nid 6.39. Gwiriwch mai'r ochr gyferbyn â'r ongl fwyaf yw'r ochr hiraf.
    • Ar gyfer a=10, A=30° a b=12, sin B = 12 sin30°/10 = 0.6. Gall B fod tua 36.87° neu 143.13°. Mae'r ongl sy'n weddill tua 113.13° neu 6.87°, yn y drefn honno, felly mae'r ddau driongl yn bosibl oni bai bod mwy o wybodaeth yn dewis un ohonynt.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch barau cyferbyn cyfatebol ar gyfer y rheol sin a'r ongl gynwysedig ar gyfer y rheol cosin. Cadwch gywirdeb llawn a gwiriwch onglau aflem posibl.

    Hunanwirio

    Mae ochrau a=5, b=6 yn cynnwys C=70°. Darganfyddwch c i ddau le degol.

    Dangos yr ateb

    c=√(5²+6²−2×5×6 cos70°) ≈ √40.47879 ≈ 6.36.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.7.7 higher. Tudalennau PDF 38: defnyddio'r fformiwla: arwynebedd triongl = ½absinC

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Gellir cyfrifo arwynebedd triongl heb yr uchder perpendicwlar os gwyddys dwy ochr a'r ongl gynhwysol. Y fformiwla yw Arwynebedd yn hafal i 0.5 * a * b * Sin C, lle mae a a b yn ochrau a C yw'r ongl rhyngddynt.
    • Mae'r fformiwla hon yn arbennig o ddefnyddiol ar gyfer dod o hyd i arwynebedd trionglau an-ongl sgwâr neu ar gyfer cyfrifo arwynebeddau o fewn problemau geometreg cyfesurynnol 3D. Sicrhewch mai'r ongl a ddefnyddir yw'r un sydd wedi ei chynnwys yn benodol rhwng y ddau hyd ochr penodedig.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch arwynebedd triongl gydag ochr a=8m, ochr b=10m, ac ongl gynhwysol 45 gradd. Gan ddefnyddio'r fformiwla, Arwynebedd yn hafal i 0.5 * 8 * 10 * Sin 45. Mae Sin 45 tua 0.707.
    • Lluoswch 0.5 * 8 * 10 sy'n 40. Yna, mae 40 * 0.707 yn hafal i 28.28 metr sgwâr. Mae'r canlyniad hwn yn darparu'r cyfanswm gofod amgaeedig o'r triongl. Sicrhewch bob amser fod unedau wedi eu sgwario gan fod hyn yn cynrychioli cyfrifiad arwynebedd.

    Mewn iaith syml

    Dewch o hyd i arwynebedd unrhyw driongl gan ddefnyddio dwy ochr a'r ongl rhyngddynt wedi eu lluosi â 0.5 a sine.

    Hunanwirio

    Mae gan driongl ochrau 6cm a 9cm gydag ongl gynhwysol o 30 gradd. Darganfyddwch yr arwynebedd.

    Dangos yr ateb

    13.5 centimetr sgwâr. Wedi ei gyfrifo gan 0.5 * 6 * 9 * Sin 30 yn hafal i 0.5 * 54 * 0.5 yn hafal i 13.5.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.7.8 higher. Tudalennau PDF 38: braslunio, deall ymddygiad, a defnyddio graffiau ffwythiannau trigonometrig

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae graff y = sin(x) yn don gyfnodol sy'n dechrau yn y tarddiad (0,0), yn cyrraedd uchder uchaf o 1 ar 90 gradd, yn croesi echelin x ar 180 gradd, yn taro lleiafswm o -1 ar 270 gradd, ac yn dychwelyd i'r echelin x ar 360 gradd. Mae'r ffwythiant hwn yn ailadrodd ei werthoedd bob 360 gradd, sy'n cael ei ddiffinio fel ei gyfnod. Mae osgled y don safonol hon yn 1, wedi'i fesur fel y pellter o'r llinell ganol i'r copa. Mae deall y pwyntiau hyn yn caniatáu i chi fraslunio'r gromlin yn gywir trwy blotio cyfesurynnau fel (0, 0), (90, 1), (180, 0), (270, -1), a (360, 0).
    • Mae graff y = cos(x) yn ymddwyn yn debyg fel don gyfnodol, ond mae'n dechrau ar ei werth uchaf o 1 pan fo x = 0 gradd. Mae'r ffwythiant yn croesi echelin x ar 90 gradd, yn cyrraedd gwerth lleiaf o -1 ar 180 gradd, yn croesi echelin x eto ar 270 gradd, ac yn dychwelyd i 1 ar 360 gradd. Trwy gofio'r cyfesurynnau allweddol hyn fel (0, 1), (90, 0), (180, -1), (270, 0), a (360, 1), gallwch gynhyrchu braslun cyson. Oherwydd bod ffwythiannau sin a cosin yn siglo rhwng 1 a -1, maent yn sylfaenol ar gyfer modelu ffenomenau cyfnodol byd go iawn fel uchder llanw neu donau sain.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I fraslunio y = sin(x) ar gyfer yr egwyl 0 i 360 gradd, tynnwch echelinau yn gyntaf gyda graddau ar yr echelin x llorweddol a gwerthoedd ar yr echelin y fertigol. Marciwch yr osgled fel 1 a -1. Cyfrifwch y gwerth y ar gyfer x = 45 gradd gan ddefnyddio cyfrifiannell: mae sin(45) yn hafal i tua 0.707. Gan fod sin(45) yn bositif, rydych chi'n gosod pwynt hanner ffordd rhwng y tarddiad a 90 gradd ar 0.707. Parhewch â'r broses hon ar gyfer 135 gradd, lle mae sin(135) hefyd yn hafal i 0.707. Ymunwch â'r pwyntiau (0,0), (45, 0.707), (90,1), (135, 0.707), (180,0), (225, -0.707), (270,-1), (315, -0.707), a (360, 0) gyda chromlin esmwyth.
    • I blotio y = cos(x) dros yr un egwyl, plotiwch eich pwyntiau gan ddechrau yn (0, 1). Cyfrifwch y gwerth ar 60 gradd: mae cos(60) yn hafal i 0.5. Plotiwch (60, 0.5). Nesaf, darganfyddwch cos(120), sy'n hafal i -0.5. Plotiwch (120, -0.5). Trwy gyfrifo'r camau canolradd hyn, rydych yn sicrhau bod y trosglwyddiad ton trwy'r echelin x ar 90 gradd yn gywir. Cysylltwch (0,1), (60, 0.5), (90,0), (120, -0.5), (180, -1), (240, -0.5), (270, 0), (300, 0.5), a (360, 1). Sylwch fod y gromlin yn gymesur am yr echelin y, gan ddarparu dilysiad gweledol o'r hunaniaeth cosin.

    Mewn iaith syml

    Mae graffiau trigonometrig yn donau ailadroddus sy'n dangos sut mae gwerthoedd sin a cosin yn newid wrth i ongl gynyddu. Mae sin yn dechrau yn sero ac yn codi, tra bod cosin yn dechrau ar un ac yn disgyn. Mae'r ddwy don yn symud yn esmwyth rhwng 1 a -1 ac yn ailadrodd eu cylch bob 360 gradd.

    Hunanwirio

    Ar gyfer y ffwythiant y = sin(x), beth yw gwerth y pan fo x = 270 gradd?

    Dangos yr ateb

    y = -1. Gwaith: O ddiffiniad y don sin, mae'r graff yn cyrraedd ei werth lleiaf o -1 ar 270 gradd.

    Gweld diagramau

    Sin a cos dros droad cyfan

    0°90°180°270°360°1−1sin xcos x
    Allwedd a disgrifiad

    Cromlin solet: y=sin x; cromlin doredig: y=cos x, mewn graddau. Yn 0°,90°,180°,270°,360°, gwerthoedd sin yw 0,1,0,−1,0 a gwerthoedd cos yw 1,0,−1,0,1. Mae gan y ddwy osgled 1 a chyfnod 360°.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.8.1 foundation. Tudalennau PDF 39: darganfod cyfesurynnau sydd wedi'u nodi gan wybodaeth geometregol benodol, gan gynnwys: canolbwynt llinell pedwerydd fertig paralelogram lleoliad sy'n cael ei bennu gan y pellter o bwynt penodol a’r ongl sy’n cael ei wneud gyda llinell benodol.

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Ar gyfer pwyntiau terfyn (x₁,y₁) ac (x₂,y₂), y canolbwynt yw ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Cyfrifwch gymedr y cyfesurynnau ar wahân. Mae hyn yn rhoi pwynt hanner ffordd ar hyd y segment.
    • Ar gyfer paralelogram ABCD gyda fertigau wedi eu henwi yn olynol o amgylch ei ffin, mae'r dadleoliad o A i D yn hafal i B i C, ac mae A i B yn hafal i D i C. Yn gyfatebol, mae gan y ddau groeslin yr un canolbwynt. Mae enwi trefn y fertigau yn bwysig: gall yr un tri phwynt roi pedwerydd pwyntiau gwahanol os yw'r drefn yn newid.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Canolbwynt A(2,4) a B(6,10) yw ((2+6)/2, (4+10)/2) = (4,7). Gwiria fod y dadleoliad o A i'r canolbwynt yn (2,3), yr un fath â'r dadleoliad o'r canolbwynt i B.
    • Yn y paralelogram olynol ABCD, A(1,1), B(4,2), C(5,5). Mae B i C yn (1,3), felly D = (1,1)+(1,3) = (2,4). Gwiria ganolbwyntiau'r croesliniau: mae gan AC ganolbwynt (3,3) ac mae gan BD ganolbwynt (3,3) hefyd.
    • I leoli pwynt 5 uned o A(1,2) ar 90° yn wrthglocwedd o'r cyfeiriad llorweddol positif, tynnwch y cyfeiriad hwnnw a symud 5 uned i fyny: y pwynt yw (1,7). Os yw AB â dadleoliad (3,1) a C(2,4), mae gan segment cyfochrog CD o'r un hyd a chyfeiriad D = (2+3,4+1) = (5,5). Byddai gwrthdroi'r cyfeiriad yn rhoi pwynt terfyn gwahanol.

    Mewn iaith syml

    Cyfrifwch gymedr y cyfesurynnau ar gyfer canolbwynt; defnyddiwch ddadleoliadau hafal neu groesliniau sy'n haneru ei gilydd ar gyfer paralelogram.

    Hunanwirio

    Beth yw canolbwynt (0,0) a (10,8)?

    Dangos yr ateb

    ((0+10)/2, (0+8)/2) = (5,4).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.8.2 foundation. Tudalennau PDF 39: disgrifio a lluniadu siapiau gyda llinell cymesuredd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cymesuredd llinell, neu gymesuredd adlewyrchol, yn digwydd pan ellir plygu siâp ar hyd llinell fel bod y ddwy hanner yn cyd-fynd yn berffaith. Gall siâp gael un, nifer o linellau, neu ddim llinellau cymesuredd. Er enghraifft, mae gan driongl isosceles un llinell gymesuredd, tra bod gan benteagon rheolaidd bump.
    • I ddisgrifio cymesuredd llinell, nodwch nifer y llinellau a'u cyfeiriadedd, fel fertigol, llorweddol, neu groeslinol. Mae llunio'r siapiau hyn yn gofyn am blotio fertigau allweddol a sicrhau bod y pwyntiau wedi'u hadlewyrchu yr un pellter o'r llinell gymesuredd ar yr ochr arall.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Enghraifft: Ystyriwch sgwâr gyda fertigau yn (0,0), (2,0), (2,2), a (0,2). Mae gan y siâp hwn bedair llinell gymesuredd: y llinell fertigol x=1, y llinell llorweddol y=1, a'r llinellau croeslin y=x a y=2-x. I dynnu hwn, plotiwch y fertigau a defnyddiwch linell doredig i nodi'r echelinau cymesuredd sy'n mynd drwy'r canol yn (1,1).
    • Enghraifft: Ystyriwch farcud gyda fertigau (0,1), (2,0), (0,-3), a (-2,0). Mae gan y siâp hwn un llinell gymesuredd fertigol ar hyd echelin y (x=0). Drwy dynnu'r llinell gymesuredd, rydych yn cadarnhau bod gan bob pwynt (x, y) ar y dde, bwynt cyfatebol (-x, y) ar y chwith, gan gynnal priodwedd y siâp.

    Mewn iaith syml

    Llinell gymesuredd yw llinell sy'n rhannu siâp yn ddwy hanner sy'n adlewyrchiadau perffaith o'i gilydd.

    Hunanwirio

    Faint o linellau cymesuredd sydd gan betryal nad yw'n sgwâr?

    Dangos yr ateb

    Mae ganddo ddwy linell gymesuredd: un fertigol drwy'r canol ac un llorweddol drwy'r canol.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.8.3 foundation. Tudalennau PDF 39: lluniadu llinellau cymesuredd ar siâp

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae llunio llinellau cymesuredd yn gofyn am drachywiredd i sicrhau bod yr adrannau wedi'u rhannu yn cyfateb yn gywir wrth eu plygu. Ar gyfer siapiau cymhleth, ystyriwch y canol geometrig a'r llwybr rhwng fertigau sy'n cyfateb. Mae llinell gymesuredd bob amser yn rhannu'r pellter rhwng pwyntiau cyfatebol yn ddwy ran gyfartal.
    • Wrth weithio ar grid, gallwch ddefnyddio'r system gyfesurynnol i wirio'r llinell. Er enghraifft, os yw siâp wedi'i ddiffinio gan gyfesurynnau, mae'r llinell gymesuredd yn aml yn llinell grid neu'n llwybr croeslinol (y=x neu y=-x). Mae adnabod y rhain yn helpu i gynnal geometreg gywir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Enghraifft: Lluniwch y llinellau cymesuredd ar gyfer hecsagon rheolaidd gyda chanol (0,0) a fertigau yn (2,0), (1, 1.73), (-1, 1.73), (-2,0), (-1, -1.73), a (1, -1.73). Mae'r llinellau cymesuredd yn cynnwys yr echelin x, yr echelin y, a llinellau drwy fertigau cyferbyniol fel y=1.73x a y=-1.73x. Defnyddiwch reolwr i farcio'r llinellau hyn yn glir drwy'r pwynt canol (0,0).
    • Enghraifft: Ar gyfer trapesoid isosceles gyda chyfesurynnau (1,1), (3,1), (4,3), a (0,3), nodwch y canol. Y llinell gymesuredd yw x=2. Mae llunio'r llinell fertigol hon yn dangos ei bod yn pasio drwy ganolbwyntiau'r ochrau paralel, gan gadarnhau'r cydbwysedd adlewyrchol rhwng adrannau chwith a dde'r trapesoid.

    Mewn iaith syml

    Mae llunio llinellau cymesuredd yn golygu dod o hyd i'r llwybr sy'n rhannu siâp yn ddwy ran sy'n adlewyrchiad o'i gilydd.

    Hunanwirio

    Os yw siâp yn gylch, faint o linellau cymesuredd y gellir eu tynnu?

    Dangos yr ateb

    Nifer anfeidrol, gan fod unrhyw linell sy'n pasio drwy'r canol yn llinell gymesuredd.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.8.4 foundation. Tudalennau PDF 39: deall trefn cymesuredd cylchdro a disgrifio a lluniadu siapiau â chymesuredd cylchdro

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae trefn cymesuredd cylchdro yn cyfrif faint o weithiau y mae siâp yn cyd-fynd â'i safle gwreiddiol yn ystod troiad llawn 360°, gan gynnwys y troiad llawn terfynol ond heb gyfrif y safle cychwyn eto. Mae trefn 1 yn golygu mai dim ond y troiad llawn sy'n cyd-fynd.
    • Mae gan boly-ongl rheolaidd n-ochrog drefn n, gyda safleoedd cyfatebol bob 360°/n. Mae gan betryal nad yw'n sgwâr drefn 2, tra bod gan sgwâr drefn 4. Rhaid i'r cylchdro ddefnyddio canol cywir y siâp.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae gan betryal gyda fertigau (0,0),(4,0),(4,2),(0,2) ganol (2,1). Mae cylchdro 180° yn cyfnewid (0,0) gyda (4,2) a (4,0) gyda (0,2). Mae hefyd yn cyd-fynd ar 360°, gan roi trefn 2.
    • Mae gan driongl hafalochrog union fertigau (0,√3),(−1,0),(1,0) a chanol (0,√3/3). Mae cylchdro 120° clocwedd yn anfon y fertig uchaf i'r fertig isaf-dde. Mae'r triongl cyfan yn cyd-fynd ar 120°, 240° a 360°, felly ei drefn yw 3.

    Mewn iaith syml

    Cylchdroi o amgylch y canol a chyfrifwch bob safle cyfatebol mewn un troiad cyflawn.

    Hunanwirio

    Beth yw trefn cymesuredd cylchdro pentagon rheolaidd, a beth yw ei gylchdro cyfatebol positif lleiaf?

    Dangos yr ateb

    Trefn 5; cylchdro lleiaf = 360°/5 = 72°.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.8.5 foundation. Tudalennau PDF 39: disgrifio a lluniadu'r trawsffurfiadau canlynol: adlewyrchiad mewn llinell benodol cylchdroeon drwy 90 º neu 180 º , clocwedd neu wrthglocwedd, gan ddefnyddio canol cylchdro trawsfudo gyda chyfeiriad a phellter symudiad llorweddol a fertigol helaethiad yn ôl cyfanrif positif neu ffactor graddfa ffracsiynol, positif, a chanol yr helaethiad

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae trawsnewidiadau yn cynnwys mapio siapiau i safleoedd newydd drwy adlewyrchu, cylchdroi, trosiad, neu ehangu. Mae adlewyrchu yn defnyddio llinell gymesuredd; mae cylchdroi yn gofyn am ganol, ongl, a chyfeiriad; mae trosiad yn defnyddio fector (llorweddol, fertigol); ac mae ehangu yn defnyddio ffactor graddio a phwynt canol.
    • Mae ehangu yn newid maint y siâp. Os yw'r ffactor graddio k yn bositif, mae'r siâp yn ehangu neu'n crebachu o'r ganolbwynt ehangu. Er enghraifft, mae ffactor graddio o 2 yn dyblu pob pellter o'r canol i'r fertigau. Mae ffactor graddio ffracsiynol (ee 0.5) yn arwain at siâp llai.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Enghraifft (Cylchdroi): Cylchdroi'r pwynt A(1, 1) 90 gradd clocwedd o gwmpas y canol (0, 0). Y rheol ar gyfer 90 gradd clocwedd yw (x, y) -> (y, -x). Felly mae A(1, 1) yn dod yn (1, -1).
    • Enghraifft (Ehangu): Ehangu'r triongl gyda fertigau A(1, 1), B(2, 1), a C(1, 2) gan ffactor graddio o 3 o'r canol (0, 0). Y fertigau newydd yw (1*3, 1*3) = (3, 3), (2*3, 1*3) = (6, 3), a (1*3, 2*3) = (3, 6).
    • Gall helaethiad ffracsiynol grebachu siâp: gyda chanol (0,0), mae ffactor ½ yn mapio (2,2), (4,2), (2,4) i (1,1), (2,1), (1,2). Gall y canol fod y tu allan, y tu mewn neu ar ffin siâp. I ddisgrifio helaethiad o ddau luniad, cymharwch hydoedd cyfatebol ar gyfer ei ffactor graddfa; os oes angen canol, estynnwch y llinellau sy'n ymuno â fertigau cyfatebol i ddod o hyd iddo. Gall cwestiynau hefyd ofyn am helaethiad heb nodi canol, fel yr eglurwyd yn arweiniad Medi 2026.

    Mewn iaith syml

    Mae trawsnewidiadau yn symud siapiau gan ddefnyddio adlewyrchu, cylchdroi, trosiad, neu ehangu.

    Hunanwirio

    Trosluniwch y pwynt (2, 3) gan y fector (4, -1). Beth yw'r cyfesuryn newydd?

    Dangos yr ateb

    (6, 2).

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.8.5 higher. Tudalennau PDF 40: helaethiad yn ôl ffactor graddfa negyddol a chanol yr helaethiad.

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Ar gyfer canolbwynt C a ffactor graddfa k, mapiwch bob pwynt P i P′ = C + k(P−C). Mae k negatif yn gosod y ddelwedd ar ochr arall y canolbwynt o'r gwrthrych. Mae hydoedd yn lluosi â |k| ac mae onglau cyfatebol yn parhau'n gyfartal.
    • Mae'r llinell syth sy'n cysylltu pob pwynt a'i ddelwedd yn mynd drwy'r ganolfan. Ar gyfer k = −1, mae'r pellteroedd o'r ganolfan yn aros yn gyfartal ac mae'r canlyniad yn gyfwerth â chylchdroad o 180° am y ganolfan. Mae ffactor ffracsiynol negyddol hefyd yn lleihau'r maint.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Gyda'r ganolfan (0,0) a k = −2, lluoswch y ddau gyfesuryn â −2. Mae triongl (1,1), (2,1), (1,2) yn mapio i (−2,−2), (−4,−2), (−2,−4). Tynnwch y ddau driongl a chysylltwch y fertigau cyfatebol drwy'r tarddbwynt.
    • Gyda'r ganolfan C(1,1), mae gan y pwynt P(5,3) ddadleoliad o (4,2). Ar gyfer k = −½, lluoswch y dadleoliad hwnnw i gael (−2,−1), yna ychwanegwch y ganolfan: P′ = (−1,0). Byddai lluosi'r cyfesurynnau gwreiddiol yn uniongyrchol yn cymryd yn ganiataol yn anghywir mai'r tarddbwynt oedd y ganolfan.
    • Gall helaethiad ffracsiynol grebachu siâp: gyda chanol (0,0), mae ffactor ½ yn mapio (2,2), (4,2), (2,4) i (1,1), (2,1), (1,2). Gall y canol fod y tu allan, y tu mewn neu ar ffin siâp. I ddisgrifio helaethiad o ddau luniad, cymharwch hydoedd cyfatebol ar gyfer ei ffactor graddfa; os oes angen canol, estynnwch y llinellau sy'n ymuno â fertigau cyfatebol i ddod o hyd iddo. Gall cwestiynau hefyd ofyn am helaethiad heb nodi canol, fel yr eglurwyd yn arweiniad Medi 2026.

    Mewn iaith syml

    Dechreuwch wrth y ganolfan, gwrthdroch y cyfeiriad, a graddfa'r pellter yn ôl maint y ffactor.

    Hunanwirio

    Gwnewch helaethiad i P(3,−2) gyda ffactor −3 am (0,0).

    Dangos yr ateb

    P′ = (−9,6), ar yr ochr arall i'r tarddbwynt ac dair gwaith mor bell oddi wrtho.

    Gweld diagramau

    Ehangu negatif o ganol O

    OP (1, 1)Q (3, 1)R (1, 2)Q′ (−6, −2)P′ (−2, −2)R′ (−2, −4)GwreiddiolDelwedd: ehangu −2
    Allwedd a disgrifiad

    Triongl gwreiddiol: (1, 1), (3, 1), (1, 2). Mae ehangu â chanol O a ffactor graddfa −2 yn rhoi (−2, −2), (−6, −2), (−2, −4). Cysylltwch O â phob fertig ac estynnwch drwy O: mae’r ddelwedd ar yr ochr gyferbyn ac ddwywaith mor bell. Ehangu negatif yw hwn, nid adlewyrchiad mewn llinell ddrych.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §3.8.6 higher. Tudalennau PDF 40: disgrifio a lluniadu dau drawsffurfiad olynol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae trawsnewidiadau olynol yn digwydd pan fydd siâp yn cael dau symudiad gwahanol un ar ôl y llall. Er enghraifft, mae cylchdroi wedi'i ddilyn gan drosiad yn arwain at safle terfynol. Mae'n hanfodol cyflawni'r trawsnewidiadau yn y drefn benodedig, gan fod y siâp canolradd yn gwasanaethu fel mewnbwn ar gyfer yr ail gam.
    • Wrth ddisgrifio dau drawsnewidiad olynol, gall rhywun weithiau fynegi'r canlyniad fel un trawsnewidiad cyfatebol, fel cylchdroi neu adlewyrchu sengl. Mae hyn yn gofyn am olrhain symudiad fertigau unigol drwy'r grid cyfesurynnau i ddod o hyd i'r mapio terfynol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Enghraifft: Defnyddiwch gylchdro o 90 gradd clocwedd o gwmpas (0,0) i bwynt P(2, 1), yna trosiad gan fector (3, 2). Yn gyntaf, mae (2, 1) wedi'i gylchdroi 90 clocwedd yn dod yn (1, -2). Yna, gan gymhwyso trosiad (3, 2): (1+3, -2+2) = (4, 0).
    • Enghraifft: Defnyddiwch ehangiad o ffactor 2 o gwmpas (0,0) i sgwâr gyda fertigau (1, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 2). Y fertigau newydd yw (2, 2), (4, 2), (4, 4), (2, 4). Yna, adlewyrchwch y pwyntiau hyn yn y llinell x=0. Y fertigau terfynol yw (-2, 2), (-4, 2), (-4, 4), (-2, 4).

    Mewn iaith syml

    Mae trawsnewidiadau olynol yn digwydd pan fydd siâp yn cael dau symudiad gwahanol un ar ôl y llall.

    Hunanwirio

    Os ydych chi'n cylchdroi (1, 0) gan 90 gradd gwrth-glocwedd o gwmpas (0,0) ac yna'n trosluniadau gan (0, 1), ble mae'r pwynt yn gorffen?

    Dangos yr ateb

    Mae cylchdroi (1, 0) 90 gradd gwrth-glocwedd yn rhoi (0, 1). Mae trosluniadau (0, 1) gan (0, 1) yn rhoi (0, 2).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.9.1 foundation. Tudalennau PDF 40: adnabod siapiau cyfath a chyflun

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Diffinnir siapiau cyfath fel ffigurau sydd yn hollol yr un fath o ran siâp a maint. Mae dwy driongl, er enghraifft, yn gyfath os yw pob un o'r tair ochr yn cyfateb yn union o ran hyd a'r holl onglau mewnol yn cyd-fynd. Os gallwch symud, cylchdroi, neu adlewyrchu un siâp i orgyffwrdd ag un arall yn berffaith, maent yn gyfath. Mae'r berthynas hon yn sicrhau bod arwynebedd, perimedr, a hydoedd yr ochrau yn aros yn ddigyfnewid ar draws y siapiau.
    • Mae gan siapiau tebyg yr un onglau mewnol ond maent yn wahanol o ran graddfa. Maent yn cynnal yr un cyfrannau cymharol rhwng ochrau cyfatebol. Er enghraifft, mae petryal gydag ochrau 2 cm a 4 cm yn debyg i un gydag ochrau 4 cm a 8 cm oherwydd bod cymhareb yr ochrau cyfatebol yn gyson ar 2. Nid yw tebygrwydd yn awgrymu cyfathrach oni bai bod y ffactor graddio yn union 1.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I nodi siapiau cyfath, cymharwch yr onglau mewnol a hydoedd yr ochrau yn systematig. O ystyried Triongl A gydag ochrau (3 cm, 4 cm, 5 cm) a Thriongl B gydag ochrau (3 cm, 4 cm, 5 cm), mae'r ochrau yn cyd-fynd yn berffaith o dan SSS. Os oes gan Driongl C ochrau (6 cm, 8 cm, 10 cm), mae'n debyg i A a B oherwydd bod 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2. Mae'r cymarebau hyn yn diffinio'r ffactor graddio.
    • Ymarferwch gymharu setiau geometrig. Ystyriwch sgwâr gyda fertigau yn (0,0), (2,0), (2,2), a (0,2). Mae ail sgwâr gyda fertigau yn (0,0), (4,0), (4,4), a (0,4) yn debyg ond nid yn gyfath. Mae cymhareb hyd yr ochrau yn 2, gan gadarnhau ei fod yn chwyddhad. Gwiriwch bob amser bod yr holl onglau cyfatebol yn gyfartal i wirio tebygrwydd.

    Mewn iaith syml

    Mae cyfath yn golygu union yr un siâp a maint. Mae tebyg yn golygu yr un siâp ond maint gwahanol, fel llun sydd wedi cael ei chwyddo.

    Hunanwirio

    A yw dwy driongl gyda hydoedd ochrau (5, 12, 13) a (10, 24, 26) yn gyfath neu'n debyg?

    Dangos yr ateb

    Maent yn debyg. Mae cymarebau'r ochrau yn 10/5 = 2, 24/12 = 2, a 26/13 = 2. Gan fod y gymhareb yn gyson ond nid 1, maent yn debyg, nid yn gyfath.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.9.2 foundation. Tudalennau PDF 40: defnyddio’r wybodaeth, ar gyfer dau siâp 2 neu 3 dimensiwn cyflun, bod un yn helaethiad o’r llall

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae chwyddhad yn digwydd pan gaiff siâp ei raddio gan ffactor i greu siâp tebyg. Boed mewn 2-D neu 3-D, os yw un siâp yn chwyddhad o'r llall, mae pob dimensiwn llinellol yn cael ei luosi gan ffactor graddio cyffredin. Mae'r broses hon yn cynyddu maint y siâp tra'n cadw'r uniondeb geometrig, gan sicrhau bod yr holl onglau yn aros yn union yr un fath.
    • Mewn cyd-destun 3-D, fel ciwboid gyda dimensiynau (l, w, h), mae chwyddhad gan ffactor graddio o k yn arwain at ddimensiynau newydd (kl, kw, kh). Mae'r cyfeiriadedd gofodol a'r cyfrannau cymharol yn cael eu cynnal, a dyna pam ystyrir y ddau siâp yn debyg. Mae'n hanfodol cydnabod bod chwyddhad yn drawsnewidiad sy'n newid hyd tra'n cynnal diffiniad y siâp.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Nodwch y ffactor graddio trwy rannu ochr y siâp mwy gan ochr gyfatebol y siâp llai. Ar gyfer petryal 2-D gydag ochrau 4 cm a 6 cm yn cael ei chwyddo i 8 cm a 12 cm, cyfrifwch y ffactor graddio: 8/4 = 2 a 12/6 = 2. Gan fod y ddwy gymhareb yn rhoi 2, mae'r siâp yn chwyddhad gan ffactor graddio o 2.
    • Cymhwyswch chwyddhad i gyfesurynnau. Os oes gan driongl fertigau yn A(1,1), B(2,1), a C(1,2), mae chwyddhad gyda ffactor graddio 3 o'r tarddiad yn symud y fertigau i A'(3,3), B'(6,3), a C'(3,6). Gwiriwch y tebygrwydd trwy wirio bod gan yr ochr AB hyd 1 a bod gan A'B' hyd 3, gan gadarnhau bod y ffactor graddio 3 yn berthnasol yn gywir i'r holl bellteroedd.

    Mewn iaith syml

    Pan fydd siâp yn cael ei chwyddo, mae ei holl ochrau yn tyfu yn ôl yr un gymhareb. Mae hyn yn cadw'r siâp yr un fath ond yn ei wneud yn fwy.

    Hunanwirio

    Os yw sgwâr gyda hyd ochr 5 cm yn cael ei chwyddo i hyd ochr 15 cm, beth yw'r ffactor graddio?

    Dangos yr ateb

    Y ffactor graddio yw 3, oherwydd 15 cm / 5 cm = 3.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.9.3 higher. Tudalennau PDF 40: defnyddio'r wybodaeth, mewn siapiau cyflun, bod dimensiynau cyfatebol o'r un gymhareb

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gan siapiau tebyg un gymhareb sefydlog rhwng hydoedd cyfatebol. Os yw'r ffactor graddio o siâp bach i siâp mwy yn k, lluoswch bob dimensiwn llinol cyfatebol â k, gan gynnwys uchderau, croesliniau a pherimedrau.
    • Noda dimensiynau cyfatebol cyn ffurfio cymhareb. Sylfaen-fach/sylfaen-fawr = uchder-bach/uchder-mawr. Perthynas raddfa linol yw hon; mae arwynebedd a chyfaint yn defnyddio pwerau gwahanol o'r ffactor graddio.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae gan driongl ongl sgwâr bach sylfaen 3 cm ac uchder perpendiciwlar 4 cm. Mae gan driongl tebyg sylfaen gyfatebol 9 cm. Ffactor graddio = 9/3 = 3, felly yr uchder cyfatebol yw 4×3 = 12 cm. Gwiria: mae'r gymhareb sylfaen a'r gymhareb uchder ill dwy yn 3.
    • Mae gan drapesiwm sylfeini cyfochrog 2 cm a 4 cm ac uchder perpendiciwlar 3 cm. Mae gan drapesiwm tebyg sylfaen fyrrach 6 cm. Ffactor graddio = 6/2 = 3, felly ei sylfaen hirach yw 12 cm a'r uchder yw 9 cm. Mae pob cymhareb hyd cyfatebol yn cytuno.

    Mewn iaith syml

    Parwch ddimensiynau tebyg, dewch o hyd i'r ffactor graddio a'i gymhwyso i bob hyd cyfatebol.

    Hunanwirio

    Mae gan betryal ochrau 4 cm a 6 cm. Mae gan betryal tebyg ochr fyrrach 10 cm. Beth yw ei ochr hirach?

    Dangos yr ateb

    Ffactor graddio = 10/4 = 2.5. Ochr hirach = 6×2.5 = 15 cm.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.9.4 higher. Tudalennau PDF 40: defnyddio'r wybodaeth, mewn siapiau cyflun a chyfath, bod onglau cyfatebol yn hafal

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae gan siapiau tebyg onglau cyfatebol hafal a hydoedd cyfatebol mewn un gymhareb sefydlog. Mae gan siapiau cytûn yr un siâp a maint, felly mae'r onglau a'r hydoedd cyfatebol yn hafal. Noda pa fertig sy'n cyfateb i ba un cyn cymharu onglau.
    • Ar gyfer trionglau, mae paru onglau cyfatebol yn ddigon i sefydlu tebygrwydd (AA, gyda'r drydedd ongl yn dilyn o swm o 180°). Nid yw'r gwrthdro hwn yn wir ar gyfer polygonau mympwyol: gall dau betryal fod â phedair ongl sgwâr ond cymarebau hyd-i-led gwahanol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae triongl ABC yn debyg i DEF gyda A yn cyfateb i D, B yn cyfateb i E a C yn cyfateb i F. Os yw A = 40° a B = 60°, yna C = 180° − 40° − 60° = 80°. Felly mae D = 40°, E = 60° a F = 80°, waeth beth fo'r ffactor graddio.
    • Mae gan driongl hafalochrog ag ochr 3 cm ac un arall ag ochr 6 cm onglau 60°, 60°, 60° ac maent yn debyg, gyda ffactor graddio hyd o 2, ond nid ydynt yn gytûn. Mae gan betryal 2-wrth-3 a betryal 2-wrth-5 onglau sgwâr cyfatebol ond cymarebau ochr o 3/2 a 5/2, felly nid ydynt yn debyg.

    Mewn iaith syml

    Parwch y corneli cyfatebol yn ofalus. Mae onglau hafal yn awgrymu tebygrwydd trionglau, ond mae angen i bolygonau eraill gael ochrau cyfatebol cymesur hefyd.

    Hunanwirio

    Mae gan ddau driongl onglau 40°, 60° ac 80°. A ydynt o reidrwydd yn debyg? A ydynt o reidrwydd yn gytûn?

    Dangos yr ateb

    Maent o reidrwydd yn debyg oherwydd onglau cyfatebol hafal. Nid oes rhaid iddynt fod yn gytûn oherwydd gall hydoedd eu hochrau amrywio yn ôl ffactor graddio heblaw 1.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.9.5 higher. Tudalennau PDF 40: defnyddio'r cysylltiadau rhwng cymarebau hyd, arwynebedd, cyfaint a chynhwysedd siapiau cyflun

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Wrth gymharu siapiau tebyg, mae cymarebau eu dimensiynau yn newid yn seiliedig ar bŵer y dimensiwn sy'n cael ei fesur. Os yw'r ffactor graddio ar gyfer hyd yn k, yna mae cymhareb eu hardaloedd arwyneb yn k^2, a chymhareb eu cyfeintiau neu gapasiti yn k^3. Mae hyn yn hanfodol ar gyfer graddio gwrthrychau 3-D cymhleth lle mae cyfaint yn cynyddu llawer cyflymach nag arwynebedd.
    • Er enghraifft, mae ciwb gydag ochr 1 cm ag arwynebedd 6 cm^2 a chyfaint 1 cm^3. Os caiff ei raddio gan k=3, mae gan y ciwb newydd ochr 3 cm, arwynebedd 6 * 3^2 = 54 cm^2, a chyfaint 1 * 3^3 = 27 cm^3. Mae'r berthynas twf esbonyddol hon yn hanfodol ar gyfer deall graddio ffisegol, megis dylunio pecynnau neu ddeinameg hylifau o fewn llestri tebyg.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Darganfyddwch y ffactor graddio yn gyntaf. Os yw hyd Siâp A yn 2 cm a Siâp B yn 4 cm, k = 4/2 = 2. Defnyddiwch k^2 ar gyfer arwynebedd a k^3 ar gyfer cyfaint. Os yw arwynebedd Siâp A yn 5 cm^2, mae arwynebedd Siâp B yn 5 * (2^2) = 5 * 4 = 20 cm^2. Os yw cyfaint Siâp A yn 10 cm^3, mae cyfaint Siâp B yn 10 * (2^3) = 10 * 8 = 80 cm^3.
    • Cymhwyswch hyn i gapasiti. Os yw cwg gydag uchder 10 cm yn dal 500 ml, mae gan gwg debyg gydag uchder 20 cm ffactor graddio o 2. Cymhareb capasiti cyfaint yw 2^3 = 8. Felly, mae'r cwg mwy yn dal 500 ml * 8 = 4000 ml. Sicrhewch bob amser eich bod yn ciwbio'r ffactor graddio llinellol, nid y cyfaint gwreiddiol, i ddod o hyd i'r capasiti newydd.

    Mewn iaith syml

    Pan fyddwch chi'n chwyddo siâp, mae ei hyd yn cynyddu gan ffactor, mae ei arwynebedd yn cynyddu gan y ffactor wedi'i sgwario, a'i gyfaint yn cynyddu gan y ffactor wedi'i giwbio.

    Hunanwirio

    Mae gan sffêr radiws o 2 cm a chyfaint 33.5 cm^3. Os caiff y radiws ei ddyblu (ffactor graddio 2), beth yw'r cyfaint newydd?

    Dangos yr ateb

    Y ffactor graddio k=2. Mae cyfaint yn cynyddu gan k^3 = 8. Cyfaint newydd = 33.5 * 8 = 268 cm^3.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §3.9.6 higher. Tudalennau PDF 40: deall a defnyddio'r amodau canlynol i brofi cyfathiant trionglau gan ddefnyddio dadleuon ffurfiol: ochr-ochr-ochr ( SSS ) ochr-ongl-ochr ( SAS ) ongl-ongl-ochr ( AAS ) ongl sgwâr-hypotenws- ochr ( RHS ).

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I brofi bod dwy driongl yn gyfath, rhaid i chi sefydlu un o bedwar maen prawf: Ochr-Ochr-Ochr (SSS), lle mae'r tair ochr yn cyd-fynd; Ochr-Ongl-Ochr (SAS), lle mae dwy ochr a'r ongl rhyngddynt yn cyd-fynd; Ongl-Ongl-Ochr (AAS), lle mae dwy ongl ac ochr nad yw rhyngddynt yn cyd-fynd; neu Ongl sgwâr-Hypotenws-Ochr (RHS), sy'n berthnasol yn benodol i drionglau ongl sgwâr.
    • Mae profion ffurfiol yn gofyn am nodi'r cyflwr a ddefnyddir a nodi'r elfennau sy'n cyd-fynd. Er enghraifft, mewn prawf RHS, rhaid i chi nodi'n benodol bod yr ongl yn 90 gradd, bod yr hypotenysau yn gyfartal, a bod un pâr arall o ochrau yn gyfartal. Mae'r strwythur hwn yn darparu sail resymegol gadarn dros hawlio cyfathrach heb fod angen mesur pob nodwedd o'r siapiau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cymhwyso SSS: Mae gan Driongl 1 ochrau (3,4,5), mae gan Driongl 2 (3,4,5). Gan fod yr holl ochrau yn gyfartal, maent yn gyfath. Cymhwyso SAS: Mae gan Driongl 1 ochr 5, ongl 30, ochr 6. Mae gan Driongl 2 ochr 5, ongl 30, ochr 6. Gan fod yr ongl wedi'i chynnwys rhwng yr ochrau, maent yn gyfath. Darparwch y dynodwyr hyn yn glir mewn unrhyw brawf.
    • Defnyddiwch RHS: Mae gan Driongl 1 hypotenws 10, coes 6, ongl 90. Mae gan Driongl 2 hypotenws 10, coes 6, ongl 90. Oherwydd bod yr hypotenws ac un goes yn cyd-fynd, maent yn gyfath trwy RHS. Cofnodwch bob cam trwy ddyfynnu'r mesuriadau penodol sy'n bodloni'r meini prawf a ddewiswyd, megis 'AB = DE = 5 cm' neu 'ongl B = ongl E = 90 gradd'.

    Mewn iaith syml

    Gallwch brofi bod dwy driongl yn union yr un fath (cyfath) trwy ddefnyddio rheolau penodol am eu hochrau a'u honglau, megis SSS, SAS, AAS, neu RHS.

    Hunanwirio

    Mae gan ddwy driongl ongl sgwâr hypotenws 13 cm ac un goes 5 cm. A ydynt yn gyfath?

    Dangos yr ateb

    Ydynt, trwy RHS (Ongl sgwâr-Hypotenws-Ochr). Byddai'r drydedd ochr yn 12 cm trwy Pythagoras, gan gadarnhau cyfathrach.

Grŵp testun

Ystadegau a thebygolrwydd

49 pwyntiau adolygu
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.1.1 foundation; Unit 3 §4.1.1 foundation. Tudalennau PDF 41: deall a defnyddio'r broses datrys problemau ystadegol: nodi’r broblem/cynllunio; casglu, prosesu a chynrychioli data; dehongli a thrafod canlyniadau, gan gynnwys cyfyngiadau data ac anomaleddau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae'r cylch ystadegol yn cynnwys llif rhesymegol o gamau gan ddechrau gyda nodi'r broblem, cynllunio casglu data, casglu'r data, prosesu a chynrychioli'r data trwy graffiau neu dablau, ac yn olaf dehongli'r canlyniadau i ateb y cwestiwn gwreiddiol. Mae'n hanfodol deall bod y broses hon yn gylchol oherwydd bod y canfyddiadau yn aml yn arwain at gwestiynau newydd neu'r angen i fireinio'r amcanion ymchwil gwreiddiol.
    • Mae anomaleddau neu werthoedd eithafol yn bwyntiau data nad ydynt yn ffitio'r patrwm cyffredinol ac mae'n rhaid eu nodi yn ystod y cam prosesu. Rhaid trafod cyfyngiadau'r data bob amser, megis a oedd y sampl yn ddigon mawr i fod yn gynrychioladol neu a oedd y technegau mesur a ddefnyddiwyd yn rhagfarnllyd. Enghraifft o ddata ar gyfer profi fyddai mesur uchder 5 myfyriwr: 150cm, 155cm, 160cm, 158cm, a 280cm; mae'r gwerth 280cm yn anomaledd sy'n gofyn am ymchwiliad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I brosesu data, diffiniwch eich cwestiwn ymchwil yn gyntaf, megis 'A yw'r amser cyfartalog a dreulir yn astudio yr wythnos yn fwy na 10 awr?' Yna, casglwch ddata cynradd gan ddefnyddio siart marciau neu arolwg. Cynrychiolwch hyn gan ddefnyddio siart bar lle mae'r echelin x yn dangos cyfnodau astudio (0-5, 5-10, 10-15 awr) a'r echelin y yn dangos y amlder. Ar gyfer sampl o 20 myfyriwr, os yw'r amlder yn 4, 8, ac 8, byddech yn cyfrifo'r cymedr trwy luosi'r pwyntiau canol (2.5, 7.5, 12.5) a'r amlderau.
    • Dehonglwch y canlyniadau trwy gymharu eich cyfartaledd wedi'i gyfrifo â'r rhagdybiaeth gychwynnol. Os yw'r cymedr yn 8.25 awr, esboniwch nad yw'r rhagdybiaeth yn cael ei gefnogi. Trafodwch gyfyngiadau: efallai mai dim ond un dosbarth oedd yn y casgliad data, nad yw'n gynrychioladol o'r ysgol gyfan. Gwirio bob amser a gafodd unrhyw werthoedd eithafol eu cynnwys yn y cyfrifiad a nodwch eu heffaith ar y cymedr neu'r amrediad terfynol.

    Mewn iaith syml

    Mae'r cylch ystadegol yn ffordd o ddatrys problemau'r byd go iawn trwy gynllunio, casglu, cyfrifo, ac yna egluro beth mae'r data yn ei olygu, wrth fod yn onest am unrhyw wallau neu wybodaeth sydd ar goll.

    Hunanwirio

    Os oes gennych y pwyntiau data 2, 3, 3, 4, 25, beth yw'r anomaledd a pham mae'n newid y cymedr?

    Dangos yr ateb

    Yr anomaledd yw 25. Mae'r cymedr gan gynnwys 25 yn 37/5 = 7.4. Mae'r cymedr heb yr anomaledd yn 12/4 = 3. Mae'r anomaledd yn tynnu'r cyfartaledd yn bell o werthoedd nodweddiadol y data.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.1.2 foundation; Unit 3 §4.1.2 foundation. Tudalennau PDF 41: nodi a phrofi rhagdybiaethau, gan gymryd cyfyngiadau’r data sydd ar gael i ystyriaeth

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae profi rhagdybiaethau yn dechrau gyda datganiad y gellir ei brofi neu ei wrthbrofi trwy archwilio data. Mae rhagdybiaeth yn hawliad am baramedr poblogaeth neu berthynas rhwng newidynnau. Er enghraifft, gallai rhagdybiaeth fod 'Mae myfyrwyr sy'n yfed dŵr yn perfformio'n well ar brofion.' I brofi hyn, rhaid i chi nodi'r rhagdybiaeth ddi-rym (dim effaith) a'r rhagdybiaeth amgen (effaith go iawn), tra'n cydnabod bod argaeledd data yn aml yn cyfyngu ar gwmpas eich ymchwiliad.
    • Wrth brofi rhagdybiaethau, ystyriwch gyfyngiadau'r data, megis maint y sampl, rhagfarn wrth gasglu data, neu wallau mesur. Os yw eich set ddata yn cynnwys dim ond 5 sgôr prawf, mae eich gallu i wneud hawliad dilys yn wan. Gwerthuswch bob amser a yw'r casgliad yn seiliedig ar ddigon o dystiolaeth. Er enghraifft, cymharu canlyniadau prawf dau grŵp: Grŵp A (5 myfyriwr: 60, 65, 70, 75, 80) a Grŵp B (5 myfyriwr: 85, 90, 95, 100, 105). Mae'r cymedrau yn 70 a 95, gan ddangos gwahaniaeth clir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Yn gyntaf, gosodwch eich rhagdybiaeth: 'Mae myfyrwyr sy'n astudio yn y nos yn cyflawni sgorau uwch na'r rhai sy'n astudio yn y bore.' Nesaf, casglwch ddata trwy gofnodi sgorau ar gyfer dau grŵp gwahanol. Sicrhewch fod y grwpiau o faint digonol i liniaru amrywiad ar hap. Defnyddiwch dabl i drefnu eich data. Cyfrifwch y sgôr gyfartalog ar gyfer pob grŵp a chymharwch y canlyniadau. Os yw'r grŵp nos yn cyfartalu 72 a'r grŵp bore yn cyfartalu 70, nodwch fod y gwahaniaeth yn fach ac efallai oherwydd siawns.
    • Beirniadwch eich canlyniadau. Os gwnaethoch arolygu 10 myfyriwr yn unig, nodwch hyn fel cyfyngiad. Os cafodd un myfyriwr yn y grŵp nos sgôr o 0 oherwydd salwch, nodwch hyn fel anomaledd a ystumiodd eich canlyniad. Casglwch trwy naill ai dderbyn neu wrthod y rhagdybiaeth yn seiliedig ar eich canfyddiadau meintiol. Sicrhewch fod eich esboniad yn cynnwys pam yr oedd y data yn ddigonol neu ddim, gan ystyried maint y sampl ac unrhyw ragfarn bosibl sy'n bresennol yn y broses ddethol.

    Mewn iaith syml

    Mae profi rhagdybiaethau yn golygu gwneud datganiad am rywbeth a'i wirio gan ddefnyddio data, gan ystyried a yw'r data yn ddigonol neu os oes gwallau yn eich gwybodaeth.

    Hunanwirio

    Os oes gan Grŵp X gymedr o 50 a Grŵp Y gymedr o 52 yn seiliedig ar 3 o bobl yr un, a yw'r rhagdybiaeth bod Grŵp Y yn well yn cael ei gefnogi?

    Dangos yr ateb

    Ddim yn gryf. Oherwydd bod maint y sampl (3) yn fach iawn, gallai'r gwahaniaeth o 2 fod yn hawdd cael ei achosi gan amrywiad ar hap yn hytrach na gwahaniaeth perfformiad gwirioneddol.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.1.3 foundation; Unit 3 §4.1.3 foundation. Tudalennau PDF 41: llunio a beirniadu cwestiynau ar gyfer holiadur, gan gynnwys y syniad o degwch a thuedd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dylunio holiadur yn gofyn am sylw gofalus i eglurder a didueddrwydd y cwestiynau. Mae cwestiwn da yn osgoi rhagfarn, sef pan fydd cwestiwn yn arwain yr ymatebydd tuag at ateb penodol. Er enghraifft, mae 'Onid ydych chi'n meddwl bod ein parc lleol yn ardderchog?' yn gwestiwn arweiniol. Byddai cwestiwn gwell, mwy teg, yn 'Sut fyddech chi'n graddio'r parc lleol?' gyda graddfa ddiduedd fel 'Da iawn, Da, Cymedrol, Gwael, Gwael iawn'.
    • Wrth ddylunio holiaduron, ystyriwch y gynulleidfa darged a sicrhewch fod yr opsiynau yn cwmpasu'r holl atebion posibl. Rhaid osgoi ystodau sy'n gorgyffwrdd mewn opsiynau rhifiadol. Er enghraifft, os ydych yn gofyn am oedran, defnyddiwch ystodau fel '0-10, 11-20, 21-30'. Os ydych yn defnyddio '0-10' a '10-20', ni fyddai plentyn 10 oed yn gwybod pa flwch i'w dicio. Mae tegwch yn awgrymu na ddylai'r holiadur bwysleisio ar gyfranogwyr neu eithrio safbwyntiau perthnasol trwy gyfyngu ar ddewisiadau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddylunio arolwg, dechreuwch trwy restru'r wybodaeth benodol sydd ei hangen. Adeiladwch gwestiynau sy'n fyr, yn glir, ac yn ddiamwys. Defnyddiwch gwestiynau agored ar gyfer adborth manwl a chwestiynau caeedig ar gyfer dadansoddiad ystadegol. Ar gyfer arolwg ar gludiant, defnyddiwch: 'Faint o ddiwrnodau yr wythnos ydych chi'n beicio i'r ysgol?' gydag opsiynau: '0, 1-2, 3-4, 5'. Mae'r set hon yn cwmpasu'r holl bosibiliadau heb orgyffwrdd. Treialwch yr holiadur gyda grŵp bach i nodi unrhyw eiriad dryslyd.
    • Beirniadwch eich arolwg am ragfarn bosibl. Os ydych yn gofyn am foddhad â bwyd y ffreutur, osgoi gofyn 'A yw'r bwyd yn flasus?' ac yn lle hynny defnyddiwch 'Sut fyddech chi'n graddio blas bwyd y ffreutur?' Darparwch raddfa gytbwys o 1 (Anfodlon iawn) i 5 (Bodlon iawn). Sicrhewch ddienwusrwydd os yw'r pwnc yn sensitif i annog ymatebion gonest. Gwirio nad yw eich cwestiwn yn tybio bod yr ymatebydd yn perfformio gweithgaredd, fel 'Pryd wnaethoch chi roi'r gorau i ysmygu?' (os nad ydyn nhw erioed wedi ysmygu, mae hyn yn rhagfarnllyd).

    Mewn iaith syml

    Mae dylunio holiadur yn golygu creu cwestiynau clir ac annheg, gan sicrhau bod yr atebion yn darparu gwybodaeth heb arwain ymatebwyr at ateb penodol.

    Hunanwirio

    Nodwch y broblem: 'Pam mae'r lifrai ysgol mor anghyfforddus?'

    Dangos yr ateb

    Mae hwn yn gwestiwn arweiniol oherwydd mae'n tybio bod yr ymatebydd yn gweld y lifrai yn anghyfforddus, sy'n cyflwyno rhagfarn i'r data.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.1.4 foundation; Unit 3 §4.1.4 foundation. Tudalennau PDF 41: ystyried effaith maint sampl a ffactorau eraill sy’n effeithio ar ddibynadwyedd data a'r casgliadau a wnaed

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dibynadwyedd yn cyfeirio at gysondeb ac ymddiriedolaeth data. Mae maint y sampl yn ffactor critigol; mae sampl mwy, a ddetholwyd ar hap, fel arfer yn fwy dibynadwy na sampl fach neu un nad yw'n gynrychioladol. Os ydych yn samplu 5 o bobl i gynrychioli tref o 10,000, bydd eich canlyniadau yn debygol o fod yn annibynadwy oherwydd nad yw'r sampl yn llwyddo i gipio amrywiaeth y boblogaeth. Mae ffactorau eraill sy'n effeithio ar ddibynadwyedd yn cynnwys sut y mesurwyd y data a a oedd yr amgylchedd wedi'i reoli.
    • Ystyriwch effaith rhagfarn, megis gofyn cwestiynau i un grŵp oedran yn unig pan fydd pwnc yr arolwg yn effeithio ar bawb. Mae dibynadwyedd hefyd dan fygythiad gan wall dynol yn ystod casglu. Er enghraifft, os ydych yn cofnodi uchder cyfranogwyr (150cm, 155cm, 160cm), bydd gwall lle cofnodir un person fel 1500cm yn lle 150cm yn lleihau dibynadwyedd y cymedr yn ddifrifol. Ail-wirio data bob amser am werthoedd eithafol o'r fath cyn tynnu casgliadau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I wella dibynadwyedd, yn gyntaf cynyddwch faint eich sampl. Os ydych yn ymchwilio i'r hoffter o flasau hufen iâ, mae arolygu 100 o bobl yn fwy dibynadwy nag arolygu 10. Nesaf, defnyddiwch samplu ar hap i sicrhau bod gan bob aelod o'r boblogaeth gyfle cyfartal i gael ei ddethol. Osgoi samplu cyfleustra, megis arolygu eich ffrindiau yn unig, oherwydd mae hyn yn cyflwyno rhagfarn. Os ydych yn casglu data ar amseroedd cymudo (e.e., 20 munud, 25 munud, 22 munud), sicrhewch fod yr offeryn mesur (cloc) yn gywir.
    • Wrth ddadansoddi dibynadwyedd casgliadau, cymharwch ddata ar draws gwahanol is-grwpiau. Os yw un grŵp yn adrodd canlyniadau sylweddol wahanol, ymchwiliwch a yw hyn oherwydd tuedd go iawn neu broblem gyda'r detholiad sampl. Dogfennwch yr holl ddulliau a ddefnyddiwyd i gasglu'r data i ganiatáu ar gyfer atgynhyrchu. Os yw eich canfyddiadau yn dangos bod 80% o 10 o bobl yn well ganddynt de, ond 55% o 100 o bobl yn well ganddynt de, cydnabyddwch fod maint y sampl mwy yn darparu cynrychiolaeth fwy cywir o ddewis y boblogaeth.

    Mewn iaith syml

    Mae dibynadwyedd yn ymwneud â pha mor gyson yw data. Mae samplau mwy a detholiadau ar hap yn gwneud eich casgliadau yn fwy dibynadwy a chywir.

    Hunanwirio

    Pa un sy'n fwy dibynadwy: arolwg o 50 o bobl a ddetholwyd ar hap neu arolwg o 10 o ffrindiau?

    Dangos yr ateb

    Mae'r arolwg o 50 o bobl a ddetholwyd ar hap yn fwy dibynadwy oherwydd mae ganddo faint sampl mwy ac mae llai o siawns iddo gael ei ddylanwadu gan ragfarn benodol grŵp bach o ffrindiau.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.1.5 foundation. Tudalennau PDF 42: deall a defnyddio dulliau marciau cyfrif

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae siart daliau yn cofnodi un marc ar gyfer pob arsylwad, fel arfer yn grwpio marciau yn bump i gynorthwyo cyfrif. Trowch y taliau yn amlderau, yna gwiria fod yr amlder cyfanswm yn hafal i nifer yr arsylwadau.
    • Rhaid i gategorïau fod yn glir a pheidio ag orgyffwrdd. Ar gyfer data rhifiadol wedi eu grwpio, diffiniwch ffiniau fel bod pob arsylwad posibl yn mynd i mewn i un dosbarth yn union, er enghraifft 0 ≤ x < 10 a 10 ≤ x < 20.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer sgoriau 5, 8, 5, 9, 8, 5, 5, 9, 8, 5, cofnodwch bob sgôr yn ei dro. Mae sgôr 5 yn digwydd pum gwaith, mae 8 yn digwydd tair gwaith ac mae 9 yn digwydd dwywaith. Y tabl amlder yw 5:5, 8:3, 9:2. Y cyfanswm yw 5 + 3 + 2 = 10, sy'n cyfateb i'r deg arsylwad.
    • O ddeuddeg cerbyd, mae chwech yn goch, pedwar yn las a dau yn wyrdd. Cofnodwch y tri chategori hyn gydag amlderau 6, 4 a 2. Eu cyfanswm yw 12. Os yw cyfansymiau yn anghytuno, ewch yn ôl at yr arsylwadau gwreiddiol yn hytrach na newid amlder i orfodi'r cyfanswm.

    Mewn iaith syml

    Cyfrifwch bob arsylwad unwaith a gwiriwch yr amlderau yn erbyn y data gwreiddiol.

    Hunanwirio

    Gwnewch dabl amlder ar gyfer 2, 3, 2, 4, 2, 3.

    Dangos yr ateb

    Mae gan y gwerth 2 amlder o 3, gwerth 3 amlder o 2, a gwerth 4 amlder o 1. Cyfanswm = 3 + 2 + 1 = 6.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.1.6 foundation. Tudalennau PDF 42: deall a defnyddio tablau amlder

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae tabl amledd yn gynrychiolaeth dabl strwythuredig sy'n mapio gwerthoedd data unigol neu ystodau i gyfanswm y cyfrif (amledd) o'u digwyddiadau o fewn set ddata. Trwy gyfuno data crai, anhrefnus i mewn i fformat cryno, mae tablau amledd yn galluogi dadansoddwyr i nodi patrymau, megis y modd (y gwerth mwyaf aml), ac i berfformio dadansoddiad ystadegol pellach fel cyfrifo'r cymedr neu'r canolrif. Mae hyn yn arbennig o ddefnyddiol ar gyfer rheoli setiau data mawr lle byddai rhestrau syml yn dod yn anodd neu'n amhosibl i'w dehongli'n weledol.
    • Mae cynllun tabl amledd yn gofyn am ddwy brif golofn: y categori data neu'r egwyl a'r amledd cyfatebol. Ar gyfer data arwahanol, megis meintiau esgidiau (3, 4, 3, 5, 4, 3), mae'r tabl yn rhestru meintiau yn y golofn gyntaf a nifer y gwaith y mae pob un yn ymddangos yn yr ail golofn. Er enghraifft, os yw maint 3 yn ymddangos deirgwaith, yr amledd yw 3. Mae'r drefn hon yn trawsnewid arsylwadau diddos i mewn i fformat clir, defnyddiadwy sy'n gwasanaethu fel y sylfaen ar gyfer delweddau mwy datblygedig fel siartiau bar neu histogramau, gan sicrhau bod cywirdeb data yn cael ei gynnal trwy'r broses agregu.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I lunio tabl amledd, nodwch eich set ddata a grwpiwch y gwerthoedd. Gadewch i ni ddefnyddio set ddata o oedrannau myfyrwyr: 12, 13, 12, 14, 13, 12, 12, 14, 13, 12. Yn gyntaf, nodwch yr oedrannau unigryw: 12, 13, a 14. Sefydlu tabl gyda dwy golofn: 'Oedran (Blynyddoedd)' ac 'Amledd'. Ewch drwy'r rhestr a chyfrifwch bob digwyddiad yn ofalus. Ar gyfer oedran 12, cyfrifwch: 12, 12, 12, 12, 12. Mae hynny'n 5 digwyddiad. Ar gyfer oedran 13, cyfrifwch: 13, 13, 13. Mae hynny'n 3 digwyddiad. Ar gyfer oedran 14, cyfrifwch: 14, 14. Mae hynny'n 2 ddigwyddiad. Sicrhewch fod eich cyfanswm (5 + 3 + 2 = 10) yn cyfateb i'r cyfrif gwreiddiol o arsylwadau.
    • Ar ôl llenwi'r tabl, gallwch gyfrifo cyfanswm amleddau neu ddehongli'r dosbarthiad. Er enghraifft, trwy wirio'r golofn amledd, gallwch ddweud ar unwaith mai'r oedran moddol yw 12 oherwydd bod ganddo'r amledd uchaf o 5. Mae'r dull hwn yn gadarn yn fathemategol oherwydd ei fod yn cyfrif am bob pwynt data unigol, gan adael dim gwybodaeth heb ei chyfrif. Wrth ddelio â data parhaus, byddech yn grwpio'r data i mewn i ddosbarthiadau fel '10-12', '13-15', a '16-18', gan sicrhau bod yr egwyliau hyn yn unigryw i'w gilydd ac yn gyflawn ar y cyd i atal data rhag gorgyffwrdd neu golli.

    Mewn iaith syml

    Mae tabl amledd yn grid sy'n dangos faint o weithiau mae pob eitem yn ymddangos mewn rhestr. Mae'n eich helpu i weld pa eitemau sydd fwyaf cyffredin heb orfod edrych trwy restr flêr. Mae'n trefnu gwybodaeth fel y gallwch ateb cwestiynau am y data yn gyflym.

    Hunanwirio

    Gan ddefnyddio'r set ddata o sgoriau: 2, 4, 2, 3, 2. Beth yw amledd y sgôr 2?

    Dangos yr ateb

    Amledd y sgôr 2 yw 3, gan ei fod yn ymddangos deirgwaith yn y set ddata.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.1.7 foundation. Tudalennau PDF 42: trefnu, dosbarthu a thablu data ansoddol (categorig), data meintiol arwahanol neu ddi-dor

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae didoli a dosbarthu data yn sgil sylfaenol sy'n cynnwys categoreiddio gwybodaeth yn seiliedig ar ei natur benodol, megis ansoddol (categori) neu feintiol (rhifiadol). Mae data ansoddol yn disgrifio priodoleddau neu nodweddion nad ydynt yn rhifiadol yn eu hanfod, megis lliw llygaid neu anifail anwes hoff. I'r gwrthwyneb, mae data meintiol yn fesuradwy a gellir ei isrannu ymhellach yn ddata arwahanol, sy'n cynnwys gwerthoedd unigryw (fel nifer y bobl mewn ystafell), neu ddata parhaus, a all gymryd unrhyw werth o fewn ystod (fel pwysau neu dymheredd wedi'i fesur mewn cilogramau neu Celsius).
    • Mae rheoli data effeithiol yn dechrau trwy nodi'r math o wybodaeth sy'n cael ei drin yn gywir. Os ydych chi'n tablu nifer y brodyr a chwiorydd mewn teuluoedd, rydych chi'n gweithio gyda data meintiol arwahanol oherwydd bod rhaid i'r cyfrifiadau fod yn rifau cyfan. Os ydych chi'n tablu uchder planhigion mewn centimetrau, rydych chi'n delio â data meintiol parhaus oherwydd gall uchder ddisgyn unrhyw le ar barhad (e.e., 10.5 cm neu 10.52 cm). Mae dosbarthiad cywir yn pennu'r dewis o offer ystadegol a chynrychioliadau gweledol priodol, gan sicrhau bod y dadansoddiad terfynol yn adlewyrchu realiti'r data sylfaenol yn gywir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Er mwyn didoli data yn effeithiol, dilynwch broses gategoreiddio resymegol. Dychmygwch set ddata: (Glas, 15, 2.3 kg, Gwyrdd, 18, 4.1 kg, Glas, 12, 1.2 kg). Yn gyntaf, tynnwch y categorïau allan. Mae'r lliwiau yn ansoddol (Glas, Gwyrdd). Mae'r cyfanrifau (15, 18, 12) yn cynrychioli data arwahanol (efallai cyfrif o eitemau). Mae'r degolion (2.3, 4.1, 1.2) gydag unedau yn cynrychioli data parhaus (màs mewn cilogramau). Creu tri thabl ar wahân ar gyfer pob math er mwyn eu trefnu. Defnyddiwch y dull talïo i gyfrif amledd pob categori o fewn y grwpiau hyn.
    • Ar gyfer y data meintiol arwahanol (15, 18, 12), crëwch dabl gyda cholofnau 'Gwerth' ac 'Amledd'. Mewnbynnwch y gwerthoedd a'u hamleddau (mae pob un yn 1 yma, sy'n gwneud cyfanswm o 3). Ar gyfer data parhaus (2.3 kg, 4.1 kg, 1.2 kg), pe bai'r set ddata yn fwy, byddech yn diffinio egwyliau fel '0.0 - 2.0 kg' a '2.1 - 5.0 kg'. Trwy ddidoli'r rhain, gallwch gyfrifo cymedr rhifyddol eitemau arwahanol neu bennu ystod y newidynnau parhaus. Mae'r dull trylwyr hwn yn atal y camgymeriad o drin dynodwyr categorig fel gwerthoedd rhifiadol, a fyddai'n annilysu unrhyw ganlyniad ystadegol.

    Mewn iaith syml

    Mae didoli data yn golygu rhoi pethau mewn grwpiau yn seiliedig ar yr hyn ydynt. Gallwch gael enwau neu liwiau (ansoddol), rhifau rydych chi'n eu cyfrif (arwahanol), neu rifau rydych chi'n eu mesur fel uchder (parhaus). Mae didoli yn eich helpu i ddewis y ffordd gywir o ddangos eich gwybodaeth.

    Hunanwirio

    Os ydych chi'n mesur yr amser mewn eiliadau mae'n ei gymryd i redwr orffen ras, a yw hwn yn ddata arwahanol neu barhaus?

    Dangos yr ateb

    Mae hwn yn ddata parhaus, oherwydd mae amser yn fesuriad a all gymryd unrhyw werth o fewn ystod ac nid yw wedi'i gyfyngu i rifau cyfan.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.1.8 foundation; Unit 3 §4.1.8 foundation. Tudalennau PDF 42: grwpio data arwahanol neu ddi-dor yn gyfyngau dosbarth o led cyfartal neu anghyfartal

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae grwpio data i gyfnodau yn hanfodol wrth ddelio â setiau data mawr neu newidynnau parhaus lle mae gwerthoedd unigol yn amrywio gormod i'w rhestru ar wahân. Mae cyfnod (neu ddosbarth) yn cwmpasu ystod o werthoedd, fel 10 ≤ x < 20. Lled y cyfnod yw'r gwahaniaeth rhwng y ffiniau uchaf ac isaf. Mae cyfnodau o led cyfartal yn cael eu ffafrio ar gyfer cymhariaeth haws ar draws grwpiau, er y gellir defnyddio cyfnodau anghyfartal os yw rhai ystodau yn fwy aml na eraill.
    • Wrth greu cyfnodau dosbarth, sicrhewch fod pob pwynt data yn ffitio i un categori yn union a nad oes unrhyw fylchau yn bodoli. Er enghraifft, os oes gennych uchder myfyrwyr: 140cm, 145cm, 150cm, 155cm, 160cm, gallech eu grwpio i gyfnodau: 140-149, 150-159, a 160+. Os yw myfyriwr yn 149.5cm, rhaid i chi benderfynu sut i ddelio â degolion. Defnyddiwch '140 ≤ h < 150' i osgoi amwysedd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I grwpio data, yn gyntaf nodwch ystod eich set ddata (uchafswm minws isafswm). Penderfynwch ar nifer y grwpiau rydych chi eu heisiau (fel arfer rhwng 5 a 10). Rhannwch yr ystod gyfan â nifer y grwpiau i amcangyfrif lled y cyfnod. Er enghraifft, gydag oedrannau yn amrywio o 5 i 55, ystod o 50, byddai defnyddio 5 cyfnod yn rhoi lled o 10. Byddai eich cyfnodau yn: 5-14, 15-24, 25-34, 35-44, 45-55.
    • Cymhwyswch y cyfnodau i'ch set ddata: {7, 12, 18, 22, 28, 33, 40, 50}. Taliwch y cyfrifon: 5-14 (7, 12), 15-24 (18, 22), 25-34 (28, 33), 35-44 (40), 45-55 (50). Mae hyn yn arwain at amlderau: 2, 2, 2, 1, 1. Sicrhewch fod y cyfnodau yn ddieithriad (e.e., gan ddefnyddio ≤ a <) fel na fydd gwerth fel 15 yn disgyn i ddau ddosbarth gwahanol. Labelwch y cyfnodau yn glir ar dabl.

    Mewn iaith syml

    Mae grwpio data yn golygu creu ystodau (intervals) i drefnu llawer o rifau yn gategorïau clir, sy'n gwneud y data yn haws i'w ddarllen a'i ddehongli.

    Hunanwirio

    Os oes gennych bwyntiau data 10, 15, 20, 25 a defnyddio cyfnodau 10-19 a 20-29, faint sy'n disgyn ym mhob un?

    Dangos yr ateb

    Mae 10-19 yn cynnwys 10 a 15 (amlder 2). Mae 20-29 yn cynnwys 20 a 25 (amlder 2).

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §4.1.9 higher. Tudalennau PDF 42: nodi’r data sydd eu hangen ac ystyried dulliau samplu posibl

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae nodi anghenion data yn gofyn am eglurder ynghylch pa wybodaeth fydd yn ateb y cwestiwn ymchwil. Rhaid pennu'r boblogaeth o ddiddordeb a phenderfynu ar y fframwaith samplu. Gallai poblogaeth fod yn 'yr holl fyfyrwyr yn yr ysgol', tra bod y sampl yn 'un dosbarth fesul grŵp blwyddyn'. Mae'r dull a ddewiswyd i gasglu data yn dibynnu ar adnoddau, amser, a'r manwl gywirdeb sydd ei angen. Mae cynllunio yn cynnwys rhagweld rhwystrau posibl, megis diffyg ymateb neu anhawster cael mynediad at ddata.
    • Mae gwahanol ddulliau samplu yn darparu lefelau amrywiol o gywirdeb. Mae samplu ar hap yn rhoi cyfle cyfartal i bob unigolyn, gan leihau rhagfarn, ond efallai y bydd angen rhestr gynhwysfawr o'r boblogaeth. Mae dulliau eraill yn cynnwys samplu haenog, sy'n sicrhau bod is-grwpiau yn cael eu cynrychioli'n gymesur, neu samplu systematig, sy'n cynnwys dethol bob n-fed person. Ar gyfer poblogaeth o 100 o fyfyrwyr, mae dethol bob 10fed myfyriwr yn ddull systematig o gyrraedd maint sampl o 10.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I nodi anghenion data, yn gyntaf diffiniwch y rhagdybiaeth: 'A yw ymarfer corff rheolaidd yn gwella sgorau canolbwyntio?' I gasglu data, diffiniwch y grŵp sampl: 50 o fyfyrwyr a ddewiswyd ar hap o gofrestr ysgol o 500. Dyluniwch offeryn mesur syml: prawf canolbwyntio 10 munud. Sicrhewch fod y data a gasglwyd yn dal y newidynnau angenrheidiol (oriau ymarfer corff yr wythnos a sgorau prawf). Ystyriwch y potensial ar gyfer rhagfarn os mai dim ond athletwyr sy'n cael eu samplu.
    • Beirniadwch y strategaeth samplu. Os ydych yn dewis 50 o fyfyrwyr o'r 50 cyntaf ar y gofrestr, rydych yn creu rhagfarn wyddorol. Yn lle hynny, defnyddiwch generadur rhifau ar hap i ddewis 50 o fynegeion o 1 i 500. Os oes angen cynrychiolaeth o bob gradd arnoch, defnyddiwch samplu haenog: cyfrifwch gyfran y myfyrwyr ym mhob gradd (e.e., 20% ym Mlwyddyn 7) a dewiswch yr un ganran honno o'r sampl ar hap. Dogfennwch pam y dewiswyd y dull hwn i amddiffyn eich canlyniadau.

    Mewn iaith syml

    Mae nodi anghenion data a dulliau samplu yn golygu cynllunio'n ofalus er mwyn cael yr wybodaeth gywir a chynrychioladol ar gyfer eich ymchwil.

    Hunanwirio

    Os oes angen 10% o ysgol gyda 1000 o fyfyrwyr, faint ydych chi'n ei ddewis ar gyfer sampl ar hap?

    Dangos yr ateb

    Rydych chi'n dewis 100 o fyfyrwyr (1000 wedi'i luosi â 0.10).

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Unit 1 §4.1.10 higher. Tudalennau PDF 42: deall, disgrifio a defnyddio gwahanol dechnegau samplu – h.y. samplu ar hap, systematig a haenedig

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae technegau samplu yn ddulliau a ddefnyddir i ddewis is-set o boblogaeth er mwyn gwneud casgliadau. Mae samplu ar hap yn sicrhau bod gan bob aelod debygolrwydd cyfartal o gael ei ddethol, gan ddileu rhagfarn systematig. Mae samplu systematig yn cynnwys cyfnod rheolaidd, megis dewis bob 5ed eitem. Er ei fod yn syml, gall fod yn rhagfarnllyd os oes patrwm cudd i'r rhestr. Er enghraifft, os ydych yn dewis bob 5ed tŷ ar stryd a bod pob 5ed tŷ yn dŷ cornel, ni fydd eich sampl yn gynrychioladol.
    • Mae samplu haenog yn rhannu'r boblogaeth yn haenau (grwpiau) yn seiliedig ar nodweddion fel oedran, rhyw, neu radd, yna'n dewis sampl ar hap gymesur o bob un. Os oes gan ysgol 400 o fechgyn a 600 o ferched (1000 i gyd), ac mae angen sampl o 100 arnoch, rhaid i chi ddewis 40 o fechgyn a 60 o ferched i gynnal cyfran y boblogaeth. Mae hyn yn sicrhau bod amrywiaeth y boblogaeth yn cael ei gipio'n gywir, gan wneud casgliadau yn llawer mwy dibynadwy.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddefnyddio samplu ar hap, neilltuwch rif unigryw i bob aelod a defnyddiwch generadur rhifau ar hap i'w dewis. Ar gyfer poblogaeth o 200, cynhyrchwch rifau rhwng 1 a 200. I ddefnyddio samplu systematig, penderfynwch ar eich cyfnod (k = Maint y Boblogaeth / Maint y Sampl). Ar gyfer poblogaeth o 200 a sampl o 20, k = 10. Dewiswch bwynt cychwyn ar hap rhwng 1 a 10, yna dewiswch bob 10fed aelod wedi hynny.
    • I ddefnyddio samplu haenog, yn gyntaf diffiniwch eich haenau. E.e., ar gyfer poblogaeth o 100 o weithwyr, 50 o reolwyr a 50 o lafurwyr, i gael sampl o 20, cyfrifwch y rhaniad 50/50. Dewiswch 10 rheolwr ar hap o'u grŵp a 10 llafurwr ar hap o'u grŵp. Mae'r dechneg hon yn hanfodol pan fydd newidynnau o fewn grwpiau yn amrywio'n sylweddol. Cymharwch ganlyniadau rhwng gwahanol ddulliau samplu i weld a effeithiodd y dechneg a ddewiswyd ar y canlyniad terfynol a pham.

    Mewn iaith syml

    Mae technegau samplu yn ffyrdd o ddewis grŵp llai o bobl i gynrychioli poblogaeth gyfan, gan sicrhau bod y canlyniadau yn deg ac yn ddibynadwy.

    Hunanwirio

    Mae gennych 600 o fyfyrwyr ym Mlwyddyn 1, 400 ym Mlwyddyn 2. I gael sampl o 100, faint o bob blwyddyn?

    Dangos yr ateb

    Blwyddyn 1: (600/1000) * 100 = 60 o fyfyrwyr. Blwyddyn 2: (400/1000) * 100 = 40 o fyfyrwyr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.2.1 foundation; Unit 3 §4.2.1 foundation. Tudalennau PDF 42: llunio a dehongli pictogramau, siartiau bar a siartiau cylch ar gyfer data ansoddol ac ar gyfer data meintiol arwahanol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyflwyno data yn golygu delweddu categorïau ansoddol neu werthoedd rhifiadol arwahanol. Mae pictogramau yn defnyddio symbolau i gynrychioli amlder, gan angen allwedd glir, megis un seren yn hafal i 5 eitem. Mae siartiau bar yn defnyddio bariau hirsgwar o led unffurf lle mae uchder yn cyfateb i amlder, sy'n ddelfrydol ar gyfer cymharu grwpiau gwahanol.
    • Mae siartiau cylch yn dangos cyfrannau o gyfanwaith trwy rannu cylch yn sectorau. Cyfrifir pob ongl sector trwy ddod o hyd i ffracsiwn yr amlder cyfanswm a'i luosi â 360 gradd. Ar gyfer set ddata o 20 eitem gyda 5 eitem mewn categori, mae'r ongl yn (5/20) wedi'i luosi â 360, sy'n hafal i 90 gradd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I adeiladu siart bar ar gyfer data categorïaidd (e.e., Lliwiau ceir: Coch 10, Glas 5, Gwyrdd 5), dyluniwch echelin llorweddol gyda labeli categorïau ac echelin fertigol ar gyfer amlder. Tynnwch fariau o led 1 cm wedi'u gwahanu gan fylchau. Sicrhewch fod y raddfa fertigol yn gyson ac wedi'i marcio'n glir.
    • I dynnu siart cylch ar gyfer yr un data, sumiwch yr amlderau i 20. Cyfrifwch bob ongl: Coch (10/20)*360=180 gradd, Glas (5/20)*360=90 gradd, a Gwyrdd (5/20)*360=90 gradd. Defnyddiwch brotracter i farcio'r onglau hyn o bwynt canolog cyffredin ar gylch, gan sicrhau bod y swm yn 360 gradd.
    • I lunio pictogram, dewiswch allwedd, enwch y categorïau, ac aliniwch y symbolau o linell sylfaen gyffredin. Ar gyfer coch 6, glas 4 a gwyrdd 2, mae allwedd o un cylch yn cynrychioli dau gerbyd yn rhoi coch ●●●, glas ●● a gwyrdd ●. Os oes gan gategori 3 cherbyd, dangoswch un cylch llawn a hanner cylch, gyda'r un allwedd.

    Mewn iaith syml

    Mae'r wers hon yn dysgu sut i dynnu a darllen pictogramau, siartiau bar, a siartiau cylch fel y gallwch ddangos gwybodaeth yn glir a chymharu gwahanol grwpiau o ddata gan ddefnyddio siapiau ac onglau.

    Hunanwirio

    Os yw arolwg yn dangos bod 12 o bobl yn hoffi afalau, 8 yn hoffi bananas, a 4 yn hoffi gellyg, beth yw'r ongl ar gyfer bananas mewn siart cylch?

    Dangos yr ateb

    Cyfanswm = 24. Ongl banana = (8/24) * 360 = 120 gradd.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.2.2 foundation; Unit 3 §4.2.2 foundation. Tudalennau PDF 42: llunio a dehongli diagramau llinell fertigol ar gyfer data arwahanol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Defnyddir diagramau llinell fertigol yn benodol ar gyfer data rhifiadol arwahanol. Maent yn debyg i siartiau bar ond yn defnyddio llinellau fertigol syml yn lle hirsgwarau i gynrychioli amlder. Mae hyn yn canolbwyntio'r llygad ar werthoedd unigol ar yr echelin llorweddol yn hytrach na chwmpasau parhaus, sy'n hanfodol ar gyfer cyfrifiadau fel maint esgidiau neu nifer y brodyr a chwiorydd.
    • Mae'r echelin fertigol yn cynrychioli'r cyfrif amlder, tra bod yr echelin llorweddol yn cynrychioli'r newidyn arwahanol. Tynnir pob llinell i uchder sy'n cyfateb i amlder y pwynt data. Oherwydd bod y data yn arwahanol, mae'r llinellau yn unigol, ac nid oes awgrym o werthoedd yn bodoli rhwng y cyfanrifau wedi'u plotio.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I adeiladu diagram ar gyfer data (e.e., Nifer y anifeiliaid anwes: 0 anifail = 3 o bobl, 1 anifail = 6 o bobl, 2 anifail = 2 o bobl), labelwch yr echelin llorweddol 'Nifer yr Anifeiliaid Anwes' a'r echelin fertigol 'Amlder'. Rhowch farciau yn 0, 1, a 2 ar y gwaelod.
    • Tynnwch linell fertigol yn 0 hyd at uchder o 3 uned, yn 1 hyd at uchder o 6 uned, ac yn 2 hyd at uchder o 2 uned. Sicrhewch fod y raddfa ar yr echelin fertigol yn gyson, er enghraifft, 1 cm fesul uned o amlder, i ganiatáu dehongliad cywir o'r gwahaniaethau cymharol mewn cyfrifiadau.

    Mewn iaith syml

    Dysgwch sut i ddefnyddio diagramau llinell fertigol i ddangos data rhifiadol sydd â gwerthoedd arwahanol, gan ddefnyddio llinellau syml yn hytrach na bariau.

    Hunanwirio

    Data: 5 plentyn sydd â 0 llyfr, 7 â 1 llyfr, 3 â 2 lyfr. Pa mor uchel yw'r llinell ar gyfer 1 llyfr?

    Dangos yr ateb

    Dylai'r llinell ar gyfer 1 llyfr gyrraedd uchder o 7 uned ar yr echelin amlder fertigol.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.2.3 foundation; Unit 3 §4.2.3 foundation. Tudalennau PDF 43: llunio graffiau llinell ar gyfer gwerthoedd newidyn ar bwyntiau amrywiol mewn amser; deall efallai y bydd neu na fydd ystyr i’r gwerthoedd canolraddol mewn graff llinell

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae graffiau llinell yn hanfodol ar gyfer olrhain newidiadau mewn newidyn dros amser. Mae pwyntiau'n cael eu plotio ar gyfnodau amser penodol a'u cysylltu gan segmentau llinell syth. Mae hyn yn delweddu tueddiadau, megis twf neu ddirywiad, ar draws cyfnod. Mae'n hanfodol gwahaniaethu rhwng gwerthoedd canolraddol ystyrlon a sefyllfaoedd lle mae pwyntiau'n bodoli yn unig ar gyfnodau arwahanol.
    • Wrth ddehongli graffiau llinell, deallwch y gall pwyntiau canolraddol ar y llinell gynrychioli amcangyfrifon os yw'r duedd yn llyfn, neu efallai na fydd ganddynt unrhyw realiti ffisegol os yw'r data yn episodig yn unig. Er enghraifft, gellir rhyngosod tymheredd dros 24 awr, ond ni ellir dehongli nifer y ceir a werthwyd y mis yn rhesymegol fel car rhannol a werthwyd yng nghanol y mis.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Adeiladu graff llinell ar gyfer set ddata (Amser: 08:00, 10:00, 12:00; Tymheredd: 10C, 15C, 12C). Plotio (08:00, 10), (10:00, 15), a (12:00, 12). Cysylltwch y pwyntiau hyn â llinellau syth.
    • I ddehongli'r graff, nodwch y llethr rhwng pwyntiau. Rhwng 08:00 a 10:00, cododd y tymheredd 5 gradd dros 2 awr, cyfradd o 2.5 gradd yr awr. Sylwch ar y copa am 10:00 fel y pwynt tymheredd uchaf.

    Mewn iaith syml

    Mae graffiau llinell yn dangos sut mae pethau'n newid dros amser. Rydych chi'n plotio pwyntiau ar gyfer amseroedd gwahanol ac yn eu cysylltu â llinellau i weld y duedd.

    Hunanwirio

    Os yw'r tymheredd am 12:00 yn 12C ac am 14:00 yn 18C, beth yw cyfradd y cynnydd?

    Dangos yr ateb

    Cynnydd = 6 gradd dros 2 awr, felly 3 gradd yr awr.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.4 foundation. Tudalennau PDF 43: llunio diagramau gwasgariad ar gyfer data am newidynnau wedi'u paru

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae diagramau gwasgariad yn cynrychioli newidynnau data pâr ar blân Cartesaidd i nodi perthnasoedd. Mae pob cofnod data yn gyfesuryn (x, y), lle mae 'x' yn newidyn annibynnol a 'y' yn newidyn dibynnol. Mae plotio'r rhain yn caniatáu archwiliad gweledol o sut mae un newidyn yn ymwneud â'r llall.
    • Yn wahanol i graffiau, nid yw diagramau gwasgariad yn cysylltu pwyntiau â llinellau. Mae'r cwmwl o bwyntiau sy'n deillio o hyn yn dangos cryfder a chyfeiriad y cysylltiad. Er enghraifft, mae plotio oriau a astudiwyd (x) yn erbyn sgorau profion (y) yn helpu i benderfynu a yw mwy o amser astudio yn cydberthyn yn gyffredinol â graddau uwch.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • O ystyried pwyntiau data (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 7), (5, 9), sefydlwch grid gydag echelin x 0 i 6 ac echelin y 0 i 10. Marciwch y pwyntiau'n gywir yn eu cyfesurynnau union.
    • Sicrhewch fod y graddfeydd ar gyfer y ddwy echelin yn gyson. Gwiriwch am werthoedd allanol a allai ddargyfeirio'n sylweddol o grwpio cyffredinol y pwyntiau, oherwydd gall y rhain effeithio ar ddehongliad y set ddata.
    • Ar gyfer parau data (1,2), (2,4), (3,5), (4,8), (5,9), labelwch y newidynnau llorweddol a fertigol a phlotio pum pwynt, heb eu cysylltu. Maent yn dangos cydberthynas bositif. Mae'r llinell duedd ddotiog y ≈ 1.8x+0.2 a ddangosir yn amcangyfrif. Ar x=3.5 mae'n rhagweld y≈6.5; interpoliad yw hwn, nid prawf o achosiaeth.

    Mewn iaith syml

    Mae diagramau gwasgariad yn dangos perthynas rhwng dau newidyn trwy plotio pwyntiau ar graff, heb gysylltu'r pwyntiau â llinellau.

    Hunanwirio

    Os oes gennych bwyntiau (1, 10) a (2, 20), beth mae diagram gwasgariad yn ei ddangos?

    Dangos yr ateb

    Perthynas gadarnhaol llinol lle mae y yn cynyddu wrth i x gynyddu.

    Gweld diagramau

    Diagram gwasgariad a thuedd amcangyfrifedig

    y ≈ 1.8x + 0.2Cydberthynas bositif ≠ achosiaethxy
    Allwedd a disgrifiad

    Data a luniwyd: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 8), (5, 9). Mae’r rhain yn dangos cydberthynas bositif, nid prawf o achosiaeth. Amcangyfrif yw’r llinell doredig y ≈ 1.8x + 0.2, nid model union.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.5 foundation. Tudalennau PDF 43: lluniadu 'â’r llygad' linell 'ffit orau' a deall a dehongli'r hyn mae'n ei gynrychioli. Mewn cwestiynau lle mae’r pwynt cymedrig wedi’i roi, ei gyfrifo neu ei blotio, disgwylir i’r ymgeiswyr luniadu’r llinell ‘ffit orau’ drwy’r pwynt hwnnw

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae llinell orau yn llinell syth wedi'i thynnu trwy ddiagram gwasgariad sy'n cynrychioli tuedd gyffredinol y data. Nid oes angen iddo fynd trwy bob pwynt ond dylai ddilyn cyfeiriad cyffredinol y duedd, gyda nifer fras gyfartal o bwyntiau uwchben ac islaw'r llinell.
    • Pan ddarperir pwynt cymedrig, rhaid i'r llinell orau fynd trwyddo. Cyfrifir y pwynt cymedrig trwy ddod o hyd i gymedr yr holl gyfesurynnau x a chymedr yr holl gyfesurynnau y. Mae'r pwynt hwn yn gwasanaethu fel angor ar gyfer y llinell, gan sicrhau ei fod yn adlewyrchu tuedd ganolog y newidynnau pâr.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Gyda phwyntiau (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 7), (5, 9), cyfrifwch y cymedr yn gyntaf: cymedr x = 15/5 = 3, cymedr y = 27/5 = 5.4. Plotiwch y pwynt (3, 5.4).
    • Rhowch bren mesur dros y plot gwasgariad. Aliniwch ef i fynd trwy'r pwynt cymedrig wedi'i gyfrif (3, 5.4) a chydbwyswch ef fel bod lledaeniad y pwyntiau uwchben ac islaw'r llinell yn gyson yn weledol. Tynnwch y llinell yn ofalus o ymyl i ymyl ardal y siart.

    Mewn iaith syml

    Mae llinell orau yw llinell syth rydych chi'n ei dynnu drwy ddata ar diagram gwasgariad i ddangos y duedd gyffredinol.

    Hunanwirio

    Os yw'r pwynt cymedrig yn (2, 3), a oes rhaid i'r llinell fynd trwyddo?

    Dangos yr ateb

    Ydy, mae rhaid i linell orau fynd trwy'r pwynt cymedrig pan gaiff ei ddarparu neu ei gyfrif.

    Gweld diagramau

    Diagram gwasgariad a thuedd amcangyfrifedig

    y ≈ 1.8x + 0.2Cydberthynas bositif ≠ achosiaethxy
    Allwedd a disgrifiad

    Data a luniwyd: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 8), (5, 9). Mae’r rhain yn dangos cydberthynas bositif, nid prawf o achosiaeth. Amcangyfrif yw’r llinell doredig y ≈ 1.8x + 0.2, nid model union.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.6 foundation. Tudalennau PDF 43: dehongli diagramau gwasgariad a dod i gasgliadau; defnyddio termau fel cydberthyniad positif, cydberthyniad negatif, fawr ddim neu ddim cydberthyniad

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae diagramau gwasgariad yn caniatáu inni ddiffinio cydberthynas, sef y berthynas rhwng newidynnau. Mae cydberthynas gadarnhaol yn bodoli pan fydd y ddau newidyn yn cynyddu gyda'i gilydd. Sylwir ar gydberthynas negyddol pan fydd un newidyn yn cynyddu tra bod y llall yn gostwng. Mae ychydig neu ddim cydberthynas yn awgrymu dim patrwm rhagweladwy rhwng y ddau newidyn.
    • Dehonglwch gryfder y berthynas trwy ba mor agos y mae pwyntiau'n clystyru o amgylch y llinell orau. Mae clwstwr tynn yn awgrymu cydberthynas gref, tra bod gwasgariad rhydd o bwyntiau yn dynodi cydberthynas wan. Mae nodi'r patrymau hyn yn helpu i ddeall ymddygiad data hyd yn oed os nad yw newidynnau wedi'u halinio'n berffaith.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Sylwch ar blot lle mae pwyntiau'n symud o'r chwith isaf i'r dde uchaf (e.e., Tymheredd 5C, Gwerthiant 100; Tymheredd 20C, Gwerthiant 500). Mae hyn yn dynodi cydberthynas gadarnhaol.
    • Sylwch ar blot lle mae pwyntiau'n symud o'r chwith uchaf i'r dde isaf (e.e., Cyflymder 100km/h, Amser 1h; Cyflymder 50km/h, Amser 2h). Mae hyn yn dynodi cydberthynas negyddol. Disgrifiwch y berthynas yn glir gan ddefnyddio'r termau penodol hyn.

    Mewn iaith syml

    Mae diagramau gwasgariad yn dangos y math o berthynas rhwng dwy beth: positif (mae'r ddau yn cynyddu), negatif (mae un yn cynyddu a'r llall yn gostwng), neu ddim cydberthynas.

    Hunanwirio

    Os yw pwyntiau'n clystyru'n dynn gan symud i lawr i'r dde, beth yw hyn?

    Dangos yr ateb

    Cydberthynas negyddol gref.

    Gweld diagramau

    Diagram gwasgariad a thuedd amcangyfrifedig

    y ≈ 1.8x + 0.2Cydberthynas bositif ≠ achosiaethxy
    Allwedd a disgrifiad

    Data a luniwyd: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 8), (5, 9). Mae’r rhain yn dangos cydberthynas bositif, nid prawf o achosiaeth. Amcangyfrif yw’r llinell doredig y ≈ 1.8x + 0.2, nid model union.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.7 foundation. Tudalennau PDF 43: sylweddoli nad yw cydberthyniad yn awgrymu achosiaeth

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae'n gamgymeriad ystadegol sylfaenol i dybio bod cydberthynas yn awgrymu achosoldeb. Dim ond oherwydd bod dau newidyn yn dangos perthynas ystadegol (gellir tynnu llinell orau), nid yw'n golygu bod un newidyn yn achosi i'r llall newid yn uniongyrchol.
    • Mae ffactorau allanol yn aml yn dylanwadu ar ddau newidyn cydberthynol. Er enghraifft, mae gwerthiant hufen iâ a gwerthiant hufen haul y ddau yn cynyddu yn yr haf. Er eu bod yn dangos cydberthynas gadarnhaol, nid yw gwerthiant hufen iâ yn achosi gwerthiant hufen haul; mae'r ddau yn cael eu hachosi gan y tymheredd uwch yn yr haf.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Wrth ddadansoddi data, edrychwch am resymau sylfaenol dros duedd. Os yw graff gwasgariad yn dangos, wrth i fwyta hufen iâ gynyddu, bod achosion llosg haul yn gwneud yr un peth, nodwch fod y ddau wedi'u cysylltu â mwy o amlygiad i'r haul.
    • Datganwch yn glir bod cydberthynas yn mesur cryfder perthynas ond nid yw'n darparu tystiolaeth o achos. Fformiwlewch gasgliadau yn ofalus bob amser, gan wahaniaethu rhwng 'wedi'i gysylltu â' ac 'wedi'i achosi gan'.

    Mewn iaith syml

    Mae cydberthynas yn golygu bod data yn cysylltu, ond nid yw hynny'n golygu bod un peth yn achosi'r llall. Mae ffactorau eraill yn aml yn effeithio ar y ddau beth.

    Hunanwirio

    Os yw ymosodiadau siarc yn cynyddu wrth i werthiant hufen iâ gynyddu, a yw hufen iâ yn achosi ymosodiadau siarc?

    Dangos yr ateb

    Na. Mae'r ddau yn cynyddu oherwydd tywydd cynhesach sy'n annog nofio, sy'n drydydd newidyn.

    Gweld diagramau

    Diagram gwasgariad a thuedd amcangyfrifedig

    y ≈ 1.8x + 0.2Cydberthynas bositif ≠ achosiaethxy
    Allwedd a disgrifiad

    Data a luniwyd: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 8), (5, 9). Mae’r rhain yn dangos cydberthynas bositif, nid prawf o achosiaeth. Amcangyfrif yw’r llinell doredig y ≈ 1.8x + 0.2, nid model union.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.8 foundation. Tudalennau PDF 43: dod o hyd i'r cymedr, canolrif, modd ac amrediad rhestr o werthoedd

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae set ddata yn cynnwys arsylwadau rhifiadol. Cyfrifir y cymedr drwy adio pob gwerth a rhannu â chyfanswm y nifer. Y canolrif yw gwerth canolog dilyniant trefnus. Os yw nifer y gwerthoedd yn eilrif, y canolrif yw cyfartaledd y ddau derm canol. Y modd yw'r gwerth sy'n digwydd amlaf yn y set. Mae'r ystod yn mesur gwasgariad y data drwy gyfrifo'r gwahaniaeth rhwng y gwerthoedd uchaf ac isaf.
    • Ystyriwch y set ddata o sgoriau prawf: 5, 8, 8, 12, 17. Y swm yw 50. Gyda 5 gwerth, y cymedr yw 50/5 = 10. Mae gan y set drefnus 8 fel y gwerth canol, felly y canolrif yw 8. Mae'r gwerth 8 yn ymddangos ddwywaith, sy'n ei wneud yn fodd. Yr ystod yw 17 - 5 = 12. Mae'r metrigau hyn yn disgrifio tueddiad canolog a gwasgariad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i'r ystadegau hyn ar gyfer set newydd: 3, 4, 4, 7, 12. Yn gyntaf, trefnwch y set: 3, 4, 4, 7, 12. Y nifer yw 5. Swm: 3+4+4+7+12 = 30. Cymedr: 30 / 5 = 6. Canolrif: Y trydydd safle yw 4. Modd: Mae 4 yn ymddangos ddwywaith, felly 4 yw'r modd. Ystod: 12 - 3 = 9. Cofnodwch bob canlyniad yn glir.
    • Ar gyfer set eilrif: 2, 5, 5, 9, 10, 11. Y nifer yw 6. Swm: 42. Cymedr: 42 / 6 = 7. Canolrif: Cyfartaledd 3ydd a 4ydd derm (5 a 9) yw (5+9)/2 = 7. Modd: 5. Ystod: 11 - 2 = 9. Gwiriwch y drefn bob amser cyn dewis y canolrif.

    Mewn iaith syml

    Rydym yn defnyddio'r cymedr, y canolrif a'r modd i ddod o hyd i ganol y data, a'r ystod i weld pa mor bell yw'r rhifau uchaf ac isaf oddi wrth ei gilydd.

    Hunanwirio

    Gyda 2, 3, 3, 8, 14, dewch o hyd i'r cymedr, canolrif, modd ac ystod.

    Dangos yr ateb

    Cymedr = 6; Canolrif = 3; Modd = 3; Ystod = 12. Gwaith: Swm=30, Nifer=5, Cymedr=30/5=6. Canolrif yw 3ydd term. Ystod=14-2=12.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.9 foundation. Tudalennau PDF 43: llunio a dehongli diagramau amlder grŵp a pholygonau amlder

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae diagramau amlder wedi'u grwpio yn dangos data wedi'u trefnu mewn cyfnodau, gan ddangos faint o eitemau sy'n disgyn o fewn pob dosbarth. Mae'r diagramau hyn yn helpu i ddelweddu setiau data mawr. Mae polygonau amlder yn cael eu hadeiladu drwy blotio'r amlder yn erbyn canolbwynt pob cyfnod dosbarth a chysylltu'r pwyntiau hyn â llinellau syth.
    • Enghraifft: Uchder (cm) wedi'u grwpio fel 150-160, 160-170, 170-180 gydag amlder o 5, 12, 8. Y canolbwyntiau yw 155, 165, 175. Mae blotio (155, 5), (165, 12), a (175, 8) a'u huno â llinellau yn creu'r polygon amlder. Mae'r offer gweledol hyn yn crynhoi llawer iawn o wybodaeth yn effeithlon.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I adeiladu polygon amlder: 1. Cyfrifwch y canolbwynt ar gyfer pob cyfnod (adio'r ffiniau a rhannu â 2). 2. Plotiwch yr amlder ar yr echelin-y yn erbyn y canolbwynt ar yr echelin-x. 3. Cysylltwch bob pwynt â pren mesur i ffurfio'r polygon. Sicrhewch fod labeli wedi'u cynnwys ar gyfer echelinau fel 'Uchder (cm)' ac 'Amlder'.
    • Ar gyfer dehongli, arsylwch gopa'r polygon i nodi'r dosbarth moddol. Ar gyfer grwpiau 10-20 (amlder 4), 20-30 (amlder 10), 30-40 (amlder 6), y canolbwyntiau yw 15, 25, 35. Mae'r copa yn (25, 10) yn cadarnhau mai'r dosbarth moddol yw 20-30. Gwiriwch yr holl rifyddeg.

    Mewn iaith syml

    Rydym yn defnyddio diagramau amlder a polygonau i weld sut mae data wedi'u dosbarthu dros ystodau o rifau.

    Hunanwirio

    Data: 0-10 (amlder 2), 10-20 (amlder 8), 20-30 (amlder 3). Cyfrifwch y canolbwyntiau a nodwch y dosbarth moddol.

    Dangos yr ateb

    Canolbwyntiau: 5, 15, 25. Dosbarth moddol: 10-20. Gwaith: (0+10)/2=5, (10+20)/2=15, (20+30)/2=25. Amlder 8 yw'r uchaf.

    Gweld diagramau

    Polygon amledd o ddata wedi’u grwpio

    (5, 2)5(15, 6)15(25, 8)25(35, 4)35Canolbwynt dosbarth (x)Amledd
    Allwedd a disgrifiad

    Dosbarthiadau ac amleddau: [0, 10): 2; [10, 20): 6; [20, 30): 8; [30, 40): 4. Plotiwch ganolbwyntiau’r dosbarthiadau: (5, 2), (15, 6), (25, 8), (35, 4), yna cysylltwch bwyntiau cyfagos.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.10 foundation. Tudalennau PDF 44: darganfod cymedr, canolrif, modd ac amrediad dosraniad amlder arwahanol (heb ei grwpio)

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Ar gyfer gwerthoedd union x gydag amlderau f, y cymedr yw Σfx/Σf. Lluoswch bob gwerth â'i amlder, swmiwch y cynhyrchion hynny a rhannwch â chyfanswm nifer yr arsylwadau. Y modd yw'r gwerth gyda'r amlder mwyaf.
    • Lleolwch y canolrif yn yr arsylwadau trefnedig gan ddefnyddio amlderau cronnus. Gyda chyfanswm N od, defnyddiwch arsylwad (N+1)/2. Gyda chyfanswm par, cymerwch gymedr yr arsylwadau N/2 a N/2+1. Mae safle hanner ffordd fel 6.5 yn golygu cyfrifo cymedr y chweched a'r seithfed arsylwad, nid chwilio am arsylwad ffracsiynol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae gan y gwerthoedd 2 a 3 amlderau 3 a 2. Cyfanswm = 5; Σfx = 2×3 + 3×2 = 12, felly cymedr = 12/5 = 2.4. Yr arsylwadau trefnedig yw 2,2,2,3,3. Y trydydd arsylwad yw 2, felly canolrif = 2; modd = 2.
    • Mae gan y gwerthoedd 1,2,3 amlderau 4,6,2. Cyfanswm = 12; Σfx = 4 + 12 + 6 = 22, felly cymedr = 22/12 ≈ 1.833. Mae'r chweched a'r seithfed arsylwad ill dau yn gorwedd ymhlith y chwe 2, felly canolrif = (2+2)/2 = 2. Y modd yw 2 oherwydd bod ei amlder yn fwyaf. Ystod yw 3−1 = 2, gan ddefnyddio'r gwerthoedd a arsylwyd, nid eu hamlderau.

    Mewn iaith syml

    Mae amlder yn dweud wrthych pa mor aml y mae gwerth yn digwydd. Cyfrifwch arsylwadau wedi'u hailadrodd wrth ddod o hyd i'r cymedr a'r canolrif.

    Hunanwirio

    Mae gan y gwerthoedd 1 a 2 amlderau 2 a 3. Darganfyddwch eu cymedr a'u canolrif.

    Dangos yr ateb

    Cymedr = (1×2 + 2×3)/5 = 8/5 = 1.6. Y rhestr drefnedig yw 1,1,2,2,2, felly y trydydd arsylwad a'r canolrif yw 2.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.11 foundation. Tudalennau PDF 44: darganfod amcangyfrif ar gyfer cymedr dosraniad amlder grŵp

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Pan fo data wedi'u grwpio i ddosbarthiadau, mae'r gwerthoedd union yn anhysbys. Felly, rydym yn defnyddio canolbwynt pob cyfnod dosbarth i gynrychioli gwerth nodweddiadol y grŵp hwnnw. Y cymedr amcangyfrifedig yw swm (canolbwynt wedi'i luosi â'r amlder) wedi'i rannu â chyfanswm yr amlder. Mae'r dull hwn yn darparu amcangyfrif dibynadwy ar gyfer tueddiad canolog.
    • Enghraifft: 10-20 (amlder 5), 20-30 (amlder 3). Canolbwyntiau: 15, 25. Cyfrifiad: (15 * 5) + (25 * 3) = 75 + 75 = 150. Cyfanswm amlder: 8. Cymedr amcangyfrifedig: 150 / 8 = 18.75. Mae'r amcangyfrif hwn yn dibynnu ar y rhagdybiaeth bod pwyntiau data wedi'u dosbarthu'n gyfartal ar draws y cyfnodau.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cam 1: Cyfrifwch y canolbwynt ar gyfer pob cyfnod. Cam 2: Lluoswch bob canolbwynt â'i amlder cyfatebol. Cam 3: Adiwch y cynhyrchion hyn i ddod o hyd i'r cyfanswm. Cam 4: Rhannwch y cyfanswm â swm yr amlderau. Sicrhewch eich bod yn dangos yr holl gamau canolradd.
    • Enghraifft o gymhwysiad: 0-10 (amlder 10), 10-20 (amlder 20). Canolbwyntiau: 5, 15. Cyfrifiadau: 5*10 = 50; 15*20 = 300. Cyfanswm = 350. Cyfanswm amlder = 30. Amcangyfrif: 350 / 30 = 11.67. Mae manwl gywirdeb yn allweddol wrth nodi unedau yn gywir.

    Mewn iaith syml

    Gan nad ydym yn gwybod y gwerthoedd union, rydym yn defnyddio canolbwynt y grŵp i amcangyfrif y cymedr.

    Hunanwirio

    Grŵp 0-5 (amlder 2), 5-10 (amlder 2). Dewch o hyd i'r cymedr amcangyfrifedig.

    Dangos yr ateb

    Cymedr amcangyfrifedig = 5. Gwaith: Canolbwyntiau 2.5 a 7.5. (2.5*2 + 7.5*2) / 4 = (5 + 15) / 4 = 20 / 4 = 5.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.12 higher. Tudalennau PDF 44: darganfod amcangyfrif ar gyfer canolrif dosraniad amlder grŵp

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I amcangyfrif y canolrif mewn data wedi'u grwpio, rydym yn defnyddio rhyngosodiad llinellol. Yn gyntaf, pennwch safle'r canolrif: (N/2), lle N yw cyfanswm yr amlder. Nodwch y cyfnod dosbarth sy'n cynnwys y safle hwn gan ddefnyddio amlder cronnus. Yna, cymhwyswch y fformiwla: L + [ ( (N/2 - CF_prev) / f_median ) * lled ], lle L yw'r ffin isaf, CF_prev yw amlder cronnus cyn y dosbarth, f_median yw amlder y dosbarth canolrifol, a lled yw maint y dosbarth.
    • Ystyriwch 0-10 (f=5), 10-20 (f=10). N=15. Safle'r canolrif=7.5. Mae'r dosbarth 10-20 yn cynnwys y 7.5ed eitem. L=10, CF_prev=5, f_median=10, lled=10. Canolrif = 10 + [((7.5 - 5) / 10) * 10] = 12.5.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • 1. Cyfrifwch amlderau cronnus. 2. Nodwch y dosbarth canolrifol. 3. Nodwch L (dechrau'r dosbarth), CF_prev (amlder cronnus cyn y dosbarth), f_class (amlder y dosbarth), a lled y dosbarth. 4. Defnyddiwch y fformiwla i gyfrifo. Dangoswch bob cam algebraidd yn glir.
    • Cymhwysiad: Data 20-30 (f=4), 30-40 (f=6). N=10. Safle'r canolrif=5. Dosbarth canolrifol yw 30-40. L=30, CF_prev=4, f=6, lled=10. Canolrif = 30 + ((5 - 4)/6) * 10 = 30 + 1.67 = 31.67.

    Mewn iaith syml

    Rydym yn defnyddio fformiwla i ddod o hyd i amcangyfrif manwl o'r canolrif o fewn grŵp, gan dybio bod y data wedi'u gwasgaru'n gyfartal.

    Hunanwirio

    Mae data enghreifftiol mewn dosbarthiadau 0 ≤ x < 10 (amlder 2) a 10 ≤ x < 20 (amlder 2). Gan ddefnyddio N/2 a rhyngosodiad llinellol, amcangyfrifwch y canolrif.

    Dangos yr ateb

    Y canolrif amcangyfrifedig yw 10. N = 4, felly defnyddiwch N/2 = 2 ar yr echelin amlder cronnus. Mae'r pwynt ar y ffin rhwng y ddau ddosbarth: (10, 2). Mae rhyngosodiad o fewn y dosbarth cyntaf yn rhoi 0 + (2/2) × 10 = 10. Amcangyfrif o ddata wedi'u grwpio yw hwn, nid canolrif union y gwerthoedd crai anhysbys.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.13 foundation. Tudalennau PDF 44: penderfynu ar y categori modd ar gyfer data ansoddol a dosbarth modd ar gyfer data wedi'i grwpio

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae'r categori moddol yn berthnasol i ddata ansoddol, lle mae'r modd yn syml y categori gyda'r amlder uchaf. Mae'r dosbarth moddol yn berthnasol i ddata meintiol wedi'u grwpio. Diffinnir ef fel y cyfnod neu'r dosbarth sydd â'r amlder uchaf mewn dosraniad penodol. Yn wahanol i'r cymedr neu'r canolrif, mae'r dosbarth moddol yn disgrifiadol o'r ystod fwyaf poblog mewn set.
    • Enghraifft: Lliwiau ceir yw Coch (10), Glas (5), Gwyrdd (2). Y categori moddol yw Coch oherwydd bod ganddo'r cyfrif uchaf. Ar gyfer data wedi'u grwpio: 0-10 (f=5), 10-20 (f=15), 20-30 (f=8). Y dosbarth moddol yw 10-20.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • 1. Adolygwch y tabl amlder a ddarparwyd. 2. Cymharwch yr amlderau ar gyfer pob categori neu gyfnod. 3. Dewiswch y categori neu'r dosbarth sy'n cyfateb i'r gwerth rhifiadol uchaf yn y golofn amlder. Os yw dau ddosbarth yn rhannu'r un amlder uchaf, gall fod yn ddosraniad ddeufoddol.
    • Enghraifft: Oedran 0-10 (f=2), 10-20 (f=10), 20-30 (f=10), 30-40 (f=3). Yma, mae 10-20 a 20-30 ill dau yn cael amlder o 10. Mae'r set yn ddeufoddol. Cyfiawnhewch eich dewis drwy gyfeirio at y cyfrif amlder.

    Mewn iaith syml

    Y dosbarth moddol yw'r grŵp sydd â'r nifer fwyaf o eitemau ynddo.

    Hunanwirio

    Data: Coch (f=3), Glas (f=7), Gwyrdd (f=4). Nodwch y categori moddol.

    Dangos yr ateb

    Glas. Mae ganddo'r amlder uchaf o 7.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.14 foundation. Tudalennau PDF 44: penderfynu ar y grŵp sy'n cynnwys y canolrif ar gyfer data wedi'u grwpio

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Pennu'r grŵp sy'n cynnwys y canolrif yw'r cam cyntaf cyn cyfrifo amcangyfrif union. Canfyddir safle'r canolrif gan N/2, lle N yw cyfanswm yr amlder. Drwy gyfrifo'r amlder cronnus, gallwch nodi pa gyfnod dosbarth sy'n cynnwys y gwerth yn safle (N/2). Mae hyn yn diffinio'r ystod lle mae'r canolrif gwirioneddol yn gorwedd.
    • Enghraifft: N=20. Safle'r canolrif = 10. Amlderau cronnus: 0-10 (f=5, CF=5), 10-20 (f=10, CF=15). Mae'r 10fed gwerth yn disgyn o fewn y cyfnod 10-20 oherwydd bod yr amlder cronnus yn cyrraedd 5 cyn y dosbarth hwn a 15 ar ei ôl.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • 1. Adiwch yr amlderau i ddod o hyd i N. 2. Cyfrifwch N/2. 3. Creu colofn amlder cronnus drwy adio amlderau dilynol. 4. Dewch o hyd i'r cyfnod cyntaf lle mae'r amlder cronnus yn hafal i neu'n fwy na N/2. Y cyfnod hwn yw'r grŵp sy'n cynnwys y canolrif.
    • Enghraifft: Dosbarth 0-5 (f=4), 5-10 (f=6), 10-15 (f=2). Cyfanswm N=12. Safle'r canolrif = 6. CF: 4, 10, 12. Gan fod CF yn cyrraedd 10 yn y dosbarth 5-10, ac 4 < 6 <= 10, mae'r canolrif yn gorwedd yn y grŵp 5-10.

    Mewn iaith syml

    Rydym yn defnyddio amlder cronnus i weld pa grŵp sy'n cynnwys y gwerth canol.

    Hunanwirio

    Data: 0-10 (f=3), 10-20 (f=4). N=7. Dewch o hyd i'r grŵp sy'n cynnwys y canolrif.

    Dangos yr ateb

    10-20. N/2=3.5. Amlder cronnus: 3, 7. Mae 3.5 yn disgyn yn yr ail gyfnod.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.15 foundation. Tudalennau PDF 44: dewis, cyfrifo ac amcangyfrif mesurau priodol o ganolduedd (h.y. y cymedr, y canolrif neu'r modd)

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae mesurau tueddiad canolog yn crynhoi set ddata gyda gwerth sengl sy'n cynrychioli'r canol. Cyfrifir y cymedr trwy adio'r holl arsylwadau a rhannu â'r cyfanswm. Ar gyfer set o sgoriau prawf (4, 7, 7, 10, 12), y cymedr yw (4+7+7+10+12)/5 = 40/5 = 8.
    • Y canolrif yw'r gwerth canol pan fo data wedi'i drefnu'n rhifiadol. Os yw nifer y pwyntiau data yn eilrif, dyma gyfartaledd y ddau werth canol. Y modd yw'r gwerth sy'n digwydd amlaf yn y set ddata.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I amcangyfrif y cymedr o dabl amlder, lluoswch bob gwerth (neu ganolbwynt grŵp) â'i amlder, adiwch y lluosrifau, a rhannwch â chyfanswm yr amlder. Ar gyfer sgoriau 2, 5, 8 gydag amlder 3, 4, 3, cyfanswm = (2*3)+(5*4)+(8*3) = 6+20+24 = 50, a chyfanswm amlder = 10. Cymedr = 50/10 = 5.
    • Nodwch safle'r canolrif ar gyfer n pwyntiau data gan ddefnyddio (n+1)/2. Ar gyfer n=10, mae'r canolrif rhwng y 5ed a'r 6ed gwerth. Os yw'r rhain yn 5 a 6, y canolrif yw (5+6)/2 = 5.5.

    Mewn iaith syml

    Mae tueddiad canolog yn dweud wrthym ble mae canol ein data. Defnyddiwch y cymedr ar gyfer cyfrifiadau, y canolrif ar gyfer rhencio, a'r modd ar gyfer poblogrwydd.

    Hunanwirio

    Cyfrifwch y cymedr o 2, 3, 3, 8.

    Dangos yr ateb

    16/4 = 4.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.16 foundation. Tudalennau PDF 44: cymharu dosraniadau data gan ddefnyddio un mesur canolduedd a/neu un mesur o wasgariad

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I gymharu dosraniadau, cyfrifwch un mesur o dueddiad canolog a mesur o wasgariad. Ar gyfer Grŵp A (10, 12, 14, 16, 18) a Grŵp B (10, 10, 14, 18, 18), mae gan y ddau gymedr o 14 ac amrediad o 8.
    • Mae cymharu yn gofyn am werthuso'r cyfartaledd a chysondeb y data. Hyd yn oed os yw'r mesurau yn unfath, mae siâp y dosraniad yn wahanol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cymharwch y cymedr neu'r canolrif i benderfynu pa grŵp a berfformiodd yn well ar gyfartaledd. Yna defnyddiwch yr amrediad i asesu cysondeb. Os yw amrediad A yn 8 ac amrediad B yn 10, mae A yn fwy cyson.
    • Gwnewch gymhariaeth ar gyfer setiau penodol. Set X: 1, 2, 3, 4, 5 (Cymedr 3, Amrediad 4) yn erbyn Set Y: 1, 3, 3, 3, 5 (Cymedr 3, Amrediad 4). Yma, er gwaethaf mesurau unfath, mae X yn unffurf, ac mae Y wedi'i ganoli.

    Mewn iaith syml

    Wrth gymharu dwy set o rifau, edrychwch ar eu cyfartaledd i weld pa un sy'n uwch a'u hamrediad i weld pa un sy'n fwy rhagweladwy.

    Hunanwirio

    Cymharwch amrediad {2, 4, 6} a {1, 4, 7}.

    Dangos yr ateb

    Amrediad A = 4; Amrediad B = 6. Mae A yn fwy cyson.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.17 higher. Tudalennau PDF 44: dewis, cyfrifo ac amcangyfrif mesurau priodol o wasgariad, gan gynnwys yr amrediad a’r amrediad rhyngchwartel wedi'u defnyddio yng nghyd- destun data arwahanol, data wedi'u grwpio a data di-dor

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae mesurau gwasgariad yn disgrifio sut mae data yn amrywio. Yr amrediad yw'r gwahaniaeth rhwng y mwyaf a'r lleiaf. Mae'r Amrediad Rhyngchwarterol (IQR) yn canolbwyntio ar y 50 y cant canol o ddata, sef Q3 minws Q1.
    • Ar gyfer data arwahanol: {2, 5, 5, 8, 10, 12, 15}. Canolrif = 8. Q1 yw canolrif yr hanner isaf {2, 5, 5} sef 5. Q3 yw canolrif yr hanner uchaf {10, 12, 15} sef 12. IQR = 12 - 5 = 7.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer data wedi'i grwpio, nodwch y trothwyon amlder cronnus. Os yw cyfanswm yr amlder yn 40, mae Q1 yn y 10fed gwerth a Q3 yn y 30ain gwerth. Defnyddiwch ryngosod llinol os yw'r gwerth yn disgyn o fewn bwlch dosbarth.
    • Cyfrifwch IQR ar gyfer setiau data parhaus gan ddefnyddio dwysedd amlder. Nodwch eich unedau bob amser yn glir, e.e. os yw mesur uchder mewn cm, dylai'r IQR fod mewn cm hefyd.

    Mewn iaith syml

    Mae mesurau gwasgariad yn dangos pa mor bell yw'r rhifau o'r canol. IQR yw'r gwahaniaeth rhwng y 75fed a'r 25ain canrannol.

    Hunanwirio

    Dewch o hyd i IQR {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.

    Dangos yr ateb

    Q1=3, Q3=8, IQR=5.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.18 higher. Tudalennau PDF 45: llunio a dehongli tablau a diagramau amlder cronnus, gan gynnwys amcangyfrif y canolrif, amrediad rhyngchwartel a chanrannau eraill

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae amlder cronnus yn gyfanswm rhedeg o amleddau. Fe'i defnyddir i blotio diagram amlder cronnus (ogife). Mae'r echelin y yn cynrychioli amlder cronnus, ac mae'r echelin x yn cynrychioli gwerthoedd y data. Mae'r diagramau hyn yn caniatáu ichi amcangyfrif y canolrif ar 50 y cant o gyfanswm yr amlder.
    • Ar gyfer tabl amlder (0-10, 10-20, 20-30 gydag amleddau 5, 10, 5), yr amleddau cronnus yw 5, 15, 20. Cyfanswm amlder yw 20. Mae'r canolrif yn y 10fed gwerth, Q1 yn y 5ed, a Q3 yn y 15fed.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I amcangyfrif y canolrif: Dewch o hyd i 50 y cant o gyfanswm yr amlder (10). Tynnwch linell lorweddol o 10 ar yr echelin y i'r gromlin, yna ewch i lawr i'r echelin x. Os yw'r pwynt echelin x yn 15, y canolrif yw 15 uned.
    • I gyfrifo IQR: Dewch o hyd i werthoedd x ar gyfer y pwyntiau 25 y cant a 75 y cant. Ar gyfer cyfanswm amlder o 20, mae 25 y cant yn 5 a 75 y cant yn 15. Darllenwch y gwerthoedd x ar amlder cronnus 5 a 15, yna tynnwch nhw o'i gilydd.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch dablau a graffiau amlder cronnus i weld ble mae canol a chwarteri eich data trwy adio amleddau gam wrth gam.

    Hunanwirio

    Ar gyfer cyfanswm amlder o 40, pa werth cronnus sy'n cynrychioli'r canolrif?

    Dangos yr ateb

    20.

    Gweld diagramau

    Cromlin amledd cronnus a chwartelau

    Q₁ 15Canolrif 22.5Q₃ 28.75Gwerth data (x)Amledd cronnus
    Allwedd a disgrifiad

    Mae amleddau 2, 6, 8, 4 yn rhoi’r pwyntiau cronnus (0, 0), (10, 2), (20, 8), (30, 16), (40, 20). N = 20. Drwy ryngosod ar y graff: Q₁ yn N/4 = 5 yw 15; y canolrif yn N/2 = 10 yw 22.5; Q₃ yn 3N/4 = 15 yw 28.75. Peidiwch â defnyddio (N + 1)/2.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.19 higher. Tudalennau PDF 45: dehongli a defnyddio diagramau blwch a blewyn i gymharu dosraniadau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae diagram blwch yn lleoli’r lleiaf, y chwartel isaf Q1, y canolrif, y chwartel uchaf Q3 a’r mwyaf ar un raddfa. Mae’r blwch yn ymestyn o Q1 i Q3, felly ei hyd yw’r amrediad rhyngchwartel Q3−Q1. Mae llinell ynddo yn nodi’r canolrif; mae’r blewynau yn cyrraedd yr eithafion a nodwyd. Yma rydym yn defnyddio’r diagram pum rhif arferol, nid confensiwn allanolion a ddiffiniwyd ar wahân.
    • Cymharwch ganolrifau i drafod gwerthoedd nodweddiadol ac amrediadau rhyngchwartel i gymharu gwasgariad yr hanner canol. Cymharwch amrediadau ar wahân oherwydd bod gwerthoedd eithafol yn effeithio ar yr amrediad yn fwy uniongyrchol. Defnyddiwch yr un raddfa ac unedau, a rhowch gymariaethau yng nghyd-destun y broblem.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25 kg, y canolrif yw 18 kg. Eithriwch ef cyn dod o hyd i ganolrifau’r ddau hanner: Q1=12 kg a Q3=22 kg. Ar raddfa wedi’i labelu, tynnwch flwch o 12 i 22, llinell canolrif yn 18 a blewynau i 10 a 25. Amrediad rhyngchwartel=22−12=10 kg; amrediad=25−10=15 kg.
    • Gan ddefnyddio’r un confensiwn canolrifau’r haneri, mae gan C={1,3,4,6,9} ganolrif 4, Q1=(1+3)/2=2 a Q3=(6+9)/2=7.5. Ei amrediad rhyngchwartel yw 5.5 a’i amrediad yw 8. Mae gan D={4,5,5,6,8} ganolrif 5, Q1=(4+5)/2=4.5 a Q3=(6+8)/2=7. Ei amrediad rhyngchwartel yw 2.5 a’i amrediad yw 4. Mae gan D ganolrif uwch ond llai o wasgariad. Nodwch y confensiwn chwartel os nad yw wedi’i roi.
    • Mae crynodeb pum rhif a roddwyd yn osgoi unrhyw gonfensiwn safle: ar gyfer lleiaf 4, Q1=8, canolrif 12, Q3=16 a mwyaf 20, tynnwch y blwch o 8 i 16 gyda’i ganolrif yn 12 a blewynau i 4 a 20.

    Mewn iaith syml

    Darllenwch y gwerth nodweddiadol o linell y canolrif, gwasgariad yr hanner canol o’r blwch a’r gwasgariad llawn o’r blewynau.

    Hunanwirio

    Ar gyfer lleiaf 4, Q1=8, canolrif 12, Q3=16 a mwyaf 20, darganfyddwch yr amrediad rhyngchwartel a’r amrediad.

    Dangos yr ateb

    Amrediad rhyngchwartel=16−8=8 uned; amrediad=20−4=16 uned.

    Gweld diagramau

    Diagram blwch a chrynodeb pum rhif

    02581216CanolrifAmrediad rhyngchwartel = 7
    Allwedd a disgrifiad

    Crynodeb a luniwyd: lleiafswm 2, chwartel isaf 5, canolrif 8, chwartel uchaf 12, mwyafswm 16. Amrediad = 16 − 2 = 14; amrediad rhyngchwartel = 12 − 5 = 7. Mae’r blwch yn cynnwys hanner canol y dosbarthiad, nid hanner ei amrediad rhifiadol.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Unit 3 §4.2.20 higher. Tudalennau PDF 45: llunio a dehongli histogramau â lled dosbarth anghyfartal, gan gynnwys cyfrifo'r canolrif a chanrannau eraill y dosraniad

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mewn histogram gyda lled dosbarth anghyfartal, mae'r echel-y yn cynrychioli 'dwysedd amlder' yn hytrach na'r amlder. Cyfrifir dwysedd amlder trwy rannu amlder y dosbarth â lled y dosbarth. Mae ardal pob bar yn gymesur â'r amlder. Oherwydd bod gan ddosbarthiadau ledau gwahanol, nid yw'r bariau'n unffurf; mae bar uchel, cul yn dynodi crynodiad uchel o ddata mewn ystod fach, tra bod bar eang, byr yn dynodi crynodiad is dros ystod fwy. Mae'r dull hwn yn cynrychioli dwysedd data yn gywir.
    • I ddod o hyd i'r canolrif neu ganrannau penodol o fewn histogram, mae'n rhaid cyfrifo'r ardal gronnus. Mae ardal gyfan yr holl fariau yn cynrychioli'r cyfanswm amlder. Er enghraifft, os yw'r cyfanswm amlder yn 100, y canolrif yw'r gwerth lle mae 50 uned o ardal wedi'u cronni. Cyfrifir ardal pob bar: (lled * dwysedd amlder). Os yw'r bar cyntaf (lled 5, dwysedd 4) yn cwmpasu 20 uned, a'r ail far (lled 10, dwysedd 5) yn cwmpasu 50 uned, rhaid i'r canolrif orwedd o fewn yr ail far. Defnyddir rhyngosodiad llinol wedyn i ddod o hyd i'r gwerth union.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Adeiladwch histogram ar gyfer y data hwn (amser mewn munudau): [0-10, amlder 20], [10-25, amlder 30], [25-30, amlder 25]. Yn gyntaf, cyfrifwch ddwyseddau amlder: 20/10=2, 30/15=2, 25/5=5. Plotiwch yr egwyliau dosbarth ar yr echel-x a dwysedd amlder ar yr echel-y. Mae gan y bar cyntaf uchder 2 a lled 10 (ardal 20). Mae gan yr ail uchder 2 a lled 15 (ardal 30). Mae gan y trydydd uchder 5 a lled 5 (ardal 25). Mae'r ardal gyfan yn 75.
    • I ddod o hyd i'r canolrif (lle mae'r ardal yn 37.5), sylwer bod y bar cyntaf yn cwmpasu 20 uned. Mae angen 17.5 uned arall o'r ail far. Mae gan yr ail far led 15 a dwysedd 2, ardal gyfan 30. Y pellter i mewn i'r bar hwn yw 17.5 / 2 = 8.75. Gan ychwanegu hwn at ddechrau'r ail egwyl (10), y canolrif yw 18.75 munud. Mae'r broses hon yn sicrhau dadansoddiad cywir pan nad yw'r categorïau'n gytbwys o ran maint.

    Mewn iaith syml

    Pan fydd grwpiau mewn histogram yn wahanol o ran maint, mae'n rhaid i ni ddefnyddio dwysedd amlder (uchder y bar) i sicrhau bod ardal y bar yn cyfateb i'r amlder go iawn. I ddod o hyd i'r canolrif, rydym yn cyfrif ardal y bariau nes cyrraedd hanner y cyfanswm.

    Hunanwirio

    Os oes gan far led o 10 a dwysedd amlder o 3, beth yw'r amlder a gynrychiolir gan y bar hwnnw?

    Dangos yr ateb

    Amlder = Lled * Dwysedd Amlder = 10 * 3 = 30.

    Gweld diagramau

    Histogram â lled dosbarthiadau anghyfartal

    0-22-5Dwysedd
    Allwedd a disgrifiad

    Dwysedd amledd yw’r raddfa fertigol. Mae arwynebedd y bar, nid ei uchder yn unig, yn cynrychioli amledd.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.2.21 foundation; Unit 3 §4.2.21 foundation. Tudalennau PDF 45: sylweddoli y gall graffiau fod yn gamarweiniol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Gall graffiau fod yn dwyllodrus os yw'r echelinau wedi'u tocio neu heb eu labelu'n gywir. Er enghraifft, mae siart bar sy'n dechrau yn 50 yn lle 0 yn gorliwio'r gwahaniaeth rhwng bariau o uchder 52 a 54.
    • Mater arall yw defnyddio graddfeydd anghyson neu ddelweddau 3D sy'n ystumio cyfrannau. Gall set ddata sy'n dangos elw: Blwyddyn 1 = £1000, Blwyddyn 2 = £1100, edrych fel cynnydd enfawr os yw'r echelin y wedi'i gywasgu.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Archwiliwch echelinau graff bob amser. Gwiriwch a yw'r echelin fertigol yn dechrau ar sero neu os yw'n torri. Os yw'r raddfa yn anllinol, mae'n camgynrychioli cyfraddau twf.
    • Chwiliwch am gyfwng cyson. Os yw histogram yn dangos cyfyngau 0-10, 10-20, 20-50, mae'r cyfwng olaf yn rhy fawr, gan greu argraff weledol anghywir o ddwysedd.

    Mewn iaith syml

    Byddwch yn ofalus gyda graffiau sy'n edrych yn ddramatig. Efallai eu bod wedi'u cynllunio i guddio gwybodaeth neu orliwio newid bach.

    Hunanwirio

    Os yw echelin y yn dechrau yn 1000 ac yn mynd i 1010, beth yw'r risg?

    Dangos yr ateb

    Mae'n gorliwio gwahaniaethau bach rhwng gwerthoedd.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.2.22 foundation; Unit 3 §4.2.22 foundation. Tudalennau PDF 45: edrych ar ddata i ddarganfod patrymau ac eithriadau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae dadansoddi data yn golygu chwilio am dueddiadau ac anomaleddau. Gall patrwm ddangos cynnydd cyson, fel llinell syth ar blot gwasgariad o gyfesurynnau (1, 10), (2, 20), (3, 30).
    • Eithriadau (outliers) yw pwyntiau data nad ydynt yn dilyn y patrwm. Mewn set o ddarlleniadau tymheredd: 15, 16, 17, 85, 18, 19, mae'r gwerth 85 yn anomaledd sy'n effeithio'n sylweddol ar y cymedr.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Nodwch gydberthnasau. Defnyddiwch blot gwasgariad i blotio pwyntiau, er enghraifft: mae echelin X yn cynrychioli oriau astudio, ac echelin Y yn cynrychioli sgôr. Os yw pwyntiau'n clystyru ger llinell, mae patrwm yn bodoli.
    • Eithriwch neu nodwch eithriadau wrth dynnu casgliadau. Eglurwch bob amser pam y gallai eithriad fodoli, megis gwall cofnodi neu ddigwyddiad anarferol.

    Mewn iaith syml

    Chwiliwch am y duedd gyffredinol yn y data, ond cadwch lygad am rifau rhyfedd sy'n sefyll allan o'r gweddill.

    Hunanwirio

    Yn y set {10, 12, 11, 13, 90, 12}, nodwch yr eithriad.

    Dangos yr ateb

    90, oherwydd ei fod yn llawer uwch na'r lleill.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Unit 1 §4.2.23 foundation; Unit 3 §4.2.23 foundation. Tudalennau PDF 45: llunio rhesymiadau a chasgliadau ar fesurau cryno a chynrychioliadau data, gan gysylltu canlyniadau â’r broblem wreiddiol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae tynnu casgliadau yn golygu gwneud dyfarniad gwybodus yn seiliedig ar ddadansoddi data. Ar gyfer astudiaeth effeithlonrwydd tanwydd car, os yw'r cymedr yn 40 milltir y galwyn (mpg), rydym yn casglu bod y car yn effeithlon.
    • Mae cysylltu canlyniadau yn ôl â'r broblem wreiddiol yn hanfodol. Os dadansoddwyd sgoriau prawf 50 o fyfyrwyr, rhaid i ni gasglu a oedd yr ymyriad (e.e. gwerslyfr newydd) yn effeithiol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Seiliwch gasgliadau ar ystadegau penodol. Defnyddiwch yr amrediad a'r cymedr i gefnogi honiadau. Er enghraifft: 'Cynyddodd y cymedr o 60 i 70 uned, sy'n awgrymu bod y dull yn gweithio'.
    • Gwiriwch y cyd-destun. Gall sgôr gyfartalog uchel guddio'r ffaith bod rhai myfyrwyr wedi methu'n sylweddol; archwiliwch y gwasgariad yn ogystal â'r cyfartaledd.

    Mewn iaith syml

    Defnyddiwch eich canfyddiadau i ateb y cwestiwn gwreiddiol. Sicrhewch fod eich casgliad yn cael ei gefnogi gan y rhifau a gyfrifwyd gennych.

    Hunanwirio

    Os cododd sgoriau prawf o 50 i 60, beth allwch chi ei gasglu?

    Dangos yr ateb

    Gwellodd y perfformiad gan 10 uned ar gyfartaledd.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.1 foundation. Tudalennau PDF 46: geirfa tebygolrwydd, gan gynnwys y syniadau o ansicrwydd a risg

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae tebygolrwydd yn fesur rhifiadol o ba mor debygol yw digwyddiad i ddigwydd, gan gynrychioli'r radd o ansicrwydd sy'n gysylltiedig â digwyddiad yn y dyfodol. Mae ansicrwydd yn cyfeirio at ganlyniadau nad ydynt yn hysbys ymlaen llaw, tra bod risg yn benodol yn cynnwys senarios lle gall canlyniad arwain at ganlyniad negyddol neu golled o fewn arbrawf rheoledig.
    • Mewn arbrawf safonol, fel rholio dis 6-ochr teg, y gofod sampl yw'r set o bob canlyniad posibl: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mae geirfa yn hanfodol i wahaniaethu rhwng digwyddiadau damcaniaethol a sylwadau empirig, gan sicrhau bod cyfathrebu mathemategol am siawns yn fanwl gywir ac yn cael ei ddeall mewn cyd-destun meintiol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I fesur ansicrwydd, nodwch yr holl ganlyniadau posibl o ddigwyddiad. Er enghraifft, os oes gan fag 3 marmor coch, 2 las, a 5 gwyrdd, mae 10 canlyniad i gyd. Risg dewis marmor glas yw cyfrif y canlyniadau glas (2) wedi'i rannu â'r cyfanswm (10), wedi'i symleiddio i 1/5.
    • Ymarferwch werthuso iaith a ddefnyddir mewn newyddion neu adroddiadau. Os yw rhagolwg tywydd yn datgan siawns o 20 y cant o law, trosi hyn i amlder o 20 canlyniad allan o 100 o ddiwrnodau damcaniaethol gyda'r un amodau. Trwy fapio terminoleg y byd go iawn i werthoedd rhifiadol, rydych yn sicrhau bod ansicrwydd haniaethol yn cael ei drawsnewid yn debygolrwydd mesuradwy.

    Mewn iaith syml

    Mae tebygolrwydd yn defnyddio geiriau a rhifau penodol i ddisgrifio pa mor debygol yw rhywbeth i ddigwydd, gan ein helpu i fesur risg ac ansicrwydd mewn arbrofion.

    Hunanwirio

    Mewn arbrawf gyda 20 o ganlyniadau cyfanswm lle mae 5 canlyniad wedi'u diffinio fel 'risg', beth yw cyfrif y canlyniadau sy'n weddill nad ydynt yn risg?

    Dangos yr ateb

    15 o ganlyniadau (20 minws 5).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.2 foundation. Tudalennau PDF 46: ystyr y termau 'teg', 'siawns deg', 'sicr', 'tebygol', 'annhebygol' ac 'amhosibl'

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae termau tebygolrwydd yn disgrifio tebygolrwydd digwyddiadau ar raddfa ansoddol. Mae digwyddiadau 'amhosibl' yn cael tebygolrwydd o 0, sy'n golygu nad ydynt byth yn digwydd. Mae 'siawns gyfartal' yn disgrifio tebygolrwydd o 0.5 neu 50 y cant, fel taflu darn arian teg lle mae pennau a chynffonau wedi'u pwyso'n gyfartal.
    • Mae termau fel 'tebygol' ac 'annhebygol' yn diffinio digwyddiadau sy'n fwy neu lai tebygol na siawns gyfartal, yn y drefn honno. Mae digwyddiadau 'sicr' wedi'u gwarantu i ddigwydd, wedi'u neilltuo tebygolrwydd o 1. Mae nodi'r cyflyrau hyn yn gofyn am ddeall cyfanswm y canlyniadau yn erbyn yr is-set o ganlyniadau sy'n bodloni'r cyflwr penodol sy'n cael ei ddisgrifio.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddosbarthu digwyddiad, rhestrwch yr holl ganlyniadau posibl. Os oes gennych fag gyda 10 pêl wen, mae codi pêl wen yn 'sicr' oherwydd bod pob un o'r 10/10 o ganlyniadau yn cyd-fynd. Os ydych chi'n codi pêl goch o'r un bag, mae'n 'amhosibl' oherwydd bod 0/10 o ganlyniadau yn cyd-fynd.
    • Cymharwch debygolrwyddau â 0.5. Os oes gan ddigwyddiad 7 canlyniad llwyddiannus allan o 10 cyfanswm, y ffracsiwn yw 7/10 neu 0.7. Gan fod 0.7 yn fwy na 0.5, rydym yn dosbarthu'r digwyddiad hwn fel un 'tebygol' o ddigwydd. Cyfrifwch y gwerth rhifiadol bob amser cyn cymhwyso'r label ansoddol.

    Mewn iaith syml

    Rydym yn defnyddio termau penodol fel sicr, tebygol, siawns gyfartal, annhebygol, ac amhosibl i ddisgrifio pa mor debygol yw canlyniad ar raddfa.

    Hunanwirio

    Os ydych chi'n rholio dis 6-ochr, a yw rholio 7 yn 'debygol', 'annhebygol', neu 'amhosibl'?

    Dangos yr ateb

    Amhosibl, oherwydd nid oes wyneb wedi'i rifo 7 ar ddis 6-ochr safonol.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.3 foundation. Tudalennau PDF 46: bod y raddfa tebygolrwydd yn ymestyn o 0 i 1

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae'r raddfa tebygolrwydd yn egwyl linol wedi'i chyfyngu'n llym rhwng 0 ac 1 yn gynhwysol. Mae gwerth o 0 yn dynodi digwyddiad amhosibl, ac mae gwerth o 1 yn dynodi digwyddiad sicr. Rhaid i unrhyw ganlyniad nad yw'n amhosibl nac yn sicr ddisgyn o fewn yr egwyl agored (0, 1).
    • Mae'r raddfa hon yn darparu'r fframwaith ar gyfer pob cyfrifiad tebygolrwydd. Oherwydd bod y raddfa wedi'i chyfyngu i'r egwyl [0, 1], ni all tebygolrwyddau fod yn llai na 0 neu'n fwy nag 1. Wrth weithio gyda phroblemau cymhleth, mae sicrhau bod eich canlyniad terfynol yn aros o fewn y ffiniau hyn yn gam angenrheidiol ar gyfer dilysu.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddelweddu'r raddfa, tynnwch segment llinell 10 cm o hyd. Marciwch 0 ar y pen chwith ac 1 ar y dde. Rhowch farcwyr ar gyfer 0.25, 0.5, a 0.75. Ar gyfer digwyddiad gyda 3 buddugoliaeth allan o 4 treial, cyfrifwch 3/4 = 0.75 a rhowch ef ar eich llinell.
    • Wrth drosi data i'r raddfa hon, gwiriwch bob amser bod eich mewnbynnau'n ddilys. Os oes gennych ganlyniad arbrofol sy'n awgrymu tebygolrwydd o 1.2, rydych wedi perfformio gwall cyfrifo, gan fod 1.2 yn fwy na'r uchafswm o 1. Ail-werthuswch eich cyfrifon i sicrhau nad yw'r is-set yn fwy na chyfanswm maint y sampl.
    • Graddfa debygolrwydd wedi'i labelu yw 0 (amhosibl) — 0.25 — 0.5 (cyfle cyfartal) — 0.75 — 1 (sicr), gyda marciau wedi'u gosod yn gyfartal. Rhowch P=¾ ar y marc 0.75, nid ar 3 neu 4. Mae'r pwyntiau terfyn 0 ac 1 wedi'u cynnwys.

    Mewn iaith syml

    Mae'r raddfa tebygolrwydd yn mynd o 0 (amhosibl) i 1 (sicr). Rhaid cynrychioli pob digwyddiad posibl fel rhif rhwng y ddau werth hyn.

    Hunanwirio

    A yw tebygolrwydd o 1.5 yn ddilys ar y raddfa tebygolrwydd?

    Dangos yr ateb

    Na, mae'n annilys oherwydd bod y raddfa wedi'i chyfyngu'n llym i 0 hyd at 1.

    Gweld diagramau

    Graddfa tebygolrwydd wedi’i labelu

    0¼½¾1AmhosiblSicrSiawns gyfartal = ½
    Allwedd a disgrifiad

    Y marciau sydd yr un pellter oddi wrth ei gilydd yw 0, ¼, ½, ¾ ac 1. Mae sero’n golygu amhosibl, ½ yn golygu siawns gyfartal, ac 1 yn golygu sicr. Mae’r ddau ben wedi’u cynnwys. Mae’r pwynt wedi’i amlygu’n cynrychioli tebygolrwydd ¾.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.4 foundation. Tudalennau PDF 46: bod tebygolrwyddau yn gallu cael eu mynegi fel ffracsiynau, degolion neu ganrannau

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Gellir cynrychioli tebygolrwyddau mewn tair ffurf gyfatebol: ffracsiynau, degolion, a chanrannau. Mae ffracsiwn fel 1/4 yn cynrychioli cymhareb canlyniadau targed i gyfanswm y canlyniadau. Cyflawnir trosi hwn i ddegol trwy rannu: 1 wedi'i rannu â 4 sy'n hafal i 0.25.
    • I fynegi'r degol fel canran, lluoswch â 100 ac ychwanegwch y symbol canran. Felly, mae 0.25 wedi'i luosi â 100 yn hafal i 25 y cant. Mae'r trosiadau hyn yn sylfaenol oherwydd eu bod yn caniatáu cymharu setiau data a all ymddangos i ddechrau mewn unedau gwahanol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I drosi tebygolrwydd o 2/5 i ddegol a chanran, rhannwch 2 â 5 yn gyntaf i gael 0.4. Yna, lluoswch 0.4 â 100 i gael 40 y cant. Gwnewch y rhaniad yn ofalus bob amser i sicrhau cywirdeb y cynrychiolaeth ddegol.
    • Ar gyfer setiau data, os ydych chi'n arsylwi 12 taro mewn 20 ymgais, y ffracsiwn yw 12/20. Symleiddiwch hyn trwy rannu'r rhifydd a'r enwadur â 4 i gael 3/5. Yna, trosi 3/5 i 0.6 a 60 y cant. Mae cadw dull cyson ar gyfer y trosiadau hyn yn atal gwallau wrth grynhoi canlyniadau arbrofol.

    Mewn iaith syml

    Mae tebygolrwyddau yn cael eu hysgrifennu fel ffracsiynau, degolion, neu ganrannau. Gallwch newid rhyngddynt yn hawdd trwy rannu neu luosi.

    Hunanwirio

    Beth yw 3/4 fel degol a chanran?

    Dangos yr ateb

    0.75 a 75 y cant.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.5 foundation. Tudalennau PDF 46: mai 1 yw cyfanswm tebygolrwydd holl ganlyniadau posibl arbrawf

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae swm tebygolrwyddau pob canlyniad sy'n annibynnol ac yn gyflawn mewn arbrawf bob amser yn hafal i 1. Os oes gan arbrawf ganlyniadau A, B, a C, yna mae P(A) + P(B) + P(C) = 1.
    • Mae'r eiddo hwn yn ddefnyddiol ar gyfer dod o hyd i debygolrwydd digwyddiad pan fyddwch chi'n gwybod tebygolrwyddau'r holl ganlyniadau eraill. Er enghraifft, os yw P(A) = 0.2 a P(B) = 0.5, yna rhaid i P(C) fod yn 1 - (0.2 + 0.5) = 0.3. Mae'r egwyddor hon yn sylfaenol ar gyfer gwirio cysondeb modelau tebygolrwydd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Rhestrwch yr holl ganlyniadau ar gyfer arbrawf. Neilltuwch werth tebygolrwydd i bob canlyniad. Crynhowch y gwerthoedd hyn. Os yw'r swm yn 1, mae'r model yn gyflawn. Os ydych chi'n colli un canlyniad, tynnwch swm y tebygolrwyddau hysbys o 1 i nodi'r tebygolrwydd coll.
    • Cymhwyswch hyn i set ddata o 100 tro o olwyn lle mae 3 lliw: Coch, Glas, a Gwyrdd. Os yw Coch yn digwydd 30 gwaith a Glas 40 gwaith, mae gennym 70/100 neu 0.7 wedi'i gyfrif. Rhaid i debygolrwydd Gwyrdd fod yn 1 - 0.7 = 0.3. Gwiriwch bob amser nad yw eich symiau is-set yn fwy nag 1.

    Mewn iaith syml

    Os ydych chi'n adio tebygolrwyddau pob canlyniad posibl mewn arbrawf, rhaid i'r cyfanswm bob amser fod yn 1.

    Hunanwirio

    Mewn arbrawf gyda 3 chanlyniad, os yw P(A) = 0.1 a P(B) = 0.4, beth yw P(C)?

    Dangos yr ateb

    0.5 (Wedi'i gyfrifo fel 1 - 0.5 = 0.5).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.6 foundation. Tudalennau PDF 46: cyfrifo tebygolrwyddau damcaniaethol sy’n seiliedig ar ganlyniadau sydd yr un mor debygol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Diffinnir tebygolrwydd damcaniaethol fel nifer y canlyniadau ffafriol wedi'i rannu â chyfanswm nifer y canlyniadau sy'n debygol o ddigwydd. Y fformiwla yw P(Digwyddiad) = (Nifer y canlyniadau ffafriol) / (Cyfanswm nifer y canlyniadau posibl).
    • Mae'r dull hwn yn cymryd bod gan bob canlyniad yn y gofod sampl yr un debygolrwydd union o ddigwydd. Er enghraifft, mae gan ddis teg 6 wyneb. Os ydych chi eisiau rholio rhif sy'n fwy na 4, y canlyniadau ffafriol yw 5 a 6. Mae hyn yn rhoi 2 ganlyniad ffafriol allan o 6, gan arwain at 2/6, sy'n symleiddio i 1/3.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i debygolrwydd damcaniaethol, dechreuwch trwy restru'r gofod sampl. Ar gyfer bag sy'n cynnwys 3 marmor coch, 4 glas, a 3 melyn (cyfanswm 10), mae dod o hyd i debygolrwydd codi coch yn golygu nodi 3 chanlyniad ffafriol. Rhannwch 3 â 10 i gael 0.3 neu 30 y cant.
    • Defnyddiwch bwyntiau cyfesurynnau ar gyfer problemau geometreg. Os oes gan grid 10 pwynt wedi'u labelu (1,1) i (2,5), a'ch bod yn dewis pwynt ar hap, penderfynir ar y tebygolrwydd o ddewis pwynt gyda chyfesuryn x o 2 trwy gyfrif faint o bwyntiau sydd ag x=2 (sy'n (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5)) a rhannu â 10. Felly, 5/10 = 0.5.

    Mewn iaith syml

    Cyfrifwch debygolrwydd damcaniaethol trwy rannu nifer y canlyniadau yr ydych eu heisiau â chyfanswm nifer yr holl ganlyniadau posibl.

    Hunanwirio

    Os oes gan droellwr 8 adran gyfartal wedi'u rhifo 1-8, beth yw'r tebygolrwydd o lanio ar rif llai na 3?

    Dangos yr ateb

    2/8, sy'n symleiddio i 1/4 (0.25).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.7 foundation. Tudalennau PDF 46: amcangyfrif tebygolrwydd digwyddiad fel y gyfran o weithiau mae wedi digwydd – cysylltu â thystiolaeth arbrofol ac amlder cymharol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae tebygolrwydd arbrofol, neu amlder cymharol, yn gymhareb o nifer y gweithiau y mae digwyddiad yn digwydd mewn cyfres wirioneddol o dreialon i gyfanswm nifer y treialon. P(Digwyddiad) = (Nifer y digwyddiadau) / (Cyfanswm y treialon).
    • Yn wahanol i debygolrwydd damcaniaethol, mae tebygolrwydd arbrofol yn defnyddio data go iawn a gasglwyd trwy arsylwi. Wrth i nifer y treialon gynyddu, mae'r tebygolrwydd arbrofol fel arfer yn dod yn amcangyfrif gwell o debygolrwydd damcaniaethol digwyddiad.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cynnal arbrawf trwy fflipio darn arian 50 gwaith. Cofnodwch y canlyniadau mewn tabl amlder. Os yw pennau'n ymddangos 28 gwaith, yr amlder cymharol yw 28/50. Symleiddiwch y ffracsiwn hwn i 14/25, sy'n hafal i 0.56 neu 56 y cant.
    • Dadansoddwch y set ddata: Tybiwch fod dis wedi'i rholio 100 gwaith, a bod y canlyniadau ar gyfer rholio 6 fel a ganlyn: 18 gwaith. Mae tebygolrwydd arbrofol rholio 6 yn 18/100 = 0.18. Cymharwch hyn â'r tebygolrwydd damcaniaethol (1/6 = 0.167) i arsylwi'r amrywiant. Cadwch gofnodion o'ch cyfrifon crai i ddangos y broses arbrofol yn glir.

    Mewn iaith syml

    Mae tebygolrwydd arbrofol yn seiliedig ar ganlyniadau go iawn o wneud arbrawf. Rydych chi'n dod o hyd iddo trwy rannu nifer y canlyniadau llwyddiannus â chyfanswm nifer y treialon.

    Hunanwirio

    Mewn 40 o dreialon, digwyddodd digwyddiad penodol 10 gwaith. Beth yw'r tebygolrwydd arbrofol?

    Dangos yr ateb

    10/40, sy'n symleiddio i 1/4 (0.25 neu 25 y cant).

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.8 foundation. Tudalennau PDF 47: llunio a dehongli cynrychioliad graffigol o amlder cymharol yn erbyn nifer y treialon a deall bod disgwyl sefydlogrwydd tymor hir amlder cymharol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Amlder cymharol yw'r gymhareb rhwng nifer y gwaith y mae digwyddiad yn digwydd a chyfanswm y treialon a wnaed. Ar gyfer arbrawf, fel rholio dis gogwyddo, gadewch i X fod yn ganlyniad rholio 6. Os ydym yn perfformio 50 o dreialon ac yn arsylwi 12 llwyddiant, mae'r amlder cymharol yn 12/50, sy'n hafal i 0.24. Wrth i nifer y treialon gynyddu, mae'r amlder cymharol fel arfer yn cydgyfeirio tuag at werth sefydlog sy'n cynrychioli tebygolrwydd arbrofol y digwyddiad.
    • Mae sefydlogrwydd tymor hir yn cyfeirio at yr arsylwi bod amrywiadau yn yr amlder cymharol yn lleihau wrth i ni gynyddu nifer y treialon, a bod y gwerth yn setlo o gwmpas y tebygolrwydd sylfaenol. Er enghraifft, mewn 100 o dreialon, gallai'r amlder fod yn 0.22, ac mewn 1000 o dreialon, gallai fod yn 0.201. Mae graffio'r gwerthoedd hyn gyda nifer y treialon ar yr echelin x a'r amlder cymharol ar yr echelin y yn dangos cromlin sy'n gwastatáu, gan ddangos sut mae tystiolaeth empirig yn cefnogi'r Gyfraith Rhifau Mawr.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I dynnu graff amlder cymharol, crëwch dabl gyda dwy golofn: Cyfrif Treialon (n) ac Amlder Cymharol (AC). Ystyriwch efelychiad o daflu ceiniog lle mae'r 10 treial cyntaf yn dangos 6 pennau (AC 0.6), mae 20 treial yn dangos 11 pennau (AC 0.55), mae 50 treial yn dangos 24 pennau (AC 0.48), a 100 treial yn dangos 49 pennau (AC 0.49). Plotio'r pwyntiau hyn: (10, 0.6), (20, 0.55), (50, 0.48), (100, 0.49). Tynnwch gromlin esmwyth drwy'r pwyntiau hyn a nodwch sut mae'r llinell yn agosáu at y tebygolrwydd damcaniaethol o 0.5.
    • Wrth ddehongli'r graff, nodwch y rhanbarth lle mae'r gromlin yn dod bron yn llorweddol. Mae'r pwynt sefydlogi hwn yn darparu amcangyfrif ar gyfer tebygolrwydd y digwyddiad. Yn ein set ddata, mae'r pwyntiau olaf yn hofran ger 0.49. I gyfrifo'r twf canolradd, gwiriwch bob gwerth AC drwy rannu'r cyfrif llwyddiant cronnol â'r cyfrif treialon. Er enghraifft, ar 50 treial, mae 24/50 yn hafal i 0.48, ac ar 100 treial, mae 49/100 yn hafal i 0.49. Defnyddiwch echelinau wedi'u labelu'n glir ar eich graff bob amser, gan nodi'r Cyfrif Treialon ar yr echelin lorweddol a'r Amlder Cymharol ar yr echelin fertigol.

    Mewn iaith syml

    Amlder cymharol yw pa mor aml mae rhywbeth yn digwydd o gymharu â sawl gwaith y gwnaethoch chi geisio. Os byddwch chi'n parhau i geisio mwy a mwy, mae'r canlyniad fel arfer yn setlo i rif cyson.

    Hunanwirio

    Mae gan arbrawf 40 o lwyddiannau mewn 200 o dreialon. Cyfrifwch yr amlder cymharol. Os yw'r tebygolrwydd damcaniaethol yn 0.25, a yw'r canlyniad hwn yn agos?

    Dangos yr ateb

    Mae'r amlder cymharol yn 40/200 = 0.2. Mae hyn yn agos at 0.25 ond yn is, sy'n dangos y gallai treialon pellach ei ddod â hi'n agosach at y gwerth damcaniaethol.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.9 foundation. Tudalennau PDF 47: cymharu tebygolrwydd a gafodd ei amcangyfrif ar sail canlyniadau arbrofol, â thebygolrwydd damcaniaethol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae tebygolrwydd arbrofol yn deillio o ganlyniadau gwirioneddol arbrawf, wedi'i gyfrifo fel (Nifer y canlyniadau llwyddiannus / Cyfanswm nifer y treialon). Mae tebygolrwydd damcaniaethol yn seiliedig ar ddisgwyliad mathemategol, wedi'i gyfrifo fel (Nifer y canlyniadau ffafriol / Cyfanswm nifer y canlyniadau posibl) gan dybio bod pob canlyniad yn gyfartal o ran tebygolrwydd. Mae cymharu'r ddau hyn yn helpu i benderfynu a yw proses yn deg neu wedi'i gogwyddo.
    • Wrth gymharu, darganfyddwch y gwahaniaeth rhwng y tebygolrwydd arbrofol (P_exp) a'r tebygolrwydd damcaniaethol (P_theo). Mae gwahaniaeth bach, megis |P_exp - P_theo| < 0.05, yn awgrymu bod y canlyniadau arbrofol yn cyd-fynd yn dda â disgwyliadau, tra bod gwahaniaeth mawr yn awgrymu gogwydd posibl yn y mecanwaith neu nifer annigonol o dreialon i gyrraedd sefydlogrwydd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Enghraifft: Mae dis chwe ochr teg yn cael ei rolio 60 gwaith. Yn ddamcaniaethol, mae'r tebygolrwydd o rolio 1 yn 1/6 (tua 0.167). Os yw'r arbrawf yn arwain at 8 achlysur o 1, y tebygolrwydd arbrofol yw 8/60, sy'n tua 0.133. Cyfrifwch y gwahaniaeth: |0.133 - 0.167| = 0.034. Gan fod 0.034 yn fach, ystyrir bod y canlyniad yn gyson â disgwyliadau damcaniaethol.
    • Wrth gyflawni'r dadansoddiad hwn, cyfrifwch y ffracsiynau union yn gyntaf bob amser cyn trosi i ddegolion i'w cymharu. Defnyddiwch gyfrifiannell ar gyfer rhannu, gan sicrhau o leiaf tri lle degol ar gyfer cywirdeb. Rhestrwch eich camau yn glir: diffiniwch y canlyniad damcaniaethol, cyfrifwch y llwyddiannau a welwyd, cyfrifwch P_exp, darganfyddwch faint y gwahaniaeth, a nodwch a yw'r gwerthoedd yn weddol agos o ystyried maint y treial.

    Mewn iaith syml

    Mae tebygolrwydd arbrofol yr hyn a gewch o brofi, tra bod tebygolrwydd damcaniaethol yr hyn y mae mathemateg yn dweud y dylai ddigwydd. Mae eu cymharu yn dangos a yw eich canlyniadau prawf yn gwneud synnwyr.

    Hunanwirio

    Mae gan geiniog deg debygolrwydd damcaniaethol o 0.5 ar gyfer pennau. Mewn 200 o droadau, cewch 90 o bennau. Cyfrifwch y gwahaniaeth rhwng tebygolrwydd arbrofol a damcaniaethol.

    Dangos yr ateb

    Tebygolrwydd arbrofol = 90/200 = 0.45. Gwahaniaeth = |0.45 - 0.5| = 0.05.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.3.10 foundation. Tudalennau PDF 47: deall a defnyddio'r nifer disgwyliedig o lwyddiannau digwyddiad pan fydd arbrawf yn cael ei ailadrodd, a digwyddiadau yr un mor debygol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Cyfrifir nifer disgwyliedig llwyddiannau digwyddiad drwy luosi cyfanswm nifer yr ailadroddiadau (treialon) â thebygolrwydd y digwyddiad yn digwydd mewn un treial. Ar gyfer digwyddiad gyda thebygolrwydd p, a n treialon, y nifer disgwyliedig (E) yw E = n * p. Mae hyn yn berthnasol pan fo pob treial yn annibynnol a bod y tebygolrwydd o lwyddo yn aros yn gyson ar draws pob treial.
    • Os oes gan ddigwyddiad sawl canlyniad sy'n debygol o ddigwydd yn gyfartal, diffinnir y tebygolrwydd p fel (Nifer y canlyniadau targed) / (Cyfanswm nifer y canlyniadau). Er enghraifft, os ydych chi'n rholio dis 120 gwaith, y tebygolrwydd o gael 4 yw 1/6. Y nifer disgwyliedig o weithiau mae 4 yn ymddangos yw E = 120 * (1/6) = 20. Nid yw hyn yn gwarantu y byddwch yn cael union 20 llwyddiant, ond mae'n cynrychioli'r cyfartaledd tymor hir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I bennu nifer disgwyliedig y llwyddiannau, nodwch gyfanswm y treialon n yn gyntaf. Nesaf, sefydlwch y tebygolrwydd p o'r canlyniad penodol yn digwydd unwaith. Defnyddiwch y fformiwla E = n * p. Er enghraifft, os ydych chi'n taflu ceiniog 500 gwaith, y tebygolrwydd p yw 0.5. Cyfrifwch E = 500 * 0.5 = 250. Dylech ddisgwyl 250 o bennau. Os ydych chi'n cael nifer o ganlyniadau, sicrhewch fod swm y tebygolrwyddau yn 1.0 cyn cyfrifo E.
    • Wrth gyfrifo ar gyfer treialon lluosog, cyflwynwch eich camau canolradd bob amser. Er enghraifft, os ydych chi'n codi cerdyn o ddec o 52 o gardiau 26 gwaith, ac rydych chi'n chwilio am Galon (p = 1/4), cyfrifwch: 26 * 0.25 = 6.5. Gan na allwch gael hanner llwyddiant, dehonglwch hyn fel 6 neu 7. Ar gyfer gwaith ysgol, adroddwch y canlyniad fel y degol E = 6.5 os gofynnir, oherwydd mae hyn yn cynrychioli'r disgwyliad mathemategol union.

    Mewn iaith syml

    I ddod o hyd i nifer disgwyliedig y llwyddiannau, lluoswch nifer y gwaith y gwnaethoch chi'r treial â'r siawns iddo ddigwydd unwaith.

    Hunanwirio

    Mae gan droellwr 4 adran gyfartal: Coch, Glas, Gwyrdd, Melyn. Rydych chi'n ei droi 80 gwaith. Sawl gwaith y byddech chi'n disgwyl iddo lanio ar Goch?

    Dangos yr ateb

    Tebygolrwydd p = 1/4 = 0.25. Llwyddiannau disgwyliedig = 80 * 0.25 = 20.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.4.1 foundation. Tudalennau PDF 47: os yw A a B yn ddigwyddiadau cydanghynhwysol, y tebygolrwydd y bydd A neu B yn digwydd yw P(A) + P(B)

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae digwyddiadau sy'n anghynhwysol i'w gilydd yn ddau ganlyniad neu fwy na all ddigwydd ar yr un pryd. Er enghraifft, os ydych yn rholio dis chwe ochr teg, mae'r digwyddiad o rolio 2 a'r digwyddiad o rolio 5 yn anghynhwysol i'w gilydd oherwydd na allwch rolio'r ddau rif gydag un rholiad. Yn fathemategol, mae tebygolrwydd A neu B yn digwydd yn swm eu tebygolrwyddau unigol, wedi'i fynegi fel P(A neu B) = P(A) + P(B).
    • Mae'r egwyddor hon yn berthnasol i senarios amrywiol lle mae canlyniadau wedi'u rhannu. Os ydych yn dewis marmor o fag sy'n cynnwys 5 marmor coch, 3 glas, a 2 werdd, mae'r digwyddiadau o ddewis marmor coch neu ddewis marmor glas yn anghynhwysol i'w gilydd. Gan nad yw'r digwyddiadau yn gorgyffwrdd, rydym yn cyfrifo'r tebygolrwydd cyfunol trwy adio tebygolrwydd pob canlyniad ar wahân gyda'i gilydd i ddod o hyd i gyfanswm y tebygolrwydd o un o'r digwyddiadau hyn yn digwydd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Er mwyn datrys problemau sy'n cynnwys digwyddiadau anghynhwysol i'w gilydd, nodwch y tebygolrwyddau unigol yn gyntaf. Tybiwch fod blwch yn cynnwys 10 cerdyn wedi'u rhifo 1 i 10. Y tebygolrwydd o ddewis cerdyn gyda 3 yw P(3) = 1/10. Y tebygolrwydd o ddewis cerdyn gyda 7 yw P(7) = 1/10. Gan fod y rhain yn anghynhwysol i'w gilydd, mae P(3 neu 7) = 1/10 + 1/10 = 2/10, sy'n symleiddio i 1/5.
    • Cymhwyswch hyn i dabl dosbarthiad tebygolrwydd lle mae swm yr holl debygolrwyddau yn hafal i 1. Os yw P(Ennill) = 0.4 a P(Cyfartal) = 0.3, yna P(Colli) = 1 - (0.4 + 0.3) = 0.3. Gan na all y digwyddiadau hyn ddigwydd ar yr un pryd, mae tebygolrwydd (Ennill neu Gyfartal) yn 0.4 + 0.3 = 0.7. Gwiriwch bob amser fod swm tebygolrwydd yr holl ganlyniadau anghynhwysol posibl yn adio i union 1.

    Mewn iaith syml

    Mae anghynhwysol i'w gilydd yn golygu na all dau beth ddigwydd ar yr un pryd. I ddod o hyd i'r siawns o un neu'r llall yn digwydd, dim ond adio eu siawns unigol gyda'i gilydd.

    Hunanwirio

    Mae gan fag 4 cownter coch, 3 gwyrdd, a 3 melyn. Beth yw'r tebygolrwydd o ddewis cownter coch NEU wyrdd?

    Dangos yr ateb

    P(Coch) = 4/10, P(Gwyrdd) = 3/10. Gan eu bod yn anghynhwysol i'w gilydd, mae P(Coch neu Wyrdd) = 4/10 + 3/10 = 7/10 neu 0.7.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.4.2 foundation. Tudalennau PDF 47: os yw A a B yn ddigwyddiadau annibynnol, y tebygolrwydd y bydd A a B yn digwydd yw P(A) x P(B)

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae digwyddiadau annibynnol yn ddigwyddiadau lle nad yw canlyniad y digwyddiad cyntaf yn effeithio ar debygolrwydd yr ail ddigwyddiad. Er enghraifft, taflu darn arian ddwywaith: nid oes gan ganlyniad y dafliad cyntaf (Pen neu Gynffon) unrhyw ddylanwad ar ganlyniad yr ail dafliad. Mae tebygolrwydd y ddau ddigwyddiad A a B yn digwydd yn cael ei ddarganfod trwy luosi eu tebygolrwyddau unigol: P(A a B) = P(A) x P(B).
    • Mae deall annibyniaeth yn hanfodol ar gyfer cyfrifo tebygolrwyddau cymhleth sy'n cynnwys treialon dilynol. Os ydych yn rholio dis ac yna'n troi troellwr, mae canlyniad y rholiad dis yn annibynnol ar ganlyniad y troellwr. Gan fod y digwyddiadau yn annibynnol, rydym yn lluosi siawns pob canlyniad penodol i ddod o hyd i debygolrwydd y groesffordd gyfunol honno o ganlyniadau yn digwydd yn ddilyniannol.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Cyfrifwch ddigwyddiadau annibynnol trwy ynysu tebygolrwydd unigol pob treial. Ystyriwch ddarn arian (P(Pen) = 0.5) a dis chwe ochr safonol (P(6) = 1/6). Mae'r tebygolrwydd o gael Pen A 6 mewn un arbrawf cyfunol yn 0.5 x 1/6 = 0.5/6 = 1/12. Gwiriwch bob amser fod y digwyddiadau yn wirioneddol annibynnol cyn lluosi.
    • Defnyddiwch dabl ar gyfer dau ddigwyddiad. Os oes gan ddigwyddiad A debygolrwyddau {0.2, 0.8} ac mae gan ddigwyddiad B {0.5, 0.5}, mae'r pedwar canlyniad cyfunol yn digwydd gyda thebygolrwyddau 0.1, 0.1, 0.4, a 0.4. Mae'r rheol luosi hon yn parhau waeth beth yw nifer y treialon cyn belled â bod pob treial yn aros yn annibynnol ar y lleill. Sicrhewch fod yr holl ffracsiynau wedi'u symleiddio'n gywir yn ystod eich proses gyfrifo i gynnal cywirdeb.

    Mewn iaith syml

    Mae digwyddiadau annibynnol yn golygu nad yw'r cyntaf yn newid canlyniad yr ail. I ddod o hyd i'r siawns o'r ddau yn digwydd, lluoswch y ddwy siawns unigol gyda'i gilydd.

    Hunanwirio

    Taflir darn arian a rholir dis. Beth yw'r tebygolrwydd o gael Cynffon a 4?

    Dangos yr ateb

    P(Cynffon) = 1/2, P(4) = 1/6. Gan eu bod yn annibynnol, P(Cynffon a 4) = 1/2 * 1/6 = 1/12.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.4.3 foundation. Tudalennau PDF 48: nodi holl ganlyniadau cyfuniad o arbrofion, gan gynnwys rhestri, diagramau gofod sampl, diagramau canghennog a diagramau Venn

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • I ddeall cyfuniadau o arbrofion, rydym yn defnyddio offer gweledol i olrhain pob canlyniad posibl. Mae diagram gofod sampl yn rhestru pob canlyniad o ddau ddigwyddiad ar grid, megis swm dau rholiad dis, lle mae cyfesurynnau (1,1) drwy (6,6) yn cynrychioli pob canlyniad. Mae diagramau coed yn dangos camau dilyniannol fel canghennau, gan luosi ar hyd llwybrau ar gyfer digwyddiadau dibynnol neu annibynnol. Mae diagramau Venn yn dangos gorgyffwrdd rhwng setiau, gan ein galluogi i dynnu canlyniadau cyffredin i ddod o hyd i debygolrwyddau unigryw.
    • Rhestrau yw'r dull symlaf ar gyfer gofodau sampl llai, tra bod diagramau coed yn rhagori ar ddangos dilyniannau o dreialon. Mae gridiau gofod sampl yn well ar gyfer canlyniadau deuddimensiynol, fel safle dau wrthrych symudol ar blân cyfesurynnol, er enghraifft ar bwyntiau A(1,2) a B(3,4). Trwy drefnu canlyniadau yn systematig, rydym yn sicrhau na chollir unrhyw bosibilrwydd, sef y cam sylfaenol ar gyfer cyfrifo tebygolrwyddau cywir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Adeiladu diagram gofod sampl ar gyfer dau ddis. Crëwch grid gyda rhesi 1 i 6 a cholofnau 1 i 6. Mae pob cell yn cynrychioli pâr cyfesurynnol (dis1, dis2). Mae 36 o ganlyniadau posibl. I ddod o hyd i debygolrwydd swm o 4, nodwch y cyfesurynnau (1,3), (2,2), a (3,1). Mae hyn yn rhoi 3/36 = 1/12.
    • Tynnwch ddiagram coed ar gyfer codi dau gownter heb eu hamnewid o fag o 3 coch a 2 las. Dechreuwch ar bwynt, tynnwch ddwy gangen: Coch (3/5) a Glas (2/5). O bob pen, tynnwch set arall o ganghennau wedi'u haddasu ar gyfer y cownteri sy'n weddill. Os oedd y cyntaf yn Goch, y canghennau ail yw Coch (2/4) a Glas (2/4). Lluoswch ar hyd y canghennau i ddod o hyd i debygolrwydd Coch yna Glas: (3/5) x (2/4) = 6/20 = 3/10.
    • Ar gyfer dau ddarn arian, labelwch resi'r gofod sampl darn arian cyntaf H,T a cholofnau ail ddarn arian H,T. Y pedwar cell yw HH, HT yn rhes H a TH, TT yn rhes T. Os yw'r ddau dafliad teg yn annibynnol, mae'r pedwar cell yn gyfartal debygol.
    • Ar gyfer grŵp o 30 o ddisgyblion gydag 18 yn A, 14 yn B ac 8 yn y ddau, rhowch 8 yn y gorgyffwrdd yn gyntaf. Yna mae A-yn-unig yn 18−8 = 10, B-yn-unig yw 14−8 = 6 a'r naill na'r llall yw 30−(10+8+6) = 6. Mae'r diagram Venn a ddangosir yn cofnodi'r pedwar rhanbarth hyn nad ydynt yn gorgyffwrdd.

    Mewn iaith syml

    I ddod o hyd i siawns canlyniadau cymhleth, defnyddiwch ddiagramau i restru pob posibilrwydd. Mae gridiau'n gweithio'n dda ar gyfer dau ddis, ac mae diagramau coed yn helpu i olrhain camau dilyniannol fel codi cardiau neu gownteri.

    Hunanwirio

    Gan ddefnyddio grid gofod sampl ar gyfer dau ddarn arian, beth yw'r tebygolrwydd o gael o leiaf un Pen?

    Dangos yr ateb

    Canlyniadau: HH, HT, TH, TT. Mae gan 3 allan o 4 o leiaf un Pen. P(o leiaf un Pen) = 3/4.

    Gweld diagramau

    Gofod sampl ar gyfer dau dafliad darn arian

    Ail dafliad →CyntafPCPCPPPCCPCCPob cell: tebygolrwydd ¼
    Allwedd a disgrifiad

    Mae’r rhesi’n nodi’r tafliad cyntaf a’r colofnau’r ail. Y celloedd yw PP, PC, CP, CC (P=pen, C=cynffon). Ar gyfer dau dafliad annibynnol teg, mae tebygolrwydd pob cell yn ¼. Mae tri chanlyniad yn cynnwys o leiaf un pen, gan roi tebygolrwydd ¾.

    Diagram Venn ar gyfer dau ddigwyddiad

    A (18)B (14)1086Tu allan630 disgybl i gyd
    Allwedd a disgrifiad

    Grŵp o 30 disgybl a luniwyd: n(A) = 18, n(B) = 14, n(A ∩ B) = 8. A yn unig = 18 − 8 = 10; B yn unig = 14 − 8 = 6; y tu allan = 30 − (10 + 8 + 6) = 6. P(A ∪ B) = 24/30 = 4/5; P(A ∩ B) = 8/30 = 4/15.

    Enghreifftiau a luniwyd wedi’u labelu. Mae allwedd pob diagram yn nodi ei ddata a’i ddull ei hun.
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.4.4 foundation. Tudalennau PDF 48: gwybod pryd mae angen adio tebygolrwyddau ar gyfer digwyddiadau cydanghynhwysol a lluosi tebygolrwyddau ar gyfer dau ddigwyddiad annibynnol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Y penderfyniad sylfaenol mewn tebygolrwydd yw a ddylid adio neu luosi. Rydych yn adio tebygolrwyddau pan fydd gennych ddigwyddiadau anghynhwysol i'w gilydd lle mae angen siawns 'hwn NEU hwnnw' arnoch. Mae hyn yn tybio na all y digwyddiadau ddigwydd ar yr un pryd, megis codi un cerdyn sy'n naill ai'n Ac neu'n Frenin o becyn. Rydych yn y bôn yn cynyddu nifer y canlyniadau ffafriol yn eich rhifiadur trwy adio'r digwyddiadau penodol.
    • Rydych yn lluosi tebygolrwyddau wrth ddelio â digwyddiadau annibynnol lle mae angen siawns 'hwn A hwnnw' arnoch. Mae hyn yn berthnasol pan fo'r canlyniadau'n ddilyniannol neu'n gydamserol mewn arbrofion gwahanol, megis taflu darn arian a rholio dis. Mae angen lluosi oherwydd bod gofod canlyniad yr ail ddigwyddiad yn cael ei raddio gan debygolrwydd llwyddiant y digwyddiad cyntaf, gan greu gofod tebygolrwydd ar y cyd.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I benderfynu, gofynnwch: a all y ddau ddigwydd? Os na, ychwanegwch. Os oes gan yr arbrawf gamau neu dreialon ar wahân, gofynnwch: a oes angen y ddau arnaf i ddigwydd? Os ydyw, lluoswch. Er enghraifft, os ydych yn codi un bêl o fag, mae'r siawns o Goch neu Las yn adiol. Os ydych yn codi pêl, ei rhoi yn ôl, a chodi eto, mae'r siawns o Goch yna Las yn lluosol.
    • Ystyriwch senario gyda throellwr tueddol (P(A)=0.6, P(B)=0.4). Os ydych yn troi ddwywaith, mae'r tebygolrwydd o gael yr un canlyniad (A ac A neu B a B) yn cynnwys y ddwy weithred: (0.6 x 0.6) + (0.4 x 0.4) = 0.36 + 0.16 = 0.52. Yma, rydych yn lluosi ar gyfer y dilyniannau unigol ac yn adio oherwydd bod y dilyniannau eu hunain yn llwybrau anghynhwysol i'w gilydd.

    Mewn iaith syml

    Adiwch pan fydd angen un canlyniad NEU un arall o opsiynau anghynhwysol. Lluoswch pan fydd angen un canlyniad A un arall o dreialon annibynnol.

    Hunanwirio

    Mae blwch yn cynnwys 2 bêl goch a 3 glas. Os ydych yn codi un, beth yw'r tebygolrwydd ei bod yn goch neu las? Os ydych yn codi un, ei rhoi yn ôl, a chodi un arall, beth yw'r tebygolrwydd bod y ddwy yn goch?

    Dangos yr ateb

    P(Coch neu Las) = 2/5 + 3/5 = 1. P(Coch ac Coch) = 2/5 * 2/5 = 4/25.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.4.5 higher. Tudalennau PDF 48: adnabod pan fydd problemau'n cynnwys tri digwyddiad annibynnol, a gallu cyfrifo'r tebygolrwydd gofynnol

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae cyfrifiadau sy'n cynnwys tri digwyddiad annibynnol yn dilyn yr un rheol luosi â dau ddigwyddiad. Gan fod pob digwyddiad yn digwydd yn annibynnol, tebygolrwydd ar y cyd digwyddiadau A, B, a C yn digwydd yw cynnyrch eu tebygolrwyddau unigol: P(A a B a C) = P(A) x P(B) x P(C). Mae'r rheol hon yn wir waeth beth yw'r math o dreialon, boed yn dafliadau darn arian, rholio dis, neu ddewisiadau annibynnol o gynwysyddion gwahanol.
    • Mewn cymwysiadau haen uwch, efallai y bydd angen i chi ddatrys cyfuniadau cymhleth, megis tebygolrwydd cael o leiaf un llwyddiant mewn tri threial. Mae hyn yn aml yn cynnwys cyfrifo'r cyflenwad: P(o leiaf un llwyddiant) = 1 - P(dim llwyddiannau). Gan fod pob treial yn annibynnol, P(dim llwyddiant mewn tri threial) = P(Methu) x P(Methu) x P(Methu). Trwy ynysu'r llwybr 'methu', gallwch gael y canlyniad ar gyfer y senario 'o leiaf un' yn effeithlon.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • I ddod o hyd i debygolrwydd tri digwyddiad annibynnol penodol, lluoswch y tair tebygolrwydd yn uniongyrchol. Tybiwch eich bod yn taflu darn arian (P=0.5), yn rholio dis (P=1/6), ac yn dewis cownter o fag o 4, lle mae un yn goch (P=0.25). Y tebygolrwydd o gael Pen, 6, a chownter coch yw 0.5 x 1/6 x 0.25 = 0.5/24 = 1/48.
    • Ar gyfer problemau sy'n ymwneud ag 'o leiaf un', diffiniwch eich tebygolrwydd o lwyddiant (s) a methiant (f=1-s). Ar gyfer tri threial, P(o leiaf un) = 1 - (f x f x f). Os oes gan beiriant gyfradd fethiant o 10% (0.1) y dydd, y tebygolrwydd o o leiaf un methiant mewn tri diwrnod yw 1 - (0.9 x 0.9 x 0.9) = 1 - 0.729 = 0.271. Sicrhewch bob amser fod eich degolion neu ffracsiynau yn cael eu trin yn fanwl.

    Mewn iaith syml

    Pan fydd tri digwyddiad yn annibynnol, lluoswch y tair tebygolrwydd gyda'i gilydd. I ddod o hyd i'r siawns o 'o leiaf un', mae'n haws dod o hyd i'r siawns o ddim yn digwydd a thynnu hynny o 1.

    Hunanwirio

    Taflir darn arian 3 gwaith. Beth yw'r tebygolrwydd o gael 3 Phen?

    Dangos yr ateb

    P(Pen) = 1/2. P(H ac H ac H) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 2 · Unit 2 §4.4.6 higher. Tudalennau PDF 48: adnabod pan fydd problemau'n cynnwys dau neu dri digwyddiad dibynnol, a gallu cyfrifo'r tebygolrwydd gofynnol, gan gynnwys samplu heb ei roi'n ôl

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae digwyddiadau dibynnol yn digwydd pan fydd canlyniad y digwyddiad cyntaf yn newid tebygolrwydd digwyddiadau dilynol. Enghraifft bwysig yw samplu heb amnewid: os ydych yn codi eitem o set ac nad ydych yn ei rhoi yn ôl, mae cyfanswm y cyfrif a chyfrif y categori penodol ar gyfer y dewis nesaf wedi newid. Mae hyn yn awgrymu bod tebygolrwyddau digwyddiadau diweddarach yn amodol ar ganlyniadau digwyddiadau cynharach, gan olygu bod angen diweddaru enwadur y ffracsiwn ac o bosibl y rhifiadur.
    • Ar gyfer tri digwyddiad dibynnol, rydych yn parhau â'r rhesymeg hon yn ddilyniannol. Os ydych yn dechrau gyda 10 eitem (3 Coch, 7 Glas) ac yn codi tair gwaith heb amnewid, mae tebygolrwydd codi Coch yna Coch yna Glas yn cael ei gyfrifo trwy addasu maint y gronfa bob tro: (3/10) x (2/9) x (7/8). Mae hyn yn dangos bod gofod canlyniad pob treial dilynol yn cael ei effeithio'n uniongyrchol gan ddewisiadau blaenorol, sy'n ganolog i ddamcaniaeth tebygolrwydd haen uwch.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Wrth ddelio â digwyddiadau dibynnol, olrheinwch gyflwr y gronfa ar ôl pob cam. Tybiwch fod gennych 5 marmor coch a 5 glas. I godi dau farmor coch heb amnewid: 1af dewis P(Coch) = 5/10. Oherwydd bod un coch wedi'i dynnu, 2il ddewis P(Coch) = 4/9. Y tebygolrwydd ar y cyd yw (5/10) x (4/9) = 20/90 = 2/9.
    • Cymhwyswch hyn i samplu yn seiliedig ar gyfesurynnau. Os oes gennych set o bwyntiau wedi'u labelu A(1,1), B(2,2), C(3,3), a D(4,4) mewn bag, mae codi dau bwynt heb amnewid yn cynnwys 4 opsiwn ar gyfer y cyntaf, yna 3 ar gyfer yr ail. Cyfanswm y canlyniadau yw 4 x 3 = 12. Y tebygolrwydd o godi A yna B yw 1/4 x 1/3 = 1/12. Sicrhewch eich bod yn lleihau'r rhifiadur a'r enwadur yn briodol ar gyfer pob cam.

    Mewn iaith syml

    Mae digwyddiadau dibynnol yn golygu bod y dewis cyntaf yn newid yr hyn sydd ar ôl ar gyfer yr ail ddewis. Lleihau cyfanswm yr eitemau bob amser, a chyfrif yr eitem benodol os cafodd ei godi, cyn cyfrifo'r cam nesaf.

    Hunanwirio

    Mae gan fag 3 phêl wen a 2 ddu. Os ydych yn codi 2 bêl heb amnewid, beth yw'r tebygolrwydd o godi gwyn yna gwyn?

    Dangos yr ateb

    1af dewis P(G) = 3/5. 2il ddewis P(G) = 2/4. P(G ac G) = 3/5 * 2/4 = 6/20 = 3/10.

Grŵp testun

Asesu a fformiwlâu a ddarperir

4 pwyntiau adolygu
  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Assessment summary p5; Unit purposes §2.1; Assessment objectives §2.2; Calculator rules and formula-list availability §3; 2027 entry and resit rules §5.1; Independent unit tiering §5.3

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Dyma'r Wobr Ddwbl mewn Mathemateg a Rhifedd newydd, a ddyfarnwyd gyntaf ym mis Tachwedd 2026. Mae gan bob uned ei chofnod Sylfaenol neu Uwch ei hun; peidiwch â chymryd yn ganiataol bod y tair haen yr un fath. Uned 1 yw Mathemateg Ariannol a Chymwysiadau Eraill ar Rhifedd: 30%, caniateir cyfrifiannell, gydag Uwch 1 awr 45 munud/80 marc a Sylfaenol 1 awr 30 munud/65 marc. Uned 2 yw Mathemateg Heb Gyfrifiannell: 30%, gyda'r un amseroedd a marciau. Uned 3 yw Mathemateg Gyfrifiannell: 40%, Uwch 2 awr/90 marc neu Sylfaenol 1 awr 45 munud/75 marc.
    • Mae Uned 1 yn defnyddio cymwysiadau personol a byd-eang. Mae Unedau 2 a 3 yn cynnwys problemau cyd-destunol a heb gyd-destun. Mae'r amcanion asesu yn cynnwys defnyddio technegau, rhesymu a chyfathrebu'n fathemategol, a dehongli a datrys problemau. Dangoswch ddulliau, dehonglwch yr unedau a'r cyd-destun, a gwiriwch a yw'r ateb yn synhwyrol. Mae rhestrau fformiwlâu y fanyleb yn ymddangos ar flaen Unedau 1 a 3 yn unig; rhestrau cyfyngedig ydynt, nid addewid bod pob fformiwla angenrheidiol yn cael ei ddarparu.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer problem siopa, nodwch faint a phrisiau perthnasol, dewiswch ddull, cyfrifwch gydag unedau cyson, yna nodwch beth mae eich canlyniad yn ei olygu. Os yw tri eitem unfath yn costio £7.20, mae un yn costio £7.20÷3 = £2.40. Mae gwirio 3×£2.40 = £7.20 yn cefnogi'r canlyniad; mae ysgrifennu 2.4 heb gyd-destun yn llai clir.
    • Ymarferwch Uned 2 heb gyfrifiannell. Ar gyfer Unedau 1 a 3 defnyddiwch gyfrifiannell gymeradwy: dim algebra symbolaidd, gwahaniaethu neu integreiddio symbolaidd, mynediad i'r rhyngrwyd, cyfieithu, neu destun/fformiwlâu wedi'u storio y gellir eu hadalw. Gwiriwch gyfarwyddiadau eich canolfan. Ar gyfer y wobr newydd, mae Unedau 1 a 2 ar gael o haf 2026 ac Uned 3 o fis Tachwedd 2026. Yn 2027, mae cyfresi haf a Tachwedd yn rhan o amserlen y fanyleb.
    • Gofynnwch i'r ganolfan am dalu a saethu arholiadau (resits). Ar gyfer ymgeiswyr cyn-16 mae'r rheol derfynol yn 30%, gellir ailsefyll pob uned unigol unwaith cyn dechrau o'r newydd, ac mae ymgais derfynol yn cael blaenoriaeth hyd yn oed pan oedd y marc blaenorol yn well. Ar gyfer ymgeiswyr ôl-16 nid oes rheol derfynol neu ddechrau o'r newydd, a defnyddir y gorau o'r ddwy ymgais uned fwyaf diweddar yn unig. Mae'r rhain yn rheolau'r fanyleb, nid cyngor bod unigolyn yn gymwys ar gyfer mynediad.

    Mewn iaith syml

    Cadarnhewch eich haenau uned a threfniadau arholiad gyda'ch canolfan, yna ymarferwch egluro dulliau yn ogystal ag obtenir atebion.

    Hunanwirio

    Mae ymgeisydd wedi'i gofrestru ar gyfer Uned 1 Uwch, Uned 2 Sylfaenol ac Uned 3 Uwch. A yw'r cyfuniad hwnnw wedi'i ganiatáu, a pha uned y mae'n rhaid ei hymarfer heb gyfrifiannell?

    Dangos yr ateb

    Ydy: gall haenau fod yn wahanol ar draws unedau. Mae Uned 2 heb gyfrifiannell. Mae Uned 1 werth 30%, Uned 2 30%, ac Uned 3 40%.

  • Craidd

    Cwmpas: Craidd · Haen Sylfaenol, Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 neu Haen Uned 3 · Formula list Unit 1 Foundation p53; Formula list Unit 1 Higher p54 common formulas; Formula list Unit 3 Foundation p55; Formula list Unit 3 Higher p56 common formulas

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Ar gyfer Unedau 1 a 3, mae rhestrau a ddarparwyd ar gyfer y ddwy haen yn rhoi arwynebedd trapesiwm = ½(a+b)h, lle mae a a b yn ochrau cyfochrog a h yn eu gwahaniad perpendicwlar. Peidiwch â defnyddio ochr lechweddog fel h.
    • Maent hefyd yn rhoi cyfaint trawstoriad unffurf = arwynebedd trawstoriadol × hyd, er enghraifft prism neu silindr. Cyfrifwch yr arwynebedd trawstoriadol yn gyntaf a defnyddiwch hyd sy'n berpendicwlar iddo. Mae'r fformiwlâu hyn yn dal i angen amnewidiadau, unedau a dehongliad cywir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae gan drapesiwm ochrau cyfochrog 4 cm ac 8 cm, gydag uchder perpendicwlar 3 cm. Ei arwynebedd yw ½(4+8)×3 = 18 cm².
    • Mae gan brism arwynebedd trawstoriadol 12 cm² a hyd 5 cm. Ei gyfaint yw 12×5 = 60 cm³. Mae'r uned arwynebedd wedi'i luosi ag uned hyd yn rhoi uned gyfaint.

    Mewn iaith syml

    Nodwch beth mae pob llythyren yn ei gynrychioli yn y diagram, yna amnewidiwch fesuriadau cyson.

    Hunanwirio

    Mae ochrau cyfochrog trapesiwm yn 5 m a 7 m; ei uchder perpendicwlar yw 4 m. Darganfyddwch ei arwynebedd.

    Dangos yr ateb

    ½(5+7)×4 = 24 m².

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 1 · Formula list Unit 1 Higher p54 additional formulas

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae Uned 1 Uwch yn darparu cyfaint sffêr (4/3)πr³ ac arwynebedd arwyneb 4πr² yn ychwanegol; cyfaint côn (1/3)πr²h ac arwynebedd crwm πrl. Yma r yw'r radiws, h yw uchder perpendicwlar, ac l yw uchder gogwydd y côn. Mae cyfanswm arwynebedd côn hefyd yn cynnwys ei waelod crwn.
    • Y fformiwla Cyfradd Gwerth Flynyddol (AER) a ddarperir yw AER = (1+i/n)ⁿ−1 fel degolyn, lle mae i yn gyfradd llog blynyddol enwol fel degolyn a n yw nifer y cyfnodau cyfansawdd y flwyddyn. Troswch gyfradd canran i ddegolyn cyn amnewid, a throswch y degolyn terfynol yn ôl i ganran os gofynnir.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Mae gan sffêr gyda radiws 2 cm gyfaint (4/3)π×8 = 32π/3 ≈ 33.51 cm³ ac arwynebedd 4π×4 = 16π ≈ 50.27 cm².
    • Ar gyfer llog enwol 6% y flwyddyn wedi'i gyfansawddu'n fisol, i=0.06 a n=12. AER = (1+0.06/12)¹²−1 ≈ 0.061678 = 6.168%. Mae hyn yn fwy na 6% oherwydd bod llog ei hun yn ennill llog.

    Mewn iaith syml

    Mae'r rhestr yn darparu'r fformiwla, ond mae angen i chi ddewis y mesuriadau cywir a dehongli'r gyfradd.

    Hunanwirio

    Ar gyfer llog enwol 4% wedi'i gyfansawddu'n flynyddol, pa AER mae'r fformiwla yn ei roi?

    Dangos yr ateb

    i=0.04, n=1: (1+0.04)¹−1 = 0.04 = 4%.

  • Uwch

    Cwmpas: Uwch · Haen Uwch mewn naill ai Haen Uned 3 · Formula list Unit 3 Higher p56 additional formulas

    Agor y canllawiau adolygu

    Beth i’w wybod

    • Mae Uned 3 Haen Uwch yn darparu cyfaint sffêr (4/3)πr³ ac arwynebedd 4πr²; cyfaint côn (1/3)πr²h ac arwynebedd crwm πrl. Gwahaniaethwch rhwng radiws a diamedr a rhwng uchder perpendicwlar ac uchder ar oledd.
    • Ar gyfer triongl, mae'r ochrau a,b,c gyferbyn â'r onglau A,B,C. Y rheol sin a ddarperir yw a/sin A = b/sin B = c/sin C; rheol cosin a² = b²+c²−2bc cos A; ac arwynebedd = ½ab sin C, lle mai C yw'r ongl gynwysedig. Mae'r fformiwla gwadratig yn rhoi x = [−b ± √(b²−4ac)]/(2a) ar gyfer ax²+bx+c=0 gyda a≠0.

    Beth i’w wneud mewn asesiad

    • Ar gyfer ochrau 5 a 7 gydag ongl gynwysedig 60°, arwynebedd = ½×5×7×sin60° ≈ 15.16 uned sgwâr. Mae gan y drydedd ochr gyferbyn sgwâr o 5²+7²−2×5×7×cos60° = 39, felly ei hyd yw √39 ≈ 6.245.
    • Ar gyfer x²−3x−1=0, a=1, b=−3, c=−1. Y gwahaniaethydd (discriminant) yw (−3)²−4×1×(−1)=13. Y gwreiddiau yw (3+√13)/2 ≈ 3.303 a (3−√13)/2 ≈ −0.303. Cynhwyswch y ddau arwydd; rhennir y rhifydd cyfan â 2a.

    Mewn iaith syml

    Cydweddwch ochrau ac onglau cyferbyn yn gyson. Mewn hafaliad gwadratig, amnewidiwch gyfernodau â'u harwyddion a chadwch y ddau wreiddyn posibl.

    Hunanwirio

    Defnyddiwch y fformiwla gwadratig ar gyfer x²−5x+6=0.

    Dangos yr ateb

    Gwahaniaethydd (discriminant) = 25−24=1. x=(5±1)/2, gan roi x=3 neu x=2.

Cofnodion adolygu blaenorol

Dyma eich ticiau o’r canllaw blaenorol. Nid ydynt yn cyfrif tuag at gynnydd y gwersi newydd, ac nid yw’r hen gynnwys yn rhan o’r addysgu presennol.

Rhestr destunau flaenorol

Mae’r ticiau hyn ar wahân i’r pwyntiau adolygu uchod ac nid ydynt yn cyfrif yn y cynnydd hwnnw.

Rhestr testunau Mathemateg a Rhifedd (Dwyradd)

Ticiwch bob eitem wrth i chi adolygu. Caiff ticiau eu cadw ar y ddyfais hon yn unig.

Mae'r ticiau hyn yn cadw eich rhestr destunau flaenorol. Nid ydynt yn cyfrif fel cwblhau'r gofynion newydd uchod.

Testunau Haen Sylfaenol

Testunau Haen Uwch

Sut mae OmniStudy yn helpu

  • Atebwch gwestiynau arddull arholiad ar unrhyw destun isod a chael eich marcio mewn eiliadau, gydag adborth ar sut i ennill mwy o farciau.
  • Cardiau fflach, cwisiau a gemau adolygu ar gyfer pob testun.
  • Ymarfer papurau arholiad go iawn gyda chynlluniau marcio.
  • Cynllunydd astudio gyda chyfrif i lawr at eich arholiadau, wedi ei adeiladu o amgylch eich testunau gwannaf.
  • Mae popeth yn gweithio yn Gymraeg ac yn Saesneg.

Mae'r canllaw hwn ar gael yn Saesneg hefyd: Canllaw Saesneg

Barod i ddechrau?

Am ddim i ddechrau. Dewiswch eich pwnc, atebwch gwestiwn, a gwelwch eich marc cyntaf mewn munudau.

Dechreuwch adolygu am ddim